数学建模论文眼科排队问题

单服务台等待制模型 是指：顾客的相机到达时间服从参数为 的负指数分布，服务台个数为1，服务时间 服从参数为 的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。 记 为系统到达平衡状态后队长 的概率分布，则由(17)中关于指数分布的分析,并注意到 和 。记 并设 （否则队列将排至无限远），则： 所以： 其中 因此 上面两个公式废除了在平衡条件下系统中顾客数为 的概率。由上式可以看出， 是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因此，因此也成 为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，上述式子的推导前提是 即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。 已经得到概率分布，可以求得期望，期望即为平均队长： 平均排队长是：关于顾客在系统中的逗留时间 ，可说明它服从参数为 的负指数分布，即 可直接得到平均逗留时间： 因此，顾客在系统中的逗留时间为等待时间 和接受服务时间 之和，即： 故由： 可得等待时间 为： 与平均逗留时间 具有关系： 同理，平均排队长 与平均等待时间 具有关系上面两个公式称为Littile公式，是排队论中一个非常重要的公式。 在平衡状态下，忙期 和闲期 一般为随机变量，求取它们的分布是比较麻烦的。因此，我们来求一下平均忙期 和平均闲期 。由于忙期和闲期出现的概率分别为 和 ，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为 。又因为忙期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于是，忙期的平均长度 和闲期的平均长度 之比也应是 ，即 又因为在到达为 Poisson 流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从参数为 的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为 ，这样，便求得平均忙期为： 可发现，平均逗留时间 =平均忙期 。 从直观上看，顾客在系统中逗留的时间越长，服务员连续繁忙的时间也就越长。

排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。

排队论 又称**随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科，它研究的内容主要有以下三部分：

下面将对排队论的基本知识进行介绍：

下图是排队论的一般模型：

图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。

一般的排队过程都由 输入过程，排队规则，服务过程 三部分组成，现分述如下：

输入过程 是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况：

排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待，可分为 损失制，等待制和混合制 三种。

举例：小张去银行取钱，发现前面一个顾客身边摆了4个麻袋的硬币要存钱，于是悻悻地换了一个窗口。

举例：小张去银行取钱，发现前面有一条队的人很少，于是赶紧挤上前去排队。

举例：小张发现柜台前面有一条排队等待线，排队队伍长度不能够超过这条线，于是换到了还没有达到排队限度的队伍里。

1.服务机构 单服务台 ， 多服务台并联 （每个服务台同时为不同顾客服务）； 多服务台串联 （多服务台依次为同一顾客服务）； 混合制 。 2.服务规则 (1)先到先服务 (2)后到先服务 (3)随机服务，在队列中随机选人进行服务 (4)特殊优先服务，对病情危急的病人优先治疗。

：顾客到达流或顾客到达时间的分布。 ：服务时间的分布。 ：服务台数目。 ：系统容量限制。 ：顾客源数目。 ：服务规则。（先到先服务FCFS，后到先服务LCFS）

1.平均队长 ： 正在被服务和正在等待服务 的顾客数之和的数学期望。 2.平均排队长 ：指系统内 等待服务 的顾客数的数学期望。 3.平均逗留时间 ：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间）。 4.平均等待时间 ：指一个顾客在排队系统中排队等待时间。 5.平均忙期 ：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望。

还有由于顾客被拒绝而使企业受到损失的 损失率以及以后经常遇到的 服务强度等，这些都是很重要的指标。

计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓 系统的状态即指系统中顾客数，如果系统中有 n 个顾客就说系统的状态是 n ，它的可能值是： 1.队长没有限制时： 2.队长有限制，最大数为 时， 3.损失制，服务台个数是 时， 这些状态的概率一般是随时刻 而变化，所以在时刻 ，系统状态为 的概率用 表示。稳态时系统状态为 的概率用 表示。

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医院排队模型 辽宁石油化工大学建模小组医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务. 这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的. 如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用.所谓排队系统模拟建模,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据. 医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重要分支之一. 在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随机服务系统.这些系统可以是具体的,也可以是抽象的.排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.排队系统及简介：排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则. 1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务. 常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛. 所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入： ① 平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段时间的长度和患者数有关； ② 无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可能有无限个患者到达. 患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；患者接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的. 常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和埃尔朗分布. 一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为B ( t ) = 1- e - m t (t ≥0).其中m＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而1/m 则是平均服务时间. 服务窗口的主要属性是服务台的个数. 其类型有：单服务台、多服务台.多服务台又分并联、串联和混合型三种. 最基本的类型为多服务台并联. 分为三类：损失制、等待制、混合制. 损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失. 等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则： ①先到先服务,如就诊、排队取药等； ②后到先服务,如医院处理急症病人； ③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务； ④优先权服务,如照顾号. 混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的； 容量可能是有限的，也可能是无限的排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述. 根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即输入过程 | 服务分布 | 服务台个数 例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统. 评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映.排队系统的主要数量指标 ： 建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长. ⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好. 用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度. ⑶ 队长 指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者). 用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长. 此外, 用r 表示服务强度,其值为有效的平均到达率l与平均服务率m 之比, 即r =l/m .M | M | 1 模型 M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型. 假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队规则是先到先服务. 设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.Pn=(1- r )r n, n = 0, 1, 2, … .其中r =l/m 表示有效的平均到达率l与平均服务率m 之比(0＜r ＜1). M | M | 1 模型的几个主要指标 ⑴ 在系统中的平均患者数(平均队长)Ls ⑵ 在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq ⑶ 患者在系统中平均逗留时间Ws ⑷ 患者在队列中平均等待时间Wq ⑸ 闲期的平均长度I ⑹ 忙期的平均长度B 例 某MRI室配有一位专业医师,负责核磁共振拍摄工作.已知每天平均有6名患者前来, 每人平均时间为1小时,前来的患者按泊松分布到达,服务时间服从负指数分布,每天按8小时计. 试求： ①医师工作空闲的概率； ②MRI室有两台患者同时到达的概率； ③MRI室至少有1人来的概率； ④ MRI室逗留的患者的平均人数； ⑤患者在MRI室的平均逗留时间； ⑥ MRI室等待患者的平均人数； ⑦待拍摄的患者平均等待时间； ⑧ MRI室忙期的平均长度. 解 平均到达率l = 6/8 = 人/小时,平均服务率m = 1人/小时,服务强度r = = . ① MRI室没有拍摄患者的概率为P0 = 1 - r = 1 - = . 即工作人员有25%的时间空闲. ② MRI室有2名等候患者的概率为P2 = (1 - r ) r 2 = . ③ MRI室至少有1等候患者的概率为P = P (n≥1) = 1 - P0 = 1 - (1 - r ) = . 即有75%的时间, MRI室至少有1名等候患者. ④ MRI室逗留的患者的平均人数为

哎 怎么能这样呢？ 还百度下