有关等腰三角形研究的论文

有一天，三角形、圆形和长方形大吵了一架，吵架的原因是应为圆形在看电视的时候有一个广告上面说：快来参加！快来参加！快来参加！快来参加我们的谁最有用，是三角形、圆形还是长方形快来踊跃参加吧！我们的热线电话是：123456~123456789快来踊跃参加吧！就是这样他们大吵了一架.后来他们边吵边走，来到了一个叫“很悲伤”的小学，这里没有一个玩具，小朋友们都很悲伤.于是，圆形当滑滑梯的身子，三角形当滑滑梯的滑板，长方形当滑滑梯的楼梯，组成一个大的滑滑梯.小朋们乐坏了，他们爬上去，又溜下来，整个幼儿园一片欢腾，小朋友们得到了快乐.幼儿园的名字也改成了“快乐”幼儿园.然后三角形、圆形和长方形他们又来到了一个叫做一个“破烂”的村庄，在这个村庄中什么都没有，什么都是破烂不堪的.那里的房子下雨会漏水，锅子都破了个大洞，床都是用干草和树枝堆起来的.他们那里的人看起来很悲伤，脸上好像从来都没有过笑容.这让三角形、圆形和长方形他们心里感到很难受，觉得那里的人们很可怜，想去帮帮他们.于是他们动起来了.圆形变成了新的铁锅、桌子、凳子等日常用品.正方形和三角形变成了一栋栋的新房子.这使那里的村民非常感动，他们的脸上逐渐的布满了笑容，幸福和开心的笑容.就在这个时候，三角形、圆形和长方形他们和好了，他们不再吵架了.因为他们看见村民们的笑容很幸福，很开心.所以他们也感到开心，所以什么都不计较了.都知道自己也有不对的地方.从此以后，他们是再也不吵架的好朋友，好伙伴了.我觉得三角形、圆形和长方形都是有用的，比如没有了圆圈我们也不能把三角和正方形带替吧，所以 我觉得三角形、圆形和正方形都是有用的。

从一年级开始，我的数学成绩那叫一个字：好。无论哪次考试，从未低过90分，有很多人简直成了我的“粉丝”。可就是你们：三角形和梯形，害得我……哎！

那是五年级上学期的一个单元测试，考的是三角形的和梯形面积，我根本没把你们放在眼面，因为从五年级开始，我的数学考分常常是“一根烤肠加两个鸡蛋”，所以考试前我胸有成竹：我肯定能考100分。考试开始了，我神采飞扬，笔走龙蛇，仅用了30分钟就把所有题目搞定。老师考试前再三强调，试卷做好后要检查。检查？那是对没有自信的人说的，我做的试卷还用检查吗？我想都没想，直接把试卷交了上去，然后骄傲地倚在座位上，得意地欣赏着还在奋笔疾书的同胞们，享受着一些男生的忌妒；另一些男生的愤怒；当然，还有一些女生的崇拜；粉丝们无声的尖叫和全班大部分同学的瞠目结舌……

我的得意只持续了不到两天时间，老师公布成绩了，80多分90多分的同学纷纷亮相，我对他们的成绩不屑一顾，因为无数次他们都是我的手下败将。终于，老师读到我的名字了，全班同学立即喧闹起来：“不用说了，肯定是100分”；“就是不考100分，99分应该没问题的！”面对同学们对我的仰视，我快飘起来了，仿佛在云端漫步。“78分”“什么？这……这……”我像是遭到了五雷轰顶，半天没回过神来。全班同学再一次瞠目结舌，都不敢相信自己的耳朵，甚至有的人还为我吼起来：“不可能，是不是改错了啊？”老师发话了：“掌必成，看你粗心的，三角形和梯形的面积公式运用全部没有除以二。”咔嚓！我再遭五雷轰顶，从云端重重地摔在地上，心都摔碎了。我的“忌妒们”飞眉窃喜；“愤怒们”幸灾乐祸；“崇拜们”厄腕叹息；“粉丝们”伤心欲绝。我的心哇凉哇凉的，三角形和梯形啊，我恨死你们了！

但是我就是我，恩怨分明，敢爱敢恨。虽然你们三角形和梯形害得我糗大了，但是我还是要感谢你们，是你们让我明白了考场如战场，没有常胜将军，稍一粗心就会马失前蹄。我会永远地记你们，记住那场考试，记住那个78分……

从一年级开始，我的数学成绩那叫一个字：好。无论哪次考试，从未低过90分，有很多人简直成了我的“粉丝”。可就是你们：三角形和梯形，害得我……哎！

那是五年级上学期的一个单元测试，考的是三角形的和梯形面积，我根本没把你们放在眼面，因为从五年级开始，我的数学考分常常是“一根烤肠加两个鸡蛋”，所以考试前我胸有成竹：我肯定能考100分。考试开始了，我神采飞扬，笔走龙蛇，仅用了30分钟就把所有题目搞定。老师考试前再三强调，试卷做好后要检查。检查？那是对没有自信的人说的，我做的试卷还用检查吗？我想都没想，直接把试卷交了上去，然后骄傲地倚在座位上，得意地欣赏着还在奋笔疾书的同胞们，享受着一些男生的忌妒；另一些男生的愤怒；当然，还有一些女生的崇拜；粉丝们无声的尖叫和全班大部分同学的瞠目结舌……

我的得意只持续了不到两天时间，老师公布成绩了，80多分90多分的同学纷纷亮相，我对他们的成绩不屑一顾，因为无数次他们都是我的手下败将。终于，老师读到我的名字了，全班同学立即喧闹起来：“不用说了，肯定是100分”；“就是不考100分，99分应该没问题的！”面对同学们对我的仰视，我快飘起来了，仿佛在云端漫步。“78分”“什么？这……这……”我像是遭到了五雷轰顶，半天没回过神来。全班同学再一次瞠目结舌，都不敢相信自己的耳朵，甚至有的人还为我吼起来：“不可能，是不是改错了啊？”老师发话了：“掌必成，看你粗心的，三角形和梯形的面积公式运用全部没有除以二。”咔嚓！我再遭五雷轰顶，从云端重重地摔在地上，心都摔碎了。我的“忌妒们”飞眉窃喜；“愤怒们”幸灾乐祸；“崇拜们”厄腕叹息；“粉丝们”伤心欲绝。我的心哇凉哇凉的，三角形和梯形啊，我恨死你们了！

但是我就是我，恩怨分明，敢爱敢恨。虽然你们三角形和梯形害得我糗大了，但是我还是要感谢你们，是你们让我明白了考场如战场，没有常胜将军，稍一粗心就会马失前蹄。我会永远地记你们，记住那场考试，记住那个78分……

我喜欢许多图形，当我最喜欢三角形。

每当看到那三角形似的小雨伞，在我眼前浮现出一件事。天气真是变化莫测。

那一天下午，突然下起了大雨。我正在写作业，想起了妈妈今天没有带雨伞，该怎么回来呢？想到这里，我赶紧带好雨伞，锁上门，往车站跑去。

车站非常空旷，没有什么人，我站在那里冷飕飕的，真想跑回家去，但我又想：妈妈工作那么辛苦，我应该帮她减轻负担。终于等到了公交车，我兴奋极了，踮起脚尖，看看车上有没有妈妈的身影。

看呀看呀，没有看见，我急得像热锅上的蚂蚁。天渐渐暗了下来，风呼呼地刮着，雨簌簌地下着，街上的行人也越来越少，风都快把我弱小的身躯吹倒了。

又有一辆公交车来了，车上的乘客挤来挤去，看不清真面孔。突然，有一张熟悉的面孔映入我的眼帘。

啊，是妈妈！我终于等到了妈妈。我门母女俩撑着雨伞，在雨中露出了两张笑脸。

我虽然非常冷，但这雨伞给我们带来了母女之间的亲情，使我感到更加温暖，更加快乐。真是小小雨伞见真情！我喜欢三角形，它使我们母女之间的感情更加深厚了。

有一天，圆和三角形见面了，他们觉得对方长得很特别，决定一起玩游戏。

圆和三角形可是个死对头，他们各说各的优点， 争吵不休 ，谁也 不甘示弱 。圆说：“我比你跑得快。”

可三角形说：“我能站得 稳稳当当 。”他们说完后决定比赛跑步和站立。

跑步开始了，只见圆一眨眼功夫就不见影子了，而三角形怎么也跑不了，还把他的三个角磕得 伤痕累累 。不一会，圆跑完一圈回来后，看见三角形还在起跑线上挣扎，圆哈哈大笑起来，三角形不甘心的说：“你别太得意，等站立比赛时再让你瞧瞧我的厉害。”

圆又说：“比就比，谁怕谁呀！”说完站立比赛开始了，只见三角形站得稳稳当当，而圆还像是在跑步一样，不停的转动着。三角形 骄傲 的说：“圆，你认输吧，你是不可能站稳的。”

圆说：“我虽然站不稳，可你也跑不快。”他们争吵的 面红耳赤 ，谁也不服气。

圆和三角形终于冷静下来，决定合作。圆说：“三角形，你跳到我的圆圈里。”

三角形说：“好的。”他们组成了一个新的图形，圆带着三角形跑来跑去，三角形高兴地说：“我终于能跑步了。”

于是三角形对圆说哦：“你跳到我的三条边里面。”圆说：“好的。”

他们又组成一个新的图形，三角形一动不动，圆感觉站得很稳，只听见圆说：“太好了，我也能站稳了。”圆和三角形明白了一个道理：想实现愿望，有时光靠自己的力量是不够的，还需要别人的帮助。

怎样的等腰三角形满足条件：画一条直线将之分成两个等腰三角形？首先，这条直线必须经过顶点，不然得到的两个图形中一个是三角形，另一个是四边形，那么经过等腰三角形的顶点，又可以将等腰三角形分成两个等腰三角形，分两种情况进行：⑴过顶角顶点的直线：如图一：已知AB=AC，①AD=BD,AD=CD，这时ΔABD≌ΔACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC，又∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADB=90°，又AD+BD，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠BAC=90°，即ΔABC是等腰直角三角形.②AD=BD,AD=AC，∵∠ADC=∠C>∠B，与∠B=∠C矛盾.③AD=BD,AC=CD，∵∠CDA=∠CAD=∠DAB+∠DBA=2∠B=2∠C，∴在ΔACD中，5∠C=180°，得∠C=36°，∴∠BAC=108°.以上由于其它情况的对称关系，已经考虑了所有的可能性.⑵过底角顶点的直线：如图二，AB=AC，首先，AB>AD，ΔABD中只考虑AD=BD，其次∠DBCCD，不必考虑BD=CD.分以下两种情况：①AD=BD,BD=BC，∠BDC是ΔABD的外角，∴∠BDC=∠DAB+∠DBA=2∠A，∴∠C=∠BDC=2∠A，∴∠ABC=2∠A，在ΔABC中：5∠A=180°，∠A=36°.②AD=BD,BC=CD，这时∠BDC=2∠A，∴∠DBC=∠BDC=2∠A，∠C=180°-4∠A，在ΔBC中，∠B=∠C=180°-4∠A，根据三角形内角和为180°得方程：360°-8∠A+∠A=180°，7∠A=180°，∠A=(180/7)°，通过以上的分析总结出：一条直线分为两个等腰三角形的等腰三角形存在四种情况，它们的顶角分别为：90°、108°、36°、（180/7）°.从探究过程得到教训：科学的探索是无止境的，只要用心观察，认真推理，我们可能得到尚未让人知道的自然规律.原创数学小论文，请选为满意答案.。

1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形. 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底.三角形只有3条高.重点：三角形高的画法. 3、三角形的特性：1、物理特性：稳定性.如：自行车的三角架，电线杆上的三角架. 4、边的特性：任意两边之和大于第三边. 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC. 6、三角形的分类： 按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形. 按照边长短来分：三边不等的△，等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）. 等边△的三边相等，每个角是60度.（顶角、底角、腰、底的概念） 7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形. 8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 10、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角. 11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 12、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形. 13、等边三角形是特殊的等腰三角形 14、三角形的内角和等于180度.四边形的内角和是360°有关度数的计算以及格式. 15、图形的拼组：两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形. 16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形. 17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形. 18、用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形.一个大的等腰的直角的三角形. 19、密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等.。

数学小论文一 关于“0” 0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。 数学小论文二 各门科学的数学化 数学究竟是什么呢？我们说，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具． 同其他科学一样，数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去，就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速，近30多年来，数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后，大致领略一下数学的现在和未来，是很有好处的． 现代数学发展的一个明显趋势，就是各门科学都在经历着数学化的过程． 例如物理学，人们早就知道它与数学密不可分．在高等学校里，数学系的学生要学普通物理，物理系的学生要学高等数学，这也是尽人皆知的事实了． 又如化学，要用数学来定量研究化学反应．把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规律，通过方程的“稳定解”来研究化学反应．这里不仅要应用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学． 再如生物学方面，要研究心脏跳动、血液循环、脉搏等周期性的运动．这种运动可以用方程组表示出来，通过寻求方程组的“周期解”，研究这种解的出现和保持，来掌握上述生物界的现象．这说明近年来生物学已经从定性研究发展到定量研究，也是要应用“发展中的”数学．这使得生物学获得了重大的成就． 谈到人口学，只用加减乘除是不够的．我们谈到人口增长，常说每年出生率多少，死亡率多少，那么是否从出生率减去死亡率，就是每年的人口增长率呢？不是的．事实上，人是不断地出生的，出生的多少又跟原来的基数有关系；死亡也是这样．这种情况在现代数学中叫做“动态”的，它不能只用简单的加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来描述．研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计算机等，最后才能说清楚每家只生一个孩子如何，只生两个孩子又如何等等． 还有水利方面，要考虑海上风暴、水源污染、港口设计等，也是用方程描述这些问题再把数据放进计算机，求出它们的解来，然后与实际观察的结果对比验证，进而为实际服务．这里要用到很高深的数学． 谈到考试，同学们往往认为这是用来检查学生的学习质量的．其实考试手段（口试、笔试等等）以及试卷本身也是有质量高低之分的．现代的教育统计学、教育测量学，就是通过效度、难度、区分度、信度等数量指标来检测考试的质量．只有质量合格的考试才能有效地检测学生的学习质量． 至于文艺、体育，也无一不用到数学．我们从中央电视台的文艺大奖赛节目中看到，给一位演员计分时，往往先“去掉一个最高分”，再“去掉一个最低分”．然后就剩下的分数计算平均分，作为这位演员的得分．从统计学来说，“最高分”、“最低分”的可信度最低，因此把它们去掉．这一切都包含着数学道理． 我国著名的数学家关肇直先生说：“数学的发明创造有种种，我认为至少有三种：一种是解决了经典的难题，这是一种很了不起的工作；一种是提出新概念、新方法、新理论，其实在历史上起更大作用的、历史上著名的正是这种人；还有一种就是把原来的理论用在崭新的领域，这是从应用的角度有一个很大的发明创造．”我们在这里所说的，正是第三种发明创造．“这里繁花似锦，美不胜收，把数学和其他各门科学发展成综合科学的前程无限灿烂．” 正如华罗庚先生在1959年5月所说的，近100年来，数学发展突飞猛进，我们可以毫不夸张地用“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学”来概括数学的广泛应用．可以预见，科学越进步，应用数学的范围也就越大．一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关的问题．可以断言：只有现在还不会应用数学的部门，却绝对找不到原则上不能应用数学的领域． 数学小论文三 数学是什么 什么是数学？有人说：“数学，不就是数的学问吗？” 这样的说法可不对。因为数学不光研究“数”，也研究“形”，大家都很熟悉的三角形、正方形，也都是数学研究的对象。 历史上，关于什么是数学的说法更是五花八门。有人说，数学就是关联；也有人说，数学就是逻辑，“逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代。” 那么，究竟什么是数学呢？ 伟大的革命导师恩格斯，站在辩证唯物主义的理论高度，通过深刻分析数学的起源和本质，精辟地作出了一系列科学的论断。恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。 数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。 纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。例如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。 应用数学则是一个庞大的系统，有人说，它是我们的全部知识中，凡是能用数学语言来表示的那一部分。应用数学着限于说明自然现象，解决实际问题，是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息的“信息论”，就是应用数学中一门重要的分支学科， 数学有3个最显著的特征。 高度的抽象性是数学的显著特征之一。数学理论都算有非常抽象的形式，这种抽象是经过一系列的阶段形成的，所以大大超过了自然科学中的一般抽象，而且不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如，物理学家可以通过实验来证明自己的理论，而数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”的几何学，也在朝着抽象的方向发展。根据公理化思想，几何图形不再是必须知道的内容，它是圆的也好，方的也好，都无关紧要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替点、线、面也未尝不可，只要它们满足结合关系、顺序关系、合同关系，具备有相容性、独立性和完备性，就能够构成一门几何学。 体系的严谨性是数学的另一个显著特征。数学思维的正确性表现在逻辑的严谨性上。早在2000多年前，数学家就从几个最基本的结论出发，运用逻辑推理的方法，将丰富的几何学知识整理成一门严密系统的理论，它像一根精美的逻辑链条，每一个环节都衔接得丝丝入扣。所以，数学一直被誉为是“精确科学的典范”。 广泛的应用性也是数学的一个显著特征。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。20世纪里，随着应用数学分支的大量涌现，数学已经渗透到几乎所有的科学部门。不仅物理学、化学等学科仍在广泛地享用数学的成果，连过去很少使用数学的生物学、语言学、历史学等等，也与数学结合形成了内容丰富的生物数学、数理经济学、数学心理学、数理语言学、数学历史学等边缘学科。 各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。

费马点 定义 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。 在平面三角形中: (1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合 （1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。 （2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。证明 (1)费马点对边的张角为120度。 △CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1BC’（两边之和大于第三边）=AB+AC（已知AC=AC’） 所以A是费马点。即之前的结论。 下面探讨第二种情况： ②如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 做△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点（如图），再作一点P’，不与点P重合，连结P’A,P’B,P’C，过P’作P’H垂直EF于H。 ∵∠APB=120°，∴∠PAB+∠PBA＝180°－120°=60° 且∠PAF=∠PBF=90°，∴∠F=180°－（90°+90°－60°） 同理可得：∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，设边长为d，面积为S。 则S= 1/2 d (PA+PB+PC) ∵P’H ≤ P’A ∴ 1/2×d×P’H×2S ≤1/2 ×d ×P’A×2S 又∵1/2×d×P’H=△EP’F ∴ 2S△EP’F≤ d ×P’A×S 同理有：2S△DP’F≤d ×P’B×S ， 2S△EP’D≤d ×P’C×S 相加，得：2S(△EP’F+△DP’F+△EP’D)≤ d ×S (P’A+P’B+P’C) 又∵△EP’F+△DP’F+△EP’D=△EDF 2S×S ≤ d ×S (P’A+P’B+P’C) 两边同除以S，得：2S ≤ d (P’A+P’B+P’C) 把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得： PA+PB+PC≤P’A+P’B+P’C，当且仅当P,P’重合时取到等号。 所以P是费马点，即与上述结论相符合。 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法： 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。费马（Pierre de Fermat,1601—1665）是法国数学家、物理学家。费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年

等腰三角形中费马点在底边的高上