本期《江苏教育》刊登了4篇数学实验教学的文章。这4篇文章既是对近年来数学实验教学系列课题研究的一个概括性回顾和总结，也是对这个课题研究的反思和前瞻。脚踏实地、坚持不懈,这个初中数学实验教学团队闯出了一条路，开拓了一个教学领域，形成了江苏初中数学教育一道亮丽的风景线，其意义远胜过闭门造车、书斋造文式的高谈阔论。
四篇文章由读者自品其味，这里笔者对数学实验的教育价值再作一番思考。
一、数学实验:学习认知发展的有效途径
第一，从学生的认知发展分析。数学实验是指通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具(如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动[1]。在这个过程中，学生首先要对实验对象进行细致观察，实验对象可能是实物，也可能是文字、符号、图形信息，观察就是要辨析对象变化的特征，提出变化前后可能的因果关系猜想，这一过程以空间想象为支撑。其次，通过观察，去除无关因素和表面信息，抽象概括出对象在数量或图形方面的本质特征。因此,数学实验的过程包括了观察、空间想象、概括等思维活动。而空间想象、概括这些认知要素最终会形成能力,从这个角度分析可以看到，数学实验与空间想象能力、概括能力就产生了直接的因果关系。
皮亚杰认为，认知发展的过程是一个内在结构连续的组织和再组织过程，过程的进行是连续和经常的,但它造成的结果是不连续的，因此发展具有阶段性。因而我们需要关心学生的概括能力、空间想象能力的关键发展期在什么阶段。其实,这个问题北京师范大学教授林崇德先生做了深入研究。他把概括能力分为四个等级:第I级为数字概括水平;第II级为初步本质概括水平；第III级为形式运算概括水平;第IV级为辩证抽象概括水平。初中一年级学生是第II级水平,初中二年级学生是中学阶段概括能力发展中的第一个转折点，但仍是第II级水平占优势,经过初中三年级过渡，高中一年级概括能力又是一个显著的变化，第III级水平占优势p]。这项研究表明，初中阶段是学生概括能力发展的一个关键期。
同样,林崇德等人对空间想象能力也做了研究。将空间想象能力分为三个水平。第I级水平：由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，通过整体形状来认识二维或三维的几何图形,分析出简单几何图形的特征。第II级水平.?能够由较复杂的图形分解出简单的、基本的图形，在基本图形中找出基本元素及其关系，并能够将图形及其特征联系起来，根据条件作出或画出图形。第III级水平:能够由基本图形组合成较复杂的图形，能够想象几何图形的运动和变化，会形象地揭示问题的本质。研究结果表明，中学生空间想象能力发展的年龄特征表现在：每一级水平的空间想象能力都是随着学生年级的升高而呈现上升发展的趋势。其中，初二学生的空间想象能力在第1、11级水平上，与初一学生相同水平层次上的能力相比较，并没有太大的进步。初三年级学生在前两级水平上有一个飞速发展，这表明初中二年级是空间想象能力迅速发展的关键期。由于初中二年级的数学课程中大大丰富了?面几何的内容，因此经过初二一年的学习，初中三年级学生的空间想象能力获得了一个质的飞跃发展。
上述研究为初中阶段开展数学实验提供了学习心理学方面的依据。在初中学生概括能力和空间想象能力发展的关键期，数学实验的介人会促进这两种能力的发展，符合学生的认知发展规律。
第二，从“具身认知”理论分析。“具身认知”是一种将认知和身体联系起来的理论，其核心观点是:认知、思维、记忆、学习、情感和态度等是身体作用于环境的活动而塑造出来的。从根本上讲，心智是一种身体经验，身体的物理体验制约了心智活动的性质和特征[3]。认知心理学认为，心智是对符号性表征的加工和操纵,认知在本质上是发生于大脑中枢的符号运算，身体的作用只是提供刺激和执行指令。与认知心理学不同具身认知”理论还认为，身体的结构和性质决定了认知的种类和特性。认知是身体的认知，而身体的结构和性质又是进化的产物，是环境塑造出来的。这意味着认知、身体和环境是一个紧密的联合体。思维与身体密不可分，如影随形地相伴而行,没有离身的思维，思维活动过程中各种信息都是来源于身体的各项相应的感官通道的撷取与初步组织，而思维的动力与能量的取得，也离不开作为物质的身体健康状况的承载，就是说，发生认识离不开身体的支撑。事实上，杜威的“从做中学”就是践行“具身认知”理论的典范，因为这一学习方式建立了学习者的认知与身体动作之间的联系，以身体的动作来促进思维的发展。
数学实验是学习者通过对实验工具的操作，抽象概括出事物的数量特征和图形特征的学习方式，它改变传统数学教学“先学后做”为“先做后学”或者“在做中学”的模式，树立了一种新的教学范式，这种教学的“反叛”在具身认知理论中找到了支持。
二、数学实验:教学过程完善性的必要补充
长期以来，由于定位于基础知识和基本技能的考试评价导向作用，使一条完整的教学链遭到了破坏。
我们把当下的数学教学称为知识教学，其特征为：重理论轻实践、重结果轻过程、重知识轻能力、重证实轻证伪、重训练轻理解。表现为：要求学生掌握书本知识而不顾及这些知识与现实的联系，要求学生只是掌握知识的结果而不追问这些知识的结果从何而来又向何而去，要求学生记住知识的外壳而不挖掘知识内在的思想方法，要求学生以虔诚的心态证实和接受真理而不去辨析谬误和体验产生真理的艰辛，要求学生能够解决大量数学练习而不理解数学的本源性问题……本质上，知识的教学不是一种文化教学。
在《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中，明确界定了“核心素养”，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践。这种新的导向无疑是对以知识和技能为教学目标的一种批判，必将会使人们产生对教学本质的重新理解，还原教学的完整过程。
教学的完整链应当包括三个阶段：怎么来的？是什么？怎么去的？第一阶段，“怎么来的”指教师要引导学生思考：为什么要学习这个知识？产生这个知识的缘由是什么？这个知识是如何生成的？它与其他知识有什么关系？要解决这几个问题，教师就必须揭示知识产生的过程和在产生知识的过程中出现的曲折。显然，知识的过程因素、知识的证伪因素、知识的实践因素都会在教学的这一阶段介人，同时还会有数学文化元素的渗透，这个教学阶段为发展学生的数学核心素养起着奠基性作用。第二阶段，“是什么”指对教师帮助学生对知识结果的理解，包括利用知识解决数学本身的问题和解决一些现实生活中的问题。知识的理论因素、知识的结果因素、知识的证实因素会在这一阶段介人，这个教学阶段为发展学生的数学核心素养起着夯实性作用。第三阶段，“怎么去的”指教师要启发学生思考知识会向什么方向发展，在这个知识基础上会生成什么新的知识。这一阶段需要反思性思维、批判性思维、创新性思维的参与，需要猜想、证伪、证实等方法的并用，这个教学阶段在发展学生的数学核心素养过程中起着关键性作用。
这个教学链中，数学实验担当了重要的角色，它的亮相主要是在第一阶段和第三阶段。数学实验教学摒弃了只重视教学第二阶段的传统做法，是对教学过程完善性的必要补充。
三、数学实验:课程资源开发的丰富源泉
数学课程资源可以分为外显素材性资源、外显条件性资源、内隐素材性资源、内隐条件性资源【4]。外显素材性资源主要指以文字、语言、符号、图形、图表等在教材或媒体上显示的知识，反映的是外显的、静态的结果型知识。外显条件性资源指课程实施的人力、物力和财力资源，主要涉及设施、媒介和环境。例如图书馆、博物馆、大众传播系统、网络、校内外教师资源等均属于外显条件性资源。内隐素材性资源是指不以文本形式显性表述的，潜藏于显性知识深层的隐性知识。具体地说，包括数学知识的文化元素、数学知识的过程元素、数学知识的逻辑元素、数学知识的背景元素等。内隐条件性资源主要指教师根据对素材性课程资源的理解，结合外显条件性资源去构建的适合学生学习的课堂环境。
数学实验材料本身是属于内隐性课程资源，开发这些资源需要教师对知识的产生、知识之间的联系、知识中包含的数学思想方法等有深入的理解，对其进行教学法层面的再加工，形成实验设计。由于这些要素都没有在教材中明确写出，需要教师自己开发，因此属于一种内隐性资源。另一方面，一旦把这些资源开发出来，它们就变成了外显素材性资源，例如，“初中数学实验的理论与实践研究”课题组开发的《义务教育教科书?数学实验手册》(共5册）就是外显素材性资源。数学实验材料的开发是对内隐素材性资源的挖掘，开发后形成的结果又是外显素材性资源’即从课程体系来看，数学实验兼有外显和内隐双重课程资源的性质。
初中数学中许多内容都与数学实验有内在的联系，大体上可以分为以下几种情形：（1)由具体到一般的问题。从具体到一般去发现规律的过程往往可以介人实验，实验就是对个别现象的处理，然后推广到一般情形。例如，“数字黑洞”是一种数字游戏，通常从一个整数或一组整数出发，按某种规定的计算法则，反复进行同一种操作程序，最终都会回到一个数值上，这个数值就像宇宙中的黑洞一样将任何数字牢牢吸住。这是从特殊到一般发现结论的过程。(2)代数问题的几何解释。代数问题几何化，使抽象变为直观,可视化往往带来实验的契机。这方面的例子非常多。例如,将两个边长为1个单位长度的正方形，分别沿对角线剪开，得到的4个等腰直角三角形拼成1个大正方形，这个大正方形的面积为2，边长a是一个无理数。请在数轴上表示出无理数a。(3)几何图形变换问题。通过平移、对折、旋转、压缩等几何变换,能够发现新的问题。其中，如何变换本身就是数学实验。(4)通过计算数据发现规律的问题。例如，通过计算、掷骰子、操作Excel等活动，引导学生从具体的几个有限小数、无限循环小数出发认识无限不循环小数，感受到无限不循环小数是客观存在的。总之，数学实验为数学课程资源的开发提供了丰富的源泉。
开发数学实验材料，需要教师对数学知识有深刻的理解，能透视作为结果性知识背后的实验成分，需要教师有洞察力和创造力。因此，开发数学实验材料这种内隐性课程资源，同时能对数学实验进行恰当的设计，是提升教师自身数学素养、促进专业发展的一条有效途径。另一方面，把开发出来的外显性数学实验文本应用于教学实践，对于提高学生的学习兴趣，发展学生的数学核心素养又有直接的推动作用。这就是数学实验表现出来的特殊课程资源的功能。
作者简介:喻平，南京师范大学（南京,210097)课程与教学研究所教授，博士生导师
