人教版必修五的基本不等式aba+b2是高中数学的重点内容,也是教学中的难点内容,学生在基本不等式的顺用和逆用解题时很容易出错,甚至还不知道错在哪里,这就给学生学习这个知识点带来了神秘色彩.现举出一个易错题例浅谈一下基本不等式的教与学.
例题:已知正数a,b满足2a+3b=1,求2a+3b的最小值.
典型错解:∵正数a,b满足2a+3b=1,∴2a+3b≥26ab① ,
而 2a+3b=1≥26ab②,∴0 ∴2a+3b≥24 ③,∴2a+3b的最小值为24.
错因分析:①式等号成立的条件是“2a+3b”,②式等号成立的条件是“2a=3b”, ③式等号成立的条件应是2a=3b
2a=3b
2a=3b(是由两步共同推理最小值的),此条件会造成矛盾“4=9”,故上述解法是错的.
防错策略:运用重要不等式求最值(或值域)时,教学中必须严扣三大条件(正值条件、定值条件、取等条件,即“一正”、“二定”、“三相等”),规范解题格式(三条件缺一不可),养成严谨的解题习惯.
正确解法:
解法一:(施行“减元”措施,运用函数思想)
由条件知b=1-2a3>0,故0 令2+5a=t(2 易证t+9t在t∈(2,3)时递减、在t∈(3,92)时递增,
故6≤t+9t<132,0<-2(t+9t)+13≤1,2a+3b≥25 (当且仅当t=3即a=15时取到等号).
∴2a+3b的最小值为25.
解法二:(规范使用重要不等式的解题格式)
∵a,b均为正数,∴ab>0,ba>0(写出公式成立的正值条件),
又2a+3b=1,∴2a+3b=1·(2a+3b)=(2a+3b)(2a+3b)=13+6ba+6ab≥13+26ba·6ab=25
当且仅当6ba=6ab即a=b=15时取到等号(写出公式成立的取等条件).
∴2a+3b的最小值为25.(定值条件在ba·ab中得到体现).
评注:解法一虽然较繁,但它说明了严扣三大条件的合理性;解法二中利用条件把2a+3b变形到13+6ba+6ab后只须使用一次公式,解决了分步割裂的矛盾,是最常用的解法. 运用重要不等式求最值(值域)时,一般只使用一次公式,当分步使用公式时,必须各步的取等条件同时成立时才是可行的.
下面我们再通过两个练习,来体验解决这类题的方法.
1.函数y=loga(x+4)-1(a>0,a≠1)的图像恒过点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求1m+3n的最小值.
2.若x,y为正实数,且2x+8y-xy=0,求xy的最小值.
练习答案如下:
解析1:∵函数y=loga(x+4)-1(a>0,a≠1)的图像恒过点A,∴A(-3,-1)
又点A(-3,-1)在直线mx+my+1=0上,
∴-3m-n+1=0,即3m+n=1,
又mn>0,则m>0,n>0.
∴1m+3n=(3m+n).(3m+3n)=6+nm+9mn6+2nm·9mn=12.
当且仅当nm=9mn,即m=16,n=12时等号成立.
故1m+3n的最小值为12.
解析2:∵ x,y为正实数,
∴2x+8y22x·8y=8xy.
∴8xy-xy0.
∴xy8, ∴xy64,
当且仅当2x=8y即x=16,y=4时等号成立.
故xy的最小值为64.
另解:∵x,y为正实数,
由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy
∴8x+2y=1,∴128x·2y=8xy,
∴xy8, ∴xy64,
当且仅当8x=2y即x=16,y=4时等号成立.
故xy的最小值为64.
此题还可以用“减元”措施,运用函数思想,请读者自己一试身手.
