高斯用黎曼的名字发表论文

复变函数论的奠基人19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 黎曼几何的创始人黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。 微积分理论的创造性贡献黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。黎曼假设2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。1730年，欧拉在研究调和级数：Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。时，发现：Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx)证明了上式，即证明了黎曼猜想。 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) =1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，……黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

英年早逝的黎曼

1826年9月17日，黎曼(1826—1866)出生于德国的汉诺威。他的父亲是一位牧师。黎曼19岁时，根据他父亲的旨意进入哥廷根大学学习神学。但他很快就被那里浓厚的数学气氛所感染，以致于使他放弃了神学而改学数学。黎曼的聪敏天赋和勤奋刻苦的精神很快被“数学王子”高斯(1777—1855)发现，于是黎曼有幸成为高斯晚年的学生。

1851年11月，黎曼完成了他的博士论文《复变函数论的基础》。高斯对此论文给予了极高的评价，评语中写到：“这是一篇很有份量，很有价值的文章，它不仅达到而且远远超过了对博士论文的要求”。由此，黎曼不仅获得了博士学位，而且赢得了第一流数学家的声誉。

1854年，黎曼发表了题为《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》和《几何学的基本假设》两篇论文。他在后一篇论文中，把三维空间的研究推广到几维空间，引入了流形及流形曲率的概念，从而发展了非欧几何体系，确立了被后人称之为《黎曼几何》的理论基础。

黎曼不仅在函数理论和微分几何方面贡献卓越，他在数论、偏微分方程等领域也是硕果累累。以他名字命名的数学术语就有十多条，如“黎曼几何”、“黎曼曲面”、“黎曼函数”、“黎曼积分”、“黎曼猜想”等等。所以黎曼是一位世界上少有的数学天才。

然而，黎曼在生活的道路上却屡遭坎坷，步履维艰。1854年他成为哥廷根大学的一名编外讲师，仅能以学生的听课费为收入。由于收入微薄、不敷日用，他时常饿着肚子坚持工作。1857年他当上了副教授，两年以后又升为正教授。但由于他哥哥的去世，他又担负起四个妹妹的生活费用，所以生活上一直很艰难。黎曼本来身体就较虚弱，加上工作劳累与生活艰辛，他终于积劳成疾，患了肺病。由于经济上拮据，他没能彻底治愈疾病，后来病情恶化，不幸于1866年7月20日去世，年仅39岁。

黎曼一生在数学许多领域中都做出了划时代的贡献。他那深邃独特的思想对数学和物理学的发展产生了不可估量的作用。对于这样一位少有的数学伟人的早逝，实在令人感到惋惜与悲痛。如果当年他不是由于生活艰难以致败在病魔手中，可以预料黎曼将会有更多的发现与创举，他将会给我们这个世界留下更多的精神财富。

奇点理论 19世纪中期，常微分方程的研究到了新的阶段，存在定理和斯图姆-刘维尔理论都假设微分方程区域内含解析函数或至少包含连续函数，而另一方面，以前研究的微分方程如贝塞尔方程、勒让德方程、超几何方程，当它们的表现为二阶导数系数为1时，就有奇异的系数，在奇异点的邻域内级数解形式是特别的，尤其是第二个解。于是数学家开始研究奇点邻域内的解，也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。如果一个点上所有系数连续（通常可解析）就叫常点。 1866年富克斯(Lazarus Fuchs,1833-1902)指出，奇点邻域内的解可以用级数得出。富克斯是魏尔斯特拉斯在柏林大学的学生，后来也接老师的班在柏林大学任教。这方面的理论称为线性微分方程的富克斯理论，高斯关于超几何级数的工作为它指明了道路，而黎曼和富克斯是该理论的先驱。 人们研究形为 的线性微分方程，其中pi(z)除在孤立奇点外是复变数z的单值解析函数。这个方程的重要性在于其解包括所有初等函数甚至某些高等函数，如模函数和自守函数。 在考虑奇点和邻域内的解前，先了解富克斯证明的基本定理，尽管他认为是魏尔斯特拉斯授课启发，但这个定理是从柯西关于常微分方程组的存在性定理推导的。如果系数p1,..,pn在点a及其某一邻域内解析，且在z=a给出y和y的头n-1阶导数的任意初值，那么y有以z表示的唯一幂级数解 。富克斯在柯西的结果上新增了：该级数在以a为中心、pi(z)在其中解析的任何圆内绝对并一致收敛，推得该解仅在系数为奇异的地方具有奇异性。 布里奥和布凯开始研究奇点邻域内的解，他们关于一阶线性方程的结果很快推广到更普遍的叙述。 为了知道解在奇点邻域内的性态，黎曼提出了一个特别的方法。前面假设pi(z)除在孤立奇点外是复变数z的单值解析函数，解yi(z)除了在奇点外都是解析的，但在z值的整个区域一般不是单值的，假设有一个基本解系,yi(z)即上面定理中指明类型的n个独立解，那么通解是y=c1y1+c2y2+...+cnyn，其中ci是常数。如果研究一个解析的yi沿一条含有奇点的闭路径的性态，那么yi仍是微分方程的解，但值在同一函数的另一分支。因为任何解都是n个特解的线性组合，所以改变值后的yi'仍是yi的线性组合，由此可得： 这是说当每个yi沿包含奇点的一条闭路径运动时，y1,y2,...,yn就经受一定线性变换。对于绕每个奇点或绕奇点组合的任一闭路径，就会出现这样一个变换，这些变换的集合形成一个群，埃尔米特称为微分方程的单值群。 1857年黎曼求奇点邻域内解的特征，高斯得到超几何微分方程的三个奇点：0，1，∞，黎曼对复的x证明：为得到二阶微分方程的特解在奇点附近的性态，不必知道微分方程本身，只需知道自变量沿着围绕三个奇点的诸闭路径变动时，两个独立解是怎样变动的（对每个奇点，我们必须知道变换y1'=c11y1+c12y2,y2'=c21y1+c22y2）。黎曼处理用微分方程定义的函数的思想是：从关于单值群的知识导出这些函数的性质。他在1857年的论文中处理了超几何微分方程，但计划讨论带代数系数的n阶线性微分方程。1857年他写了一段但未发表，直到1876年才出版。在这段研究中他考虑了比有三个奇点的二阶方程更为普遍的方程，他假定有n个函数除了在奇点外是一致、有限和连续的，且z绕这种点走一闭回路时经历一个给定的线性变换。然后他证明这种函数系要满足一个n阶线性微分方程，但他没证明这些分支点（奇点）和这些替换可以任意选择，这部分工作未完成，留下了尚待解决的黎曼问题：在复平面上给定m个点a1,a2,...,am，每点结合成一个线性变换，在关于单值群性态基本假定的基础上，要证明：满足一个以ai为奇点的n阶线性微分方程，其函数类y1,y2,...,yn就确定了，且z绕ai点的闭路径走一周后，yi就经历一个与ai有关的线性变换。 富克斯在黎曼1857年超几何方程论文的基础上，深入研究了奇点的工作，1865年起富克斯和学生着手研究n阶微分方程，黎曼发表的是高斯超几何微分方程，而富克斯直接研究微分方程，并把微分方程理论普遍推广到复函数论领域。 富克斯从以x的有理函数为系数的n阶线性微分方程出发，通过仔细考察满足方程级数收敛性的形式，发现方程奇点是固定的，即不依赖积分常数，而且可以在积出前找到，因为它们是微分方程系数的极点。接着他证明。当自变量z绕奇点走一闭回路时，基本解系就经历一个常系数的线性变换。他从解的这个性态导出了围绕这点和邻近奇点的圆形区域内解的正确表达式。由此他建立了除在奇点邻域外都是一致、有限且连续的n个函数的函数系的存在性，且变量z绕奇点走闭回路时，函数系经历常系数的线性变换。 然后富克斯考虑形如 的微分方程必须有何性质，才能使其解在奇点z=a处有形状： 他认为有个充要条件是 ，其中P(z)在z=a及其邻域内解析，这样p1(z)有一阶极点等等。这样的点a叫做正则奇点（富克斯称为决定性的点）。 富克斯还研究了一种较为特殊的齐次线性方程，当它在扩充了的复平面上有有限个正则奇点，同时又以无穷远点∞为正则奇点时，称为富克斯型方程，此时pi(z)必须是z的有理函数，例如超几何方程在z=0,1,∞处就有正则奇点。 研究微分方程在给定点的邻域内积分不一定能给出积分本身，只是探讨完全积分的出发点。因为富克斯做了大量研究，数学家们扩大了能明显积分的线性常微分方程类，以前仅有常系数的n阶线性方程和勒让德方程可以积分，现在积分是z的一致性（单值）函数，方程就可以积分，得到的一般积分通常是新的函数。 此外对z=a点处有正则奇点的方程，还可利用级数求解。如果原点是正则奇点，方程形式是 此时可得到用关于z=0处的级数形式表示的n个基本解，并证明对z值的某些范围这级数收敛，级数形式是 ，对每个解ρ与cv是可确定的。该结果属于弗罗贝尼乌斯（Frobenius,1849-1917） 19世纪后半叶还在搞黎曼问题，但没成功，直到1905年希尔伯特和Oliver Dimon Kellogg（1878-1932）借助当时发展的积分方程理论给出完全解。他们证明产生单值群的变换可以任意给定。