线性方程的迭代法研究论文

还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法

考虑方程组Ax=b，其中A属于n*n维的矩阵空间，b和x属于n维向量空间，一般来说我们需要从这个隐式的方程组转变成显示的等价方程，一般具有形式 ,这样的方程为不动点方程，我们可以通过不断迭代，计算出等式右端然后赋值给变量x

对于Ax=b而言，如果我们简单取A=I-B，可以得到等价的x=Bx+b,从而构造迭代格式

需要注意的是，迭代法不一定会是收敛的，也就是说x不一定会收敛到某个值，这样并不是我们所希望的，故后面会讨论一下迭代法的收敛性，我们先来谈谈迭代法的构造，从迭代格式中可以看到，我们对矩阵A进行了一次分裂，分裂的格式显然不是唯一的，我们将采取A=M-N这样一种分裂方法，可以得到线性的不动点方程

不同的分裂法将使我们的B和f不一致，我们通常将A分裂成三个部分A=D-L-U，其中D为对角矩阵，L和U分别是下三角和上三角矩阵，这里需要注意一下符号的不同，L和U的元素都是原矩阵上三角和下三角元素符号的相反数

下面通过这样的一种分裂方式，我们介绍几种迭代形式，首先是 Jacobi迭代法（同步迭代）

注意到线性迭代中的M和N，在Jacobi迭代中，我们令M=D, N=L+U，构造出迭代格式，即

那么这样看就可以理解Jacobi迭代为什么是同步迭代了，因为所有的维度的x必须全部更新完成之后才可以进行下一步的迭代，由此我们介绍下一种迭代， Gauss-Seidel迭代（异步迭代）

在Gauss-Seidel迭代中，我们和上面对A进行同样的分裂方式，只不过在M，N的选取上做出了改变，我们令M=D-L，N=U，构造出迭代格式，即

在实际中，我们使用Jacobi迭代或者是Gauss-Seidel迭代都可能会出现不收敛或者收敛速度比较慢这样的情况，我们是不是可以试着去构造一种带参数的迭代方法，这样我们就能够利用参数的调整来实现对整个迭代方法调整已增加其收敛速度等，下面介绍 SOR(Successive over relaxation method)迭代

SOR迭代的基本思想是，在以求出第k个x值的基础上用Gauss-Seidel解出第k+1个x值，然后利用这k+1个x的值和第k个x的值的线性组合来的出更好的近似解

同样的我们利用和Jacobi，Gauss-Seidel迭代方法一样的分裂方法，对A进行分裂，注意到一种矩阵的记法

注意到等式右端的第一部分，即 ,这一部分其实就是之前的上一步的值

等式的第二部分就是类似Gauss-Seidel迭代得到的解然后乘上一个松弛因子（ ）

通过对上式进行化简，我们可以简单的得到

对于 这个矩阵我们知道，当 取任意值的时候，总为非奇异矩阵，也就是所总存在逆矩阵，所以上式可以继续化简（证明过程只需将矩阵的形式画出来，由于对角线元素不等于0，即可得证）

得到

所以我们可以根据上式建立起来SOR的迭代格式

其中，

我们利用上面的知识可以构造迭代格式来进行迭代，但是这里就出现一个问题，所有的迭代方法都是可行的吗？这里指的可行可能是收不收敛，收敛的快慢等等，所以我们有必要对其进行规范化，系统化的分析

先来看看一般的迭代格式

我们可以从n=0一直写到n=k+1，这样来看就有

我们必须研究矩阵 是否会变的越来越大，或者趋近于一个常数矩阵 ,以及 是否去趋近于

这里引入误差向量

只要误差向量趋近于0即可收敛，这里做个简单的计算

下面给出 收敛定理

这里直接给出这个收敛定理，并没有给出证明，具体的证明思路为利用Jordan标准型以及极限关系可以证明，后续等待补充

继续不加证明地给出一个定理

一般来说我们通过上述几个定理就可以通过计算矩阵的谱半径，也就是先计算最大的特征值，然后判断其是否大于1来判别一个基本迭代格式是否是收敛的，但是对于维度等级十分高的矩阵，我们可能得寻求一种较为简单的判别方法，下面我们不加证明地给出利用范数来判别的一个定理

对于迭代格式的收敛性我们已经讨论过了，下面给出误差的估计，主要是用来计算相应到达误差范围相应迭代次数的值，下面给出一个定理

该定理证明可以利用之前所介绍的 Banach引理 来证明

用上面的式子，可以求解出来精度 的迭代步数，令步数为k，B的范数为q，则有

首先我们来看看 对角占优矩阵 进行基本迭代法的收敛性

对角占优矩阵可以简单的划分成 严格对角占优 和 弱对角占优

我们直接不加证明的给出一个定理：

接下来，我们看一下另外一种特殊矩阵，即 对称正定矩阵

给出一个定理

同样的，我们对于Gauss-Seidel迭代也给出一个定理

对SOR的迭代格式，比较复杂，对于某些特定的矩阵有着一定规律，给出一个定理

由上述定理可以推出，方程组使用SOR方法收敛的一个必要条件

反过来，也有一个定理

①雅克比迭代法：function [n,x]=jacobi(A,b,X,nm,w)%用雅克比迭代法求解方程组Ax=b%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数，w为误差精度%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数n=1;m=length(A);D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵DL=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵LU=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵UM=inv(D)*(L+U); %计算迭代矩阵g=inv(D)*b; %计算迭代格式中的常数项%下面是迭代过程while n<=nm x=M*X+g; %用迭代格式进行迭代 if norm(x-X,2)