梯度下降法做本科毕业论文

梯度下降是非常常用的优化算法。作为机器学习的基础知识，这是一个必须要掌握的算法。借助本文，让我们来一起详细了解一下这个算法。

前言

本文的代码可以到我的Github上获取：

本文的算法示例通过Python语言实现，在实现中使用到了numpy和matplotlib。如果你不熟悉这两个工具，请自行在网上搜索教程。

关于优化

大多数学习算法都涉及某种形式的优化。优化指的是改变x以最小化或者最大化某个函数的任务。

我们通常以最小化指代大多数最优化问题。最大化可经由最小化来实现。

我们把要最小化或最大化的函数成为目标函数（objective function）或准则（criterion）。

我们通常使用一个上标*表示最小化或最大化函数的x值，记做这样：

[x^* = arg; min; f(x)]

优化本身是一个非常大的话题。如果有兴趣，可以通过《数值优化》和《运筹学》的书籍进行学习。

模型与假设函数

所有的模型都是错误的，但其中有些是有用的。– George Edward Pelham Box

模型是我们对要分析的数据的一种假设，它是为解决某个具体问题从数据中学习到的，因此它是机器学习最核心的概念。

针对一个问题，通常有大量的模型可以选择。

本文不会深入讨论这方面的内容，关于各种模型请参阅机器学习的相关书籍。本文仅以最简单的线性模型为基础来讨论梯度下降算法。

这里我们先介绍一下在监督学习（supervised learning）中常见的三个符号：

e的x减一次方的导数是e^(x-1)。

具体解法如下：

e的x减一次方，即为e^(x-1)

e的x减一次方的导数，即为e^(x-1)的导数

e^(x-1)'=e^(x-1)*(1)=e^(x-1)

所以e的x减一次方的导数是e^(x-1)。

扩展资料

导数的求解注意点：

1、理解并牢记导数定义。导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导。

2、导数定义相关计算。这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。

3、导数、可微与连续的关系。函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的。

4、导数的计算。导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。

5、高阶导数计算。需要同学们记住几个常见的高阶导数公式，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了，也有通过求一阶导数，二阶，三阶的方法来找出他们之间关系的。

复合函数的求导法则：y=f(u)与u=g(x)复合而成函数y=f[g(x)]，其导数是f'(u)×g'(x)。这里，f[g(x)]=e^(2x-1)分解为f(u)=e^u，u=2x-1，所以e^(2x-1)的导数是f'(u)×g'(x)＝e^u×2＝2e^(2x-1)。

是的，明年一月股票价格属于逻辑回归问题。逻辑回归这个模型很神奇，虽然它的本质也是回归，但是它是一个分类模型，并且它的名字当中又包含”回归“两个字，未免让人觉得莫名其妙。如果是初学者，觉得头晕是正常的，没关系，让我们一点点捋清楚。让我们先回到线性回归，我们都知道，线性回归当中 y = WX + b。我们通过W和b可以求出X对应的y，这里的y是一个连续值，是回归模型对吧。但如果我们希望这个模型来做分类呢，应该怎么办？很容易想到，我们可以人为地设置阈值对吧，比如我们规定y > 0最后的分类是1，y < 0最后的分类是0。从表面上来看，这当然是可以的，但实际上这样操作会有很多问题。最大的问题在于如果我们简单地设计一个阈值来做判断，那么会导致最后的y是一个分段函数，而分段函数不连续，使得我们没有办法对它求梯度，为了解决这个问题，我们得找到一个平滑的函数使得既可以用来做分类，又可以解决梯度的问题。很快，信息学家们找到了这样一个函数，它就是Sigmoid函数，它的表达式是：它的函数图像如下：可以看到，sigmoid函数在x=0处取值，在正无穷处极限是1，在负无穷处极限是0，并且函数连续，处处可导。sigmoid的函数值的取值范围是0-1，非常适合用来反映一个事物发生的概率。我们认为σ(x) 表示x发生的概率，那么x不发生的概率就是 1 - σ(x) 。我们把发生和不发生看成是两个类别，那么sigmoid函数就转化成了分类函数，如果 σ(x) > 表示类别1，否则表示类别0.到这里就很简单了，通过线性回归我们可以得到也就是说我们在线性回归模型的外面套了一层sigmoid函数，我们通过计算出不同的y，从而获得不同的概率，最后得到不同的分类结果。损失函数下面的推导全程高能，我相信你们看完会三连的(点赞、转发、关注)。让我们开始吧，我们先来确定一下符号，为了区分，我们把训练样本当中的真实分类命名为y，y的矩阵写成 Y 。同样，单条样本写成 x , x 的矩阵写成 X。单条预测的结果写成 y_hat，所有的预测结果写成Y_hat。对于单条样本来说，y有两个取值，可能是1，也可能是0，1和0代表两个不同的分类。我们希望 y = 1 的时候，y_hat 尽量大， y = 0 时， 1 - y_hat 尽量大，也就是 y_hat 尽量小，因为它取值在0-1之间。我们用一个式子来统一这两种情况：我们代入一下，y = 0 时前项为1，表达式就只剩下后项，同理，y = 1 时，后项为1，只剩下前项。所以这个式子就可以表示预测准确的概率，我们希望这个概率尽量大。显然，P(y|x) > 0，所以我们可以对它求对数，因为log函数是单调的。所以 P(y|x) 取最值时的取值，就是 log P(y|x) 取最值的取值。我们期望这个值最大，也就是期望它的相反数最小，我们令这样就得到了它的损失函数：如果知道交叉熵这个概念的同学，会发现这个损失函数的表达式其实就是交叉熵。交叉熵是用来衡量两个概率分布之间的”距离“，交叉熵越小说明两个概率分布越接近，所以经常被用来当做分类模型的损失函数。关于交叉熵的概念我们这里不多赘述，会在之后文章当中详细介绍。我们随手推导的损失函数刚好就是交叉熵，这并不是巧合，其实底层是有一套信息论的数学逻辑支撑的，我们不多做延伸，感兴趣的同学可以了解一下。硬核推导损失函数有了，接下来就是求梯度来实现梯度下降了。这个函数看起来非常复杂，要对它直接求偏导算梯度过于硬核(危)，如果是许久不碰高数的同学直接肝不亚于硬抗苇名一心。为了简化难度，我们先来做一些准备工作。首先，我们先来看下σ 函数，它本身的形式很复杂，我们先把它的导数搞定。因为 y_hat = σ(θX) ，我们将它带入损失函数，可以得到，其中σ(θX)简写成σ(θ) ：接着我们求 J(θ) 对 θ 的偏导，这里要代入上面对 σ(x) 求导的结论：代码实战梯度的公式都推出来了，离写代码实现还远吗？不过巧妇难为无米之炊，在我们撸模型之前，我们先试着造一批数据。我们选择生活中一个很简单的场景——考试。假设每个学生需要参加两门考试，两门考试的成绩相加得到最终成绩，我们有一批学生是否合格的数据。希望设计一个逻辑回归模型，帮助我们直接计算学生是否合格。为了防止sigmoid函数产生偏差，我们把每门课的成绩缩放到(0, 1)的区间内。两门课成绩相加超过140分就认为总体及格。这样得到的训练数据有两个特征，分别是学生两门课的成绩，还有一个偏移量1，用来记录常数的偏移量。接着，根据上文当中的公式，我们不难(真的不难)实现sigmoid以及梯度下降的函数。这段函数实现的是批量梯度下降，对Numpy熟悉的同学可以看得出来，这就是在直接套公式。最后，我们把数据集以及逻辑回归的分割线绘制出来。最后得到的结果如下：随机梯度下降版本可以发现，经过了1万次的迭代，我们得到的模型已经可以正确识别所有的样本了。我们刚刚实现的是全量梯度下降算法，我们还可以利用随机梯度下降来进行优化。优化也非常简单，我们计算梯度的时候不再是针对全量的数据，而是从数据集中选择一条进行梯度计算。基本上可以复用梯度下降的代码，只需要对样本选取的部分加入优化。我们设置迭代次数为2000，最后得到的分隔图像结果如下：当然上面的代码并不完美，只是一个简单的demo，还有很多改进和优化的空间。只是作为一个例子，让大家直观感受一下：其实自己亲手写模型并不难，公式的推导也很有意思。这也是为什么我会设置高数专题的原因。CS的很多知识也是想通的，在学习的过程当中灵感迸发旁征博引真的是非常有乐趣的事情，希望大家也都能找到自己的乐趣。今天的文章就是这些，如果觉得有所收获，请顺手点个关注或者转发吧，你们的举手之劳对我来说很重要。相关资源：【原创】R语言对二分连续变量进行逻辑回归数据分析报告论文(代码...文章知识点与官方知识档案匹配算法技能树首页概览33030 人正在系统学习中打开CSDN，阅读体验更佳VGG论文笔记及代码_麻花地的博客_vgg论文VGG论文笔记及代码 VERY DEEP CONVOLUTIONAL NETWORKS FOR LARGE-SCALE IMAGE RECOGNITION 牛津大学视觉组(VGG)官方网站: Abstract 在这项工作中,我们研究了在大规模图像识别环境中卷积网络深度对其......MNIST研究》论文和Python代码_通信与逆向那些事的博客_机器...1、逻辑回归算法 逻辑回归(Logistic Regression),与它的名字恰恰相反,它是一个分类器而非回归方法,在一些文献里它也被称为logit回归、最大熵分类器(MaxEnt)、对数线性分类器等。 使用中的LogisticRegression方法来训练...两个重要极限的推导两个重要极限 （1） lim⁡θ→0sin⁡θθ=1 （θ为弧度） \underset{\theta \rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin \theta}{\theta}=1\ \ \text{（}\theta \text{为弧度）} θ→0lim​θsinθ​=1 （θ为弧度） （2） lim⁡x→∞(1+1x)x=e \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\left( 1+\frac{1}{x} \ri继续访问两个重要极限及其推导过程一、 证明：由上图可知， 即 二、 证明：首先证明此极限存在 构造数列 而对于n+1 ...继续访问...是多项式回归】Jeff Dean等论文发现逻辑回归和深度学习一样好_qq...其中,基线 aEWS(augmented Early Warning Score)是一个有 28 个因子的逻辑回归模型,在论文作者对预测患者死亡率的传统方法 EWS 进行的扩展。而 Full feature simple baseline 则是 Uri Shalit 说的标准化逻辑回归。 注意到基线模型(红...数学模型——Logistic回归模型(含Matlab代码)_苏三有春的博客...Logistic回归模型是一种非常常见的统计回归模型,在处理大量数据,揭示各自变量如何作用于因变量(描述X与Y之间的关系)时有着十分重要的作用。笔者在写Logit回归模型前参加了一次市场调研比赛,在这次比赛中学到了很多东西,同时发现,许多优秀获...《神经网络设计》第二章中传递函数import math #硬极限函数 def hardlim(data): if data < 0: a = 0 else: a = 1 print("fun:hardlim,result:%f"%a) #对称硬极限函数 def hardlims(data): if data < 0: a = -1 e继续访问两个重要极限定理推导两个重要极限定理： lim⁡x→0sin⁡xx=1(1) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1} x→0lim​xsinx​=1(1) 和 lim⁡x→∞(1+1x)x=e(2) \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \tag{2} x→∞lim​(1+x1​)x=e(2) 引理(夹逼定理) 定义一： 如果数列 {Xn}\lbrace X_n \rbrace{Xn​}，{Yn}继续访问【原创】R语言对二分连续变量进行逻辑回归数据分析报告论文(代码...【原创】R语言对二分连续变量进行逻辑回归数据分析报告论文(代码数据).docx资源推荐 资源评论 鲸鱼算法(WOA)优化变分模态分解(VMD)参数python 5星 · 资源好评率100% 程序 2.有数据集,可直接运行 matlab批量读取excel表格数据...机器学习--逻辑回归_科技论文精讲的博客机器学习-逻辑回归分析(Python) 02-24 回归和分类方法是机器学习中经常用到的方法区分回归问题和分类问题:回归问题:输入变量和输出变量均为连续变量的问题;分类问题:输出变量为有限个离散变量的问题。因此分类及回归分别为研究这两类问题...常见函数极限lim⁡x→0sin⁡x=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin}{x}=1x→0lim​xsin​=1 lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=ex→∞lim​(1+x1​)x=e lim⁡α→0(1+α)1α=e\lim_{\alpha\to 0}(1+\alpha)^\frac{1}{\alpha}=eα→0lim​(...继续访问逻辑回归原理及代码实现公式自变量取值为任意实数，值域[0,1]解释将任意的输入映射到了[0,1]区间，我们在线性回归中可以得到一个预测值，再将该值映射到Sigmoid函数中这样就完成了由值到概率的转换，也就是分类任务预测函数其中，分类任务整合解释对于二分类任务（0，1），整合后y取0只保留，y取1只保留似然函数对数似然此时应用梯度上升求最大值，引入转换为梯度下降任务求导过程参数更新多分类的softmax。............继续访问python手写数字识别论文_Python利用逻辑回归模型解决MNIST手写数字识别问...本文实例讲述了Python利用逻辑回归模型解决MNIST手写数字识别问题。分享给大家供大家参考,具体如下: 1、MNIST手写识别问题 MNIST手写数字识别问题:输入黑白的手写阿拉伯数字,通过机器学习判断输入的是几。可以通过TensorFLow下载MNIST手写数据集,...逻辑回归问题整理_暮雨林钟的博客逻辑回归问题整理 之前只是简单的接触过逻辑回归,今天针对于最近看论文的疑惑做一个整理; 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