柯西收敛准则毕业论文

柯西审敛原理：数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε。

这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε。

注意：柯西收敛原理标明，由实数构成的基本数列一定存在实数极限，这个性质被称为是实数系的完备性。但是要注意有理数集不具备完备性。

扩展资料

柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：

（1）数列

（2）数项级数

（3）函数

（4）反常积分

（5）函数列和函数项级数

每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。

参考资料来源：百度百科-柯西审敛原理

数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικ??（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μ?θημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。 除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。 更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统。 从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。 到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。 数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。”

定理叙述：数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立 将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立 此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。证明举例：证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限 证：对于任意的m,n属于正整数，m>n|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m | 当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m =(1/n-1/m)→0 由柯西收敛原理得{xn}收敛 当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m | <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m =(1/n-1/(m-1)-1/m）→0 由柯西收敛原理得{xn}收敛 综上{xn}收敛，即{xn}存在极限

“柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。定理叙述：数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。证明举例：证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限证：对于任意的m,n属于正整数，m>n|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m=（1/n-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛综上{xn}收敛，即{xn}存在极限够全面了吧

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。

扩展资料：

反常积分：反常积分分为两种，一种是积分区间含有无穷大的反常积分（又叫做无穷限的反常积分），另一种是被积函数为无界函数的反常积分（又叫做无界函数的反常积分、瑕积分）。因此相应的柯西收敛准则有两种，两种准则的描述有些区别，但都可以根据函数的柯西收敛准则来证明。

函数：考虑到数列是特殊的函数（即定义域为正整数集），可以猜想，函数的敛散性也应当有类似的结论，这就是接下来要说的函数的柯西收敛准则。

参考资料来源：百度百科-柯西收敛准则

柯西收敛准则是高等数学中关于求微积分中的一个准则，可喜收敛准则是指微积分的结果总会收敛于一个定值。