数值分析与实验_学术参考网

　　论文关键词：列主元高斯消去法雅可比法高斯－赛德尔迭代法幂法

　　论文摘要：本文通过实例对线性方程组数值解法和矩阵的特征值及特向量的计算进行了探讨。在对线性方程组数值解法的讨论下用到了列主元高斯消去法、雅可比法和高斯－赛德尔迭代法。正是高斯消去法在消元时存在一些必须的条件，才启发我们通过列主元高斯消去法来对线性方程组数值解法作进一步的研究，达到了很好的的效果。同时用雅可比法和高斯－赛德尔迭代法对相类似的问题的探讨来比较它们的优劣，使我们在分析问题时能更好的把握方法。在求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量时，本文用到了幂法，可以使现实中很多复杂的计算简单。

　　第一章：线性方程组数值解法

　　实验目的

　　熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；会编制列主元消去法，雅可比及高斯-赛德尔迭代法的程序；通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

　　实验内容

　　列主元高斯消去法求解线形方程组；

　　雅可比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组；

　　1.1 题目：列主元高斯消去法求解线形方程组

　　方程组为：

　　1.1.1 列主元高斯消去法算法

　　将方程用增广矩阵表示

　　1）消元过程

　　对k=1，2，….,n-1

　　1 选主元，找使得

　　2 如果则矩阵a奇异，程序结束；否则执行3

　　3 如果则交换第k行与第行对应元素位置， j=k,…,n+1

　　4 消元，对i=k+1,…,n计算对j=k+1,…,n+1计算

　　2）回代过程

　　1 若则矩阵a奇异，程序结束；否则执行2

　　2 ；对i=n-1,…2,1计算

#include

void colpivot(float *c,int n,float x[])

{ int i,j,t,k;

float p;

for(i=0;i<=n-2;i++)

{k=i;

for(j=i+1;j<=n-1;j++)

if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i))))k=j;

if(k!=i)

for(j=i;j<=n;j++)

{

p=*(c+i*(n+1)+j);

*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);

*(c+k*(n+1)+j)=p;

}

for(j=i+1;j<=n-1;j++)

{

p=(*(c+j*(n+1)+i))/(*(c+i*(n+1)+i));

for(t=i;t<=n;t++)*(c+j*(n+1)+t)-=p*(*(c+i*(n+1)+t));

}

for(i=n-1;i>=0;i--)

{

for(j=n-1;j>=i+1;j--)

(*(c+i*(n+1)+n))-=x[j]*(*(c+i*(n+1)+j));

x[i]=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i));

}

void main()

{

void colpivot(float*,int,float[]);

int i;

float x[4];

float c[4][5]={1,-1,2,-1,-8,2,-2,3,-3,-20,1,1,1,0,-2,1,-1,4,3,4,};

colpivot(c[0],4,x);

for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

　　1.1.3 输出结果

　　1.1.4结果分析

　　从输出结果可以得到 =-6.999999，=3.000000，

　　 =2.000000，=2.000000

　　从结果和过程可以知道这种方法一般能保证舍入误差不扩散，这个方法基本上是稳定的。wWw.133229.cOm

　　1.2 题目雅可比法解方程组

　　方程组为：

　　1.2.1 雅可比迭代法算法

　　设方程组ax=b的系数矩阵的对角线元素（i=1,2,…,n），m为迭代次数容许的最大值为容许误差。

　　1 取初始向量令k=0.

　　2 对i=1,2,…,n计算

　　3 如果则输出结果；否则执行4

　　4 如果则不收敛，终止程序；否则，转2

　　1.2.2 程序

#include

#define eps 1e-6

#define max 100

void jacobi(float *a,int n,float x[])

{

int i,j,k=0;

float epsilon,s;

float *y= new float [n];

for(i=0;i

while(1)

{

epsilon=0;

k++;

for(i=0;i

{

s=0;

for(j=0;j

{

if(j==i)continue;

s+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

y[i]=(*(a+i*(n+1)+n)-s)/(*(a+i*(n+1)+i));

epsilon+=fabs(y[i]-x[i]);

}

for(i=0;i

if(epsilon

{printf("die dai ci shu wei:%d\n",k);return;}

if(k>=max)

{printf("die dai fa san");return;}

}

delete y;

}

void main()

int i;

float a[4][5]={10,-1,2,0,-11,0,8,-1,3,-11,2,-1,10,0,6,-1,3,-1,11,25};

float x[4];

jacobi(a[0],4,x);

for(i=0;i<4;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

　　1.2.3 输出结果

　　
　　1.2.4 结果分析

　　迭代次数增加时，精度越高。从输出结果可以看出此方程组的迭代次数为17，迭代结果越来越接近精确解了，于是

　　　 =-1.467391, =-2.358696, =0.657609, =2.842391

　　1.3 题目高斯-赛德尔迭代法解方程组

　　方程组为：

　　1.3.1 高斯-赛德尔迭代法算法

　　设方程组ax=b的系数矩阵的对角线元素（i=1,2,…,n），m为迭代次数容许的最大值为容许误差。

　　1 取初始向量令k=0.

　　2 对i=1,2,…,n计算

　　3 如果则输出结束；否则执行4

　　4 如果则不收敛，终止程序；否则，转2

　　1.3.2 程序

#include

#define n 600

void main()

{

int i;

float x[4];

float c[4][5]={10,-1,2,0,-11,0,8,-1,3,-11,2,-1,10,0,6,-1,3,-1,11,25};

void gaussseidel(float *,int,float[]);

gaussseidel(c[0],4,x);

for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

void gaussseidel(float *a,int n,float x[])

{

int i,j,k=1;

float d,dx,eps;

for(i=0;i

while(1)

{eps=0;

for(i=0;i

{

d=0;

for(j=0;j

{

if(j==i)continue;

d+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

dx=(*(a+i*(n+1)+n)-d)/(*(a+i*(n+1)+i));

eps+=fabs(dx-x[i]);

x[i]=dx;

}

if(eps<1e-6)

{printf("迭代次数是:%d\n",k);return;}

if(k>n)

{

printf("迭代发散n\n");

return;

}

　　k++;}}

　　1.3.3 输出结果

　　1.3.4 结果分析

　　从输出结果可以看出此方程组的迭代次数为7，此时能得到精确结果是

　　 =-1.377632, =-1.281579, =0.747368, =-107374176

　　从结果和原有知识可以知道其系数矩阵是严格对角占优的。所以此迭代解法有很好的收敛性。

　　1.4 方法比较

　　雅可比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组两种方法的比较。

　　由于此题的系数矩阵是严格对角占优的，所以雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都是收敛的，这两种迭代法没迭代一步均是作一次矩阵和向量的乘法，但前者需要2组工作单元分别存放和，而后者只需要1组工作单元。对于同一个线性方程组，这两种方法可能同时收敛，也可能同时发散，也可能其一收敛，而另一发散。但当两者皆收敛时，一般来说高斯-赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快。实际中更多的是使用逐次超松弛迭代法。

　　第二章矩阵的特征值及特征向量的计算

　　实验目的

　　在数学和物理中，很多问题都需要计算矩阵的特征值及特征向量，它们是线性代数中的一个重要课题，而在实际问题中，这样的计算是很复杂的，有的要求矩阵按模最大特征值及相应的特征向量，有些则要求全部特征值及特征向量，根据不同的要求计算方法大体上可分为2种类型。本实验用的是幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量，要求领会求矩阵特征值及特征向量的幂法的方法，并要求会编制幂法的计算程序，来计算有关问题。

　　实验内容

　　利用幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量。

　　2.1 幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量

　　用幂法求矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量，使，