二次曲面的分类论文格式

在欧氏三维空间里坐标x,y,z之间的二次方程（系数为实数，且二次项系数不全为零）所表示的曲面。一般说来，直线与二次曲面相交于两个点；如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行平面所截，其截线是二次曲线。二次曲面的方程为：曲面F(x,y,z)=0上适合 的点(x0,y0,z0)称为奇异点或奇点，其他点称为寻常点。过曲面的寻常点所作的切线构成一个平面，称为该点的切面。通过该点且与切面垂直的直线称为法线。F(x,y,z)=0于寻常点 (x0,y0,z0)处的切面与法线方程分别是与分类二次曲面上不在同一母线上任何两点所联的线段称为弦，对于二次曲面F(x,y,z)=0,如果一条直线的方向余弦l,m,n，若适合右式则此直线所对应的方向称为曲面的奇异方向，否则称为寻常方向。二次曲面的一组具有寻常方向的平行弦中点在同一平面上。这个平面称为该方向的径平面。此方向称为径平面的共轭方向。F(x,y,z)=0的以方向余弦l,m,n为共轭方向的径平面方程为 下式：关于径平面，当方向余弦l,m,n变动时,无数多的径平面形成一个平面族,方程是l(αx+hy+gz+u)+m(hx+by+ƒz+υ)+n(gx+ƒy+сz+w)=0。方程组的解称为一般二次曲面F(x,y,z)=0的中心。如果中心位于二次曲面上，则称为顶点。中心的几何意义是：二次曲面的通过中心的任何弦都以中心为中点。二次曲面有如x2+y2+z2+1=0这样的空集情况。方程形如(8)、(10)、(11)、(2)、(3)的曲面，分别称为椭圆面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆柱面或椭圆柱，双曲柱面或双曲柱；对于(8)、(10)、(11)、(1)当α=b时,这些曲面是以z轴为旋转轴的旋转曲面,把它们分别称为旋转椭圆面，旋转单叶双曲面，旋转双叶双曲面，圆柱面或圆柱。对于旋转椭圆面，当α=b=с时，曲面成为以α为半径的球面。在方程(9)，(12)，(4)的情况，曲面分别称为椭圆抛物面，双曲抛物面，抛物柱面或抛物柱；对于(9)，当α=b时，曲面成为以z轴为旋转轴的旋转椭圆抛物面（见彩图）。 二次曲面(6)的曲面是二阶锥面，当a、b、c异号时,可以认为a>0,b>0,c=-1，曲面称为实锥面，且当a=b时，曲面称为直圆锥面。它是以z轴为旋转轴的旋转曲面；在方程(6)当a、b、c同号时,曲面变成点O，也称为虚锥面；(2),(3)……(13)称为这些曲面方程的标准型(标准型的α，b，с与(1)中的α，b，с不同)。此外还有二次曲面的空集情况与另一个特殊情况，它们是虚椭圆面、虚椭圆柱面；对于(16)，曲面成为一对相交虚平面（交线为实直线）；对于(17)，曲面成为一对平行虚平面。因此共有17种情况。这17种情况,可以根据方程组(见下式)的系数矩阵与增广矩阵的秩数 rank M 与 rank分类，由于rank M≤3，≤3，rank M≤rank,故知仅有五种情况(表1)。对于曲面(8)，(11)，(10)来说，平面x=0,y=0,z=0;以及对于曲面(3)，(4)来说，平面x=0,y=0,分别称为曲面的主平面，主平面的交线称为主轴。对于旋转曲面来说，主平面及主轴的位置是不定的。标准方程中的α，b,с称为半主轴的长度或半主轴。在单叶双曲面或双曲抛物面上分别存在两族母线，同族的二母线不相交（也不平行），不同族的二母线必相交，即对于(11)，其上有以λ及μ为参数的母线族对于(4)，其上有母线族能用直线生成的曲面称为直纹曲面，二次曲面中只有单叶双曲面和双曲抛物面是具有两族母线的直纹曲面。二次柱面和二次锥面是具有一族母线的直纹曲面。而旋转单叶双曲面、圆柱面和直圆锥面既是直纹曲面又是旋转曲面。

为了回答这个问题，需要用到比较充分的解析几何和线性代数知识。首先明确二次曲面是什么，二次曲面就是三元二次方程在直角坐标系下的图像，一般的三元二次方程可以表示为： a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c=0 .其中 a_{11},a_{22},a_{33} 不全为0，2a_{12}xy,2a_{13}xz,2a_{23}yz 叫作交叉项， 2b_{1}x,2b_{2}y,2b_{3}z 叫作一次项，c叫作常数项。接下去用 \alpha=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 来表示点的坐标。我们知道对一个图形，平移、旋转、对称变换（我们称为反射），都是不会改变形状的。平移变换可以用 \alpha+\alpha_0 来表示，因为它将每个点 \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 变为了 \left( \begin{array}{c} x +x_0\\ y+y_0 \\ z +z_0\\ \end{array} \right) .旋转、反射都对是正交变换，而一个正交变换能分解为旋转、反射的复合，正交变换用Uα表示，其中U是正交矩阵。为了将二次曲面分类，我们应当利用正交变换、平移变换将一般的二次曲面方程进行化简。由于 a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c= \left ( \begin {array} {cccc} x & y & z & 1 \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & b_ {1} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} & b_ {2} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} & b_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} & c \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {c} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end {array} \right) ,记 A=\left ( \begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \\\end {array} \right) ,\varepsilon=\left ( \begin {array} {c} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \\\end {array} \right),则三元二次方程可以记为 \left( \begin{array}{cc} \alpha^T & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha \\ 1 \\ \end{array} \right)=0 ,\Rightarrow\alpha^TA\alpha+\varepsilon^T\alpha+\alpha^T\varepsilon+c=0 ,注意到 \varepsilon^T\alpha=\alpha^T\varepsilon ，于是进一步将方程化简为 \Rightarrow\alpha^TA\alpha+2\varepsilon^T\alpha+c=0 .我们将 \left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) 称作二次曲面的表示矩阵（同理，n阶对称矩阵可以是n-1元二次方程的表示矩阵，表示形式是一致的）。由于A是对称矩阵，所以A可以正交相似到对角型，即存在正交阵U和对角阵 \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) ,满足：\Lambda=U^TAU 。先做正交变换 \beta_1=U^T\alpha ,即 \alpha=U\beta_{1} ，代入方程得 (U\beta_{1})^TA(U\beta_{1})+2\varepsilon^T(U\beta_1)+c=0 \Rightarrow\beta_1^TU^TAU\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 \Rightarrow\beta_1^T\Lambda\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 .记 \varepsilon^TU=(\mu_1\ \mu_2\ \mu_3) ，则方程可写为 \lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 .其中x',y',z'为 \beta_1 的三个分量。可以看到交叉项已经被约去了。对于方程\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 ，若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3全不为0，则可配方为： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+\lambda_3(z'+\mu_3/\lambda_3)^2+c'=0 ,其中c'表示配方后的常数项，下文同。只需做平移变换： \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\\mu_3/\lambda_3\\\end {array} \right) ,方程变为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\lambda_3w^2+c'=0 ，其中u，v，w是 \beta 的三个分量，下文同。若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有一个为0，不妨设 \lambda_3为0，则同样配方可得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+2\mu_3z'+c'=0 。做平移变换 \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\0\\\end {array} \right) ，方程变为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w+c'=0 .若 \mu_3 =0,则方程为 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+c'=0 ，否则可以再进一步对w做平移可消除常数项，这里不再具体写出变换过程，最后得： \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w=0 .若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有两个为0，不妨设 \lambda_2,\lambda_3为0,同样可先对x'配方得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c'=0 ，先做平移变换 \beta_2=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ 0\\0\\\end {array} \right) ,得方程： \lambda_1x''^2+2\mu_2y''+2\mu_3z''+c'=0 ,其中x'',y'',z''是 \beta_2 的三个分量。若 \mu_2,\mu_3 全为0，则直接令 \beta=\beta_2 ,方程为： \lambda_1u^2+c'=0 。若 \mu_2,\mu_3 不全为0，做正交变换 \beta=\left ( \begin {array} {ccc}1 & 0 & 0 \\0& \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_2 & \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_3 \\ 0 & \nu_1 & \nu_2 \\\end {array} \right)\beta_2 ,其中 (\nu_1,\nu_2) 是与 (\mu_2,\mu_3)正交的单位向量，这保证了上述变换为正交变换。于是方程变为 \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v+c'=0 .再进一步对v做平移可以消去常数项，这里不再写出变换过程，最后得： \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v=0 .综上所述，我们发现一般二次曲面在经过正交变换和平移变换后都会变成以下曲面之一：au^2+bv^2+cw^2=d ；au^2=d； au^2+bv^2=d ；au^2+bv^2=cw；au^2=bv.上述所有方程除了d所有系数都不为0.进一步对上述方程系数的正负性进行讨论，便可将二次曲线分类。au^2+bv^2+cw^2=d，a，b，c，d全大于0，为椭球面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c有1个小于0，其余大于0，且d大于0，为单叶双曲面，或者a，b，c有1个大于0，其余小于0，且d小于0，为单叶双曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c，d其中两个为正，两个为负，为双叶双曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，d为0，a，b同号且与c异号，即： au^2+bv^2=cw^2 ，a，b，c同号，为椭圆锥面。au^2+bv^2=d ，a，b，d同号，为椭圆柱面。au^2+bv^2=d ，a，b异号，d不为0，为双曲柱面。au^2+bv^2=cw ，a，b，c同号，为椭圆抛物面。au^2+bv^2=cw ，a，b异号，c不为0，为双曲抛物面。au^2=bv ，a，b不为0，为抛物柱面。au^2+bv^2+cw^2=0 ，a，b，c同号，为一点。au^2+bv^2=0 ，a，b同号，即为直线 \frac{u}{1}=\frac{v}{1}=\frac{w}{0} .au^2+bv^2=0 ，a，b异号，则可用平方差公式将其分解为两个平面方程的乘积，故代表两个相交平面。au^2=d ，a，d同号，为两张平行平面。au^2=0 ，a不为0，为两张重合平面（也可以说是一张平面）。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c同号且与d异号，则无实解，称为虚椭球面。au^2+bv^2=d ，a，b同号且与d异号，则无实解，称为虚椭圆柱面。au^2=d ，a，d异号，则无实解，称为两张虚的平行面。题主所说的9种实际上是上述的1-9，是非退化的二次曲面，而10-14是退化的二次曲面，实际上是点、直线或是两张平面（将14视为两张重合平面就是为了统一），15-17是无实解的情况。本文的方法适用于对任意维欧氏空间下的n元二次方程图象进行分类，大家可以尝试用一样的方法去讨论二次曲线的分类。事实上，本文给出了从一般三元二次方程变形到5类方程的方法，再通过对系数情况的判定可以确定二次曲面是17类中的哪一类，然而我们其实可以找到从原方程变到5类方程后的系数与原方程表示矩阵的关系，比如二次项的系数实际上就是A的特征值，所以引入表示矩阵的意义在于即便不把方程先变到5类方程也可以直接通过研究表示矩阵的特征来确定二次曲面属于17类中的哪一类。这个手段同样对任意元的二次方程适用，解析几何中学习的二次曲线通过不变量确定类别实际上就是这个道理。关于这一点，大家感兴趣的话，等我有空会另开文章讲述

二次曲面有12种：

(1)圆柱面(Cyindrical surface)

(2)椭圆柱面(Elliptic cylinder)

(3)双曲柱面(Hyperbolic cylinder)

(4)抛物柱面(Parabolic cylinder)

(5)圆锥面(Conical surface)

(6)椭圆锥面(Elliptic cone)

(7)球面(Sphherical surface)

(8)椭球面(Ellipsoid)

(9)椭圆抛物面(Elliptic paraboloid)

(10)单叶双曲面(Hyperboloid of one sheet)

(11)双叶双曲面(Hyperboloid of two sheets)

(12)双曲抛物面(马鞍面)(Hyperbolic paraboloid)

扩展资料：

椭圆抛物面的性质

(1)曲面的对称性：椭圆抛物面关于yOx、zOx坐标面以及z轴对称，但它没有对称中心，它与对称轴交于点(0,0,0)，这点叫做椭圆抛物面的顶点。

(2)曲面与坐标轴的交点：椭圆抛物面通过坐标原点，且除原点外，曲面与三坐标轴没有别的交点。

(3)曲面的存在范围：椭圆抛物面全部在髫|9y坐标面的一侧，即在z ≥0的一侧。

(4)被坐标面截得的曲线：用坐标面y=0,x=0截割曲面，分别得抛物线

这两个抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线。它们有着相同的顶点和相同的对称轴，即x轴。开口都向z轴正方形。

参考资料来源：百度百科-二次曲面