数学在生活中的应用 数学是一门很有用的学科。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事” 如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们 购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便 利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门” ；运动场跑 道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定； 折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解 Rt 三角形有关知识的应 用。 因此我们的研究性课题是数学在生活中的运用，希望通过这次小研究，提高我们的数 学能力，能够在生活中自觉地运用数学知识。 结合高中知识：函数、不等式、数列等方面，我们上网查了资料相关资料，并结合自身生活 实际思考，整理归纳如下。 第一部分 函数的应用 我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无理函数、幂、指、 对数函数及分段函数等八种。这些函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关 系，因此代数中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的。 一、一元一次函数的应用 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。 当人们在社会生活中从事买卖特别是 消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往 往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。 这时我们应三思而后行， 深入发掘自己头 脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说： “从南京到北京，买的没有卖的精。 ”我们切不 可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 过年这几天和家人上街购物， 商家纷纷采取各种优惠措施， 我就运用自己的数学函数知 识精打细算了一次。 我去“好日子”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠， 这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法： （1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶 杯）（2）打九折（即按购买总价的 90% 付款） ； 。其下还有前提条件是：购买茶壶 3 只以上 （茶壶 20 元/个，茶杯 5 元/个） 。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种 更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式， 决心应用所学的函数知识， 运用解析法将此 问题解决。 我在纸上写道： 设某顾客买茶杯 x 只，付款 y 元，(x>3 且 x∈N)，则 用第一种方法付款 y1=4×20+(x-4)×5=5x+60; 用第二种方法付款 y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72. 接着比较 y1y2 的相对大小. 设 d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当 d>0 时，0.5x-12>0,即 x>24; 当 d=0 时，x=24; 当 d<0 时，x<24. 综上所述，当所购茶杯多于 24 只时，法（2）省钱；恰好购买 24 只时，两种方法价格相等； 购买只数在 4—23 之间时，法（1）便宜. 可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜 绝了浪费，真是一举两得啊！ 二、一元二次函数的应用 在企业进行诸如建筑、饲养、造林绿化、产品制造及其他大规模生产时， 其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示。 企业经营者经常依据这方面的知识预计企 业发展和项目开发的前景。他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益， 从而判断企业经济效益是否得到提高、 企业是否有被兼并的危险、 项目有无开发前景等问题。 常用方法有：求函数最值、某单调区间上最值及某自变量对应的函数值。 三、三角函数的应用 三角函数的应用极其广泛，最简的也是最常见的一类——锐角三角函数的应用： “山林 绿化”问题。 在山林绿化中， 须在山坡上等距离植树，且山坡上两树之间的距离投影到平地上须同平地 树木间距保持一致。 （如左图）因此，林业人员在植树前，要计算出山坡上两树之间的距离。 这便要用到锐角三角函数的知识。 第二部分 不等式的应用 日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两 类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙， 而平均值不等式在生产生活中起到了 不容忽视的作用。下面，我们主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。 在生产和建设中， 许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。 平均 值不等式知识在日常生活中的应用， 均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要 的应用： （表后重点分析“包装罐设计”问题） 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法 设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一 经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价 （票价=最低票价+ +平均利润） 包装罐设计 （见表后） （见表后） （见表后） 包装罐设计问题 1、 “白猫”洗衣粉桶 “白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示） ， 若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值） =>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2) ≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当 r =rh/2=>h=2r 时取等号), ∴应设计为 h=d 的等边圆柱体. 2、 “易拉罐”问题 圆柱体上下第半径为 R,高为 h，若体积为定值 V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？ 分析：应用均值定理，同理可得 h=2d∴应设计为 h=2d 的圆柱体. 事实上， 不等式特别是均值不等式在生产实践中的应用远不止这些， 在这里就不一一列 举了。 第二部分 第二部分 数列的应用 在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人 口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。 重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。 （一）按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大 地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知， 按揭货款 （公积金贷款） 中都实行按月等额还本付息。 这个等额数是如何得来的， 此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这 一问题的解决办法。 若贷款数额 a0 元,贷款月利率为 p,还款方式每月等额还本付息 a 元.设第 n 月还款后的本 金为 an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以 a1-a/p 为首项，1+p 为公比的等比数列。日常生活中一切有关 按揭货款的问题，均可根据此式计算。 研究总结 第三部分 研究总结这次研究运用数学知识解决实际问题给我们带来了许多发现和思考的愉快，这也正验证 了苏霍姆林斯基所说的： “在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是 一个发现者 、研究者、探索者。 ”这也正是研究性学习的意义所在。作为中学生，我们不仅 要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题．这样才能更好地 适应社会的发展和需要。 但这次研究性学习也有不足之处， 首先寒假大家联系不便， 也较难取得辅导老师的帮助， 我们想，毕竟高中所学数学知识有限，如果能在数学老师指导下，学习一些大学深入研究的 数学应用知识，可以更好的拓宽知识面，加深理解。其次，我们的生活和经济理财打交道较 少， 如果能结合学校的饭卡使用过程中的经济问题问题结合统计学知识， 调查出同学们的消 费水平，一些节俭消费的措施和手段，那数学知识就真的帮上大忙了。最后，希望学校能将 其他同学较为优秀的研究性学习成果进行展示，为我们提供借鉴。 高二（22）班 刘丽华 张晶晶 洪泓 曹静 沈彤 夏叶宁 潘玥
1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法： 含参问题的定义域要分类讨论； 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。（3）函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
函数的性质：
函数的单调性、奇偶性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。判定方法有：作差比较和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
例：已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x(1-x),则x<0时，f(x)=_______
解：设x＜0,那么-x>0代入f(x)=x(1-x),
得f(-x)=-x(1+x), f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x) 得f(x)=x(1+x),
不等式理论简史及离散型Hilbert不等式
[论文摘要]本文首先介绍了不等式理论发展的历史，然后引入了离散型Hilbert不等式，介绍了Hilbert不等式的一个初等证明，最后对Hilbert不等式的推广形式作了简要的总结。
[关键词]不等式理论 Hilbert不等式初等证明 权函数
[Abstract]In this passage,we introduce the history of inequality theory first.Then we introduce the Hilbert’s inequality with a primary prof.At the end,we make a summary of a series forms of Hilbert’s inequality.
[Keywords]Theory of inequality Primary proof of Hilbert’s inequality Weight function
1 引 言
1.1 选题背景
众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因而有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。
Hilbert不等式提出以来，众多数学家给出了各种证明，本文介绍了一个初等证明。同时，总结了Hilbert不等式的各种推广形式。
1.2本文的主要内容
本文的工作主要有三个方面：
（1）、介绍不等式理论的发展历史
（2）、介绍Hilbert不等式并给出了一个初等证明
（3）、总结Hilbert的各种推广形式
2 不等式理论简史和Hilbert不等式
2.1 不等式理论简史
数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。
在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。
20 世纪 70 年代以来 , 国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议 , 并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一。2000 年和 2001 年在韩国召开的第六届和第七届非线性泛函分析和应用国际会议 ( InternationalConference on Nonlinear Functional Analysis andApplications) 与 2000 年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式理论作为主要的议题安排在会议日程之中。2001 年的不等式国际会议 IN EQUAL IT IES于 2001 年 7 月 9 日至 14 日在罗马尼亚 University of t heWest 召开。
历史上 , 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献 ,包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家。最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域 , 他们在相关方面做出了独特的贡献 , 引起国内外同行的注意和重视。例如王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、高明哲教授、张晗方教授、杨国胜教授等。
20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。 20世纪80年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平。祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在《中国科学》上的论文《一个不等式及其若干应用》[5]，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为"一个杰出的非凡的新的不等式"，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。
目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如匡继昌先生的专著《常用不等式》一书由于供不应求 , 在短短的几年内已经出版了第二版 ,重印过多次。对于数学专著来讲 , 这是少有的现象。第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的《矩阵论中不等式》。另外 , 国内还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个《不等式研究通讯》的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问。
对Hilbert不等式，是由Hilbert 在他的积分方程的讲座中提出。 此后，许多著名数学家如Feier(1921)，Framcis，Littlewood (1928)，Hardy (1920)，Hardy-Littlewood-Polya(1926)，Mulhoand(1928，1931)，Owen(1930)，Polya和Szegb，Schur(1911)，F. Wiener (1910)等都做出过贡献。为此，Hardy等在文献「1」中的第9x章中专门讨论Hilbert不等式及其类似情形和推广。 20世纪90年代以来，我国一大批学者如徐利治，杨必成教授等对Hilbert不等式及其类似情形和推广的研究取得了举世瞩目的成果。由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起一系列广泛研究，当中取得各式各样的进展，成果在众多报刊杂志上被发表。
综上所述 , 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达。
2.2 Hilbert不等式的初等证明
命题1 （Hilbert 不等式）如果 、 是平方可和实数列，则二重级数 是收敛的，且
（1）
不等式严格成立，等式成立当且仅当 、 恒为零，（1）式中 是最优的。
命题一的证明须应用两个引理。
引理一 对每一个正数m，有
<
证明 设点（0，0），（0， ），（ ， ）分别用C，Y， （n＝0，1，2，•••）表示，S表示圆心在点C半径为 的从点 到Y 圆的面积， 是直线C 与过点 的竖线的交点（n＝1，2，3，•••）。此外，设 表示扇形 C 的面积（如下 图1）
用 表示 的面积，于是，得到
＝S＝ >
＝
＝ •
=
>
因此， < .
现在可以证明Hilbert不等式了。记
＝
应用Schwarz不等式，得
。
以上应用了引理1，显然，最后不等式严格成立当且仅当序列 、 恒为零。
往证 不能被比它小的常数代替。
引理2 对每一个自然数m>1，有
> － 。
证明 设 表示直线 和直线 （n＝0，1，2，•••，m－1）的交点， 表示扇形 的面积（如下图2），
则显然有
＝ <
＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
因此， > －
下证Hilbert不等式中的 是最优常数，考虑序列： ＝ ＝ ，当 时， ＝ ＝0，当 > 时，这里k是自然数，则
＋ ＋
（由引理2）
－（ ）
因此
－
因此， 是Hilbert不等式中的最优常数。至此完成了Hilbert不等式的初等证明。
2.3 Hilbert不等式的推广
Hilbert提出不等式
（1）
（2）
后，Hardy把这些结果扩展，他得出了如下不等式
（3）
（4）
在这里， ， 0， ＋ ＝1，且p q>1。不等式（3）（4）被成为Hardy－Hilbert重级数不等式，且等号成立当且仅当 、 恒为零。
多年以来，很多数学家对Hilbert不等式进行了研究，得到了一系列的成果。下面简单回顾一下这些研究的历程。先介绍在Hilbert最原始的不等式基础上取得的成果，然后再展示在Hardy-Hilbert不等式上的一系列成就。
1990年，L.C.Hsu et al仔细分析Hardy最初的方法技术，引入一个权函数w(n)= ，得到了改进后的不等式:
(5)
不久，Hsu和王把权函数精简为 ，寻找能使式(5)成立θ的最大可能值的问题被提及。稍后，L.C Hsu和高明哲使用不同方法得出θ的下确界，θ=1.281+接着得到了θ的上确界λ(λ=1.4603545+)，从而使问题得到解开。
至于不等式(2)，高明哲作了改进,
w(n)= (n)>0(n=1,2,…)。
然后高应用了Euler公式对权函数w作出估计:
w(n)≤ ,θ=17/20
类似地，在Hardy-Hilbert不等式上得到一些新结果。
在研究Hardy-Hilbert不等式(3)的过程中，含参数n的求和式的值被估算，如
同是1990年,Hsu和Guo率先引入权函数:
不等式(3)拓展为
然后，权函数被Hsu和高明哲改进为 ，两年以后，高再给出权函数的精确形式:
再不久，杨和高得到 的一个下界，也就意味着，在权函数方面取得一个更好的结果：
c是Euler常数，而(1-c)被证明为使不等式成立的最佳常数，高明哲证明了 的一个上界是:
ρ(t)=t-[t]-1/2
而 被估计为
若 > ，不等式不再成立，问题得到完全解开。
有关不等式(4)，杨必成得到如下较好的结果:
，r=p,q,c是常数。
1998年，杨必成和Debnath给出了另一形式的带权函数的Hardy-Hilbert不等式：
除了上面所述以外，杨还有以下结果:
若把s(n,r)在上述表达式变为 ，会得到另一些结果.
21世纪初，谭立通过引入一个形如 的权系数改进了不等式(3)，
若，
那么，
当中=ln2-13/48+/1920(0<<1)，它是与r无关的最佳常数。
并得到下面推论：
设
，
当q充分大时，有
当中
引进适当的参数会使学习和研究对象更具概括性，也是常用的一种方法。在此部分，总结一下具广义性的含参数形式的Hilbert不等式.
最近，就关于离散形式的Hilbert不等式，杨必成先引入参数A,B及λ从而不等式(1)得以拓展，他建立了如下新的不等式：
<
A,B>0,0<λ≤2,B(p,q)是beta函数而常数 是最佳，杨更得到如下结果：
<
A,B,C>0, ,0<λ≤2， 也被证明为最佳。
对不等式(4)，杨和Debnath给出一个推广：
< ,
常数 = 为最佳,其中，2－min(p,q)< 2,B(m,n)是beta函数。
最近，匡继昌和Debnath给出一般形式的Hardy-Hilbert不等式:
,
p>1,1/p+1/q=1,1/2<min(p,q),
K(x,y)是非负次数为-t(t>0)的齐次函数。若在(0,+∞)上有四阶连续微商，当n=1,2,3,4, ，当m=0,1,y+
<+ ＝p，q
那么
< ,
其中
＝ >0,
r=p,q。
更新的是，考虑不等式(3)和(4)，杨和Debnath建立了含参数A,B,λ的新不等式：
常数因子3 为最佳。特别的，
(1) λ=1,A,B>0
(2) λ=2,A,B>0
(3) 2-min{p,q}<λ≤2,A=B=1,
以上的常数因子都是最佳。
以另外方式引入参数λ，杨得出以下结果:
常数因子π/(λsinπ/p)为最佳。特别地，
(1) λ=1,
(2) p=q=λ=2,
以上不等式的常数因子都是最佳。
再新，匡继昌建立一个新的Hilbert不等式的一般形式
1/p+1/q=1,对每个正整数N<+∞,N=+∞,
定义：
若1<p<+∞，则
若0<p<1，不等式就反置。
基于以上结论，得到一些重要的推论：
推论1 假设如上述，则
推论2 假设如上述，
类似定义，若1<p<+∞，则
若0<p<1，不等式就反置
推论3，
定义：
如果0<λ<1, 被 替代，则不等式反号。
特别的，当 ，以下不等式成立：
有关应用新不等式再推广：
1992年，胡克建立一个形式美观的不等式:
此为Hilbert不等式理论的一个新延拓。
胡克利用一些他得到的基本的不等式再得出一些好的结论，例如
证明了
A是一个实数
1996年，胡克得出带参数λ的一般性的结论。特别的，当λ=1/2，有
当λ=1，有
若λ≠0且λ为非负整数，胡给出以下结果：
这同时是Hilbert不等式和Ingham不等式的推广。
当λ是正整数，胡给出
当λ≠0,±1,±2,…,，胡最近证明了
这为Polya-Szego不等式的一个推广
1999年，高明哲利用正定矩阵得到新的不等式：
再利用此不等式得到一个更强的新不等式：
不久，他又用此式证明了下面的不等式：
函数s(x)定义为
21世纪初，姚金斌利用了改进后的Cauchy不等式，对杨必成给出的一个结果：
作了改进。
为了方便，先作以下的符号假设：
w(n)=-(n)
是单位向量且具有以下性质：
,,线性无关
他有以下结果：
若
则，
定义函数为
=1 当m=n=1,
=0 当m,nN,mn
同是21世纪初，杨乔顺利用改进了的Holder不等式和权函数的方法，给不等式(4)一个新的推广，
为方便起见，介绍一些符号：
如果
那么
当中
定义函数
=1,当, m=n=0
=0,当 ,m,n不同时为0
也可以由此得出下面推论：
若
那么
当中
值得特别注意的是胡克的推广，
二十几年前，胡克建立一重要的不等式：
最近，他再得到一个新的不等式：
令
若有
则有
当中，
特别的，如果 ，则
当p=2，上面就为Holder不等式的推广。显然，用这些结论去对不等式(1)-(4)进行估计会得到一些新的结果。我们相信将来更多Hilbert不等式的推广延拓将继续出现。
3 总 结
本文主要介绍了不等式理论发展历史和Hilbert不等式，完成了以下工作：
第一， 本文回顾了不等式理论发展的历史，并介绍了中外数学家在不等式理论发展中进行的研究和贡献。
第二， 本文介绍了Hilbert不等式的形式并给出了一个初等证明。
第三， 本文总结了中外数学家对Hilbert不等式进行的推广。
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[17]《Hilbert不等式的一个初等证明》山东济宁教育学院朱道勋译自The American Mathematical Monthly(100)1993.3
微积分在不等式中的应用
［摘要］本文应用微积分讨论了一些不等式的解法和证明，进一步揭示了微积分作为一种实用性很强的数学方法和工具，在求解不
等式中的作用。
［关键词］微积分高等数学不等式
不等式是数学研究的一个基本问题,是属于初等数学的重要内容。
不等式的证明方法多种多样，初等数学中常用的方法有恒等变形，使用
重要不等式，用数学归纳法等，这些方法往往需要极高的技巧和超强的
变形能力。
微积分是高等数学的核心，微积分思想方法是高等数学乃至整个
数学的典型方法，微积分思想方法的引入为解决不等式证明的难题找
到了突破口，用这来解不等式可使解题思路变得简单。下面就通过实例
分析微积分在证明不等式中的应用。
1、用导数的定义证明不等式
例1．设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，已知f(x)≤sinx，
求证：a1+2a2+…+nan≤1。
证明：方法1：因为f(0)=0，
由已知f
(x)-f(0)
x-0≤
sinx
x(
x≠0)
∴lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0≤
1圯f'(0)≤1
即a1+2a2+…+nan≤1。
导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形
进行证明。
方法2：由f(x)≤sinx，得f
(x)
x≤
sinx
x(
x≠0)，即
a1s
inx
x+
a2s
in2x
x+
…+ans
innx
x≤
sinx
x
两端同时取x→0时的极限得
lim
x→0
a1s
inx
x+
a2s
in2x
x+
…+ans
innx
x≤
lim
x→0
sinx
x
由重要极限及其变形知：lim
x→0
sinkx
x=
k
∴a1+2a2+…+nan≤1,证毕。
2、利用函数的单调增减性
定理1：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导
（1）若在（a,b）内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；
（2）若在（a,b）内，f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。
由定理1我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：
（1）移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作的辅助函数f(x)；
（2）求出f'(x)，并判断f(x)在指定区间的增减性；
（3）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证。
例2．设b>a>0，证明：lnb
a>
2(b-a)
a+b。
分析：当b>a>0时，lnb
a>
2(b-a)
a+b圳
(lnb-lna)(a+b)>2(b-a)
证明：令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(x≥a)
∵f'(x)=1
x(
a+x)+(lnx-lna)-2
f''(x)=-a
x2+
1
x=
x-a
x2≥
0(x≥a)
所以f'(x)单调增加，又f'(a)=0，于是f'(x)≥0(x≥a)
因而f(x)单调增加，又f(a)=0，故当b>a>0时，有f(b)>f(a)=0
即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)>0，亦即lnb
a>
2(b-a)
a+b。
3、用微分中值定理证明不等式
定理2（罗尔定理）：设函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3）f(a)=f(b)；
则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。
定理3（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=f
(b)-f(a)
b-a。
