向量的数乘运算毕业论文

原理：

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（竖起的大拇指指向是c的方向）

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin。即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

几何意义：

叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

扩展资料

向量的混合积：

设有三个向量：a=(a1、a2、a3)， b=(b1、b2、b3)，c=(c1、c2、c3)，则称(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积，记作[abc]。根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足轮换性，即(aⅹb)∙c=( bⅹc)∙a =( cⅹa)∙b。

向量混合积的几何应用：

a、b、c共面⇔[abc]=0⇔存在不全零的数λ、μ、γ，使得λa +μb +γc=0。

参考资料来源：百度百科-向量积

向量的数乘（也称为标量乘法）是指用一个实数去乘以一个向量的每个分量，常用符号表示为 k × v，其中 k 是实数，v 是向量。向量的数乘满足以下定律：1. 结合律：对于任何实数 a、b 和向量 v，有 (a * b) * v = a * (b * v)，即先乘以 a 再乘以 b 的结果与先乘以 b 再乘以 a 的结果相同。2. 分配律：对于任何实数 a 和向量 u、v，有 a * (u + v) = a * u + a * v，即先将 u 和 v 相加再乘以 a 的结果等于分别将 u 和 v 乘以 a 后再相加的结果。3. 分配律：对于任何实数 a、b 和向量 v，有 (a + b) * v = a * v + b * v，即先将 a 和 b 相加再乘以 v 的结果等于先将 v 分别乘以 a 和 b 后再相加的结果。4. 单位元素：对于任何向量 v，有 1 * v = v，其中 1 表示实数 1，即将向量乘以 1 不改变向量本身。这些定律表明了向量的数乘具有和实数的乘法类似的性质，方便进行向量运算和矩阵运算。

向量乘法分向量积，数量积1.向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b平行，则a×b=0，a、b垂直，则a×b=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意）。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。运算法则：运用三阶行列式设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a平行b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=－b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×b+a×c.（a+b）×c=a×c+b×c.上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。2.数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数乘运算如下：

向量的数乘运算的定义：

1、定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2、规定：|λa|＝|λ||a|。当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0。

3、运算律：设λ，μ为实数，则λ(μa)＝λμa，(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb。

特别地，我们有  (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb。

共线向量与向量的线性运算：

共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa

向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b。

对向量数乘运算的三点说明：

1、λa中的实数λ叫做向量a的系数。

2、向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小。

3、当λ＝0或a＝0时，λa＝0，注意是0。