[2]Γ.M.费赫尔金哥尔茨著，叶彦谦等译.微积分学教程.北京：人民教育出版社， 1978年第五章第三节及第七章第二节
先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。
求多元函数极值的两种特殊方法摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值1. 利用方向导数求二元函数的极值定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：（1）,则函数在上单调增加；（2）,则函数在上单调减少；（3）,则函数在上为常数。证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是当时，，；当时,  , ;
故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。同理可证，成立。定理1 设函数在点的某领域内可微，且,如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：（1）, 则为的极大值；（2），则为的极小值。证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。由的任意性，是极大值。情形同理可证。例1 讨论二元函数的极值。解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。, 求得稳定点为。因为，由定理知在点处取得极小值。。 2. 利用实对称矩阵求多元函数的极值
上面用方向导数方法对多元函数求其极值，下面介绍用实对称矩阵求多元函数极值。定义2 设函数在点有连续的二阶偏导数，称矩阵为函数在点的黑塞矩阵。定理2 设元函数在点的某个领域有连续的二阶偏导数，且为其稳定点，则（i）若是正定矩阵时，则为的极小值点；（ii）若是负定矩阵时，则为的极大值点；（iii）若是不定矩阵时，则在处不取极值。证明 设元函数在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点是的稳定点（驻点)，即是  的一组解（极值存在的必要条件），那么如何判断是否是极值呢？如果是极值，是极大值还是极小值呢？这里介绍一种方法，是数学分析下册所学的用黑塞矩阵判定，即根据一个实对称矩阵的正定和负定来进行判断。在点处给自变量微小增量，相应地，函数有增量。按定义，当时，为极大值；反之，当时，为极小值。因此问题归结为如何判断的正负问题。根据泰勒（）公式有
由于 满足方程组，所以上式右端第一项为零，而其余各项当时，每一项都是它前面的高阶无穷小，因此当很小时，和等式右端第二项有相同的符号。所以要判断的正负，只要判断的正负就可以了。是关于变量的二次齐次多项式，其系数为实数，所以此式也是关于变量的一个实二次型。由于，所以其中为实对称矩阵，其元素且不全为零,即。若A为正定矩阵，则，，为极小值；若为负定矩阵，则，，为极大值。若既不正定，又不负定，则不是极值。
应当注意的是，若二次齐次多项式为零，则，此时不能用的正定或负定来判断是否为极值或判断是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判断。用实对称矩阵求多元函数极值的步骤1.先求多元函数一阶偏导数，求取稳定点；2.然后将稳定点代入多元函数对应的矩阵中；3.判断该矩阵是正定矩阵还是负定矩阵。例2 研究二元函数的极值。解 解方程组得稳定点和。在点处有，，，，由于既不是正定矩阵，又不是负定矩阵，所以不是极值。在点处有，，由于的顺序主子式均大于零，即为正定矩阵，所以为极小值。例3 研究三元函数 的极值。
解 解方程组得稳定点。相应地在点有，，，，由于的奇数阶主子式均小于零，而偶数阶主子式均大于零，即为负定矩阵，所以为极大值。参考文献 :[1]余兴民.利用方向导数判别函数极值[J].商洛师范专科学校学报， 2002,16（4）：20-21.[2]华东师范大学数学系.数学分析下册第三版.高等教育出版社.[3]王萼芳 ，石生明.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数第三版.高等教育出版社.[4]叶耀军.n元函数极值的求法.第四届全国农业应用数学研讨会论文集，1993.[5]赵亚明，杨玉敏.多元函数极值的一种新方法[J].鞍山师范学院学报，2003,5（4）：7-9.[6]蔡生.多元函数极值的一个判别法[J].辽宁教育学院学报，1997,14（5）：11-13.[7]赵俊.多元函数极值的判别方法探讨[J].现代商贸工业，2009,13:194-195.[8]凌征球.二次型在求多元函数极值上的应用[J].广西民族学院学报（自然科学版），2002,8(2)
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求多元函数极值的两种特殊方法
求多元函数极值的两种特殊方法
摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。
关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值
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1. 利用方向导数求二元函数的极值
定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。
引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：
（1）,则函数在上单调增加；
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（2）,则函数在上单调减少；
（3）,则函数在上为常数。
证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是
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当时，，；当时,  , ;
故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。
同理可证，成立。
定理1 设函数在点的某领域内可微，且,
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如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：
（1）, 则为的极大值；
（2），则为的极小值。
证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。
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由的任意性，是极大值。情形同理可证。
例1 讨论二元函数的极值。
解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。
, 
求得稳定点为。
因为，由定理知在点处取得极小值。
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1
北方民族大学毕业论文（设计）
开 题 报 告 书
题目
姓 名
学 号 专 业 数学与应用数学 指导教师
北方民族大学教务处制
2
北方民族大学毕业论文（设计）
开 题 报 告 书
2014年 3月 12 日
姓 名
院（部） 数信学院
课题性质
学 号 专 业
数学与应用数学
课题来源 老师提供
题 目
探索“积分学”所蕴含的数学美
一、 选题的目的、意义（含国内外相同领域、同类课题的研究现状分析）：
(一）、选题的目的
(二）、选题的意义
3
二、本题的基本内容：
课题任务、重点研究内容、实现途径、方法及进度计划
4
三、推荐使用的主要参考文献：
四、 指导教师意见：
签章：
年 月 日
五、院（部）审查意见：
签章：
年 月 日
还有
毕业论文（设计）开题报告
姓名
性别
学号
学院
专业
年级
论文题目
函数极值的探究与应用
□教师推荐题目
□自拟题目
题目来源
题目类别
指导教师
选题的目的、意义
(
理论意义、现实意义
):
选题目的：为进一步研究有关函数极值在不同的情况下的求值问题，特别是当函数是一元、二元
或者多元时的极值求解。
为学习函数极值问题提供一个比较全面的介绍，
从而给学者在函数极值的求解
提供充足的知识。
理论意义：整合函数极值的有关求解问题，有助于函数极值的更进一步研究。
现实意义：为初学函数极值问题提供有关的资料，也为考研及掌握函数极值提供较全面的知识准
备。
选题的研究现状（理论渊源及演化、国外相关研究综述、国内相关研究综述）
：
函数极值是有关函数的一个重要的研究课题，它对于掌握函数有着重要的作用。目前在有关的研
究中都有关于函数极值的讨论，
并在不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值问题的有关见解，
同
时这些学者都研究的比较透彻、全面。
论文
(
设计
)
主要内容（提纲）
：
本文重点介绍了有关函数极值的求解问题及其运用。
比较系统的介绍当函数是一元、
二元及多元时函数极值的不同求解方法，
及有关函数极值的定理
及证明。
在介绍各元函数求解方法时给出了相应的函数极值求解的例题，有助于理解求函数极值的有关定
理，并对函数极值求解的掌握。
拟研究的主要问题、重点和难点
:
研究的主要问题：不同元函数的极值求解的相关定理及其证明。
重难点是这些定理的证明及应用问题。
研究目标：
给出有关不同元函数的极值的求解定理。
研究方法、技术路线、实验方案、可行性分析：
研究方法：分析和综合以及理论联系实际的方法；
技术路线：理论研究；
实验方案：参照书本的相关知识，及相关文章；
可行性分析：综合各种函数极值的求解问题，从而得出自己的研究。
研究的特色与创新之处：
综合不同元的函数，给出不同元的函数极值的相关定理与证明，总结出比较系统的有关函数极值
的求解问题。
进度安排及预期结果：
第七学期第十五周之前：开题报告；
2010
年寒假期间：搜集、整理资料，构思、细化研究路线；
第八学期第一至六周：撰写论文，完成“研究路线”中的前四个阶段；
第八学期第七、八周：撰写论文，给出简化阶梯形矩阵在向量空间中的若干重要应用；
第八学期第九周：按照琼州学院教务处制定的《毕业论文撰写规范》排印论文；
第八学期第十周：做好答辩前的准备工作。
参考文献：
[1]
华东师范大学数学系编
.
数学分析（第三版）
（上）
[M].
北京
:
高等教育出版社
.
[2]
方保镕等
.
矩阵论
[M].
北京：清华大学出版社
.2004(11).
[3]
吉艳霞
.
求函数极值问题的方法探究
[J].
运城学院学报
.2006,
[4]
李关民，王娜
.
函数极值高阶导数判别法的简单证明
[J].
沈阳工程学报
.2009.
[5]
李文宇
.
求多元函数极值的一种新方法
[J].
鸡西大学学报
.2006.
指导教师意见：
指导教师签名：
年
月
日
答辩小组意见：
组长签名：
年
月
日
备注：
1
、题目来源栏应填：教师科研、社会实践、实验教学、教育教学等；
2
、题目类
别栏应填：应用研究、理论研究、艺术设计、程序软件开发等。
