向量研究三角形性质论文结论

一、三角形的重心、垂心、内心、外心的定义

(1)重心--中线的交点:重心将中线长度分成2:1;

(2)垂心--高线的交点:高线与对应边垂直;

(3)内心--角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离等;

(4)外心-中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。

二、三角形的四心与向量的结合的结论和性质

三角形重心的性质:

1.在AABC中，中线AD交BC于D，G是重心，则AG=2GD

2.在AABC中，A(zy;)B(x;y:) C(x),y;)

x=x+x+

重心G坐标公式

y上i+y2 +y3

3

3.若O是AABC的重心，则S_soc-S_c-SuOs--Suc

4.内角平分线定理::在AABC中，AD交A的平分线BC于D，

三角形四“心”向量形式的充要条件

设O为AABC所在平面上一点，角ABC所对边长分别为abc，(1)O为ABC的外心OA=OB-0C(2)0为ABC的重心OA+OB+0C=0.

(3)0为ABC的垂心OA-0B=OB0C=OCOA

(4)O为AABC的内心

三角形重心向量结论：

三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

重心坐标的计算方法：

摆线质量均匀，所以线密度为常数，设为ρ：

弧微分ds＝2｜sin（t／2）｜dt，由弧长s＝4得摆线只有半拱（0≤t≤π）。

摆线的质量m＝4ρ。

摆线关于x轴的静力矩mx＝ρ∫yds＝ρ∫（0～π）（1－cost）×2sin（t／2）dt＝16ρ／3。

摆线关于y轴的静力矩my＝ρ∫xds＝ρ∫（0～π）（t－sint）×2sin（t／2）dt＝16ρ／3。

重心的坐标是：x＝mx／m＝4／3，y＝my／m＝4／3。

所以，重心坐标是（4／3，4／3）。