正定矩阵的判定方法毕业论文

设实对称矩阵A，如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的。正定矩阵的性质与判别方法1.对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2．对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。3．对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU4．对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。5．对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。

1、行列式法

对于给定的二次型

写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

扩展资料：

正定矩阵的判定：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

用计算机辅助。

1000不知道哦``本科阶段没看过```只知道判定正定二次型的简单方法`

设实对称矩阵A，如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的。正定矩阵的性质与判别方法1. 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2．对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。3．对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4．对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。5．对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。在线性代数里，正定矩阵 (英文：positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。基本定义广义定义设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。[1] 例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）狭义定义一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。特征及性质正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。正定矩阵的性质：1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

问题一：怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？ 5分 正定矩阵的定义是从正定二次型来的 正定二次型的矩阵称为正定矩阵， 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 所以计算得到矩阵的特征值，全部为正数就是正定矩阵 问题二：线性代数求解哪个是正定矩阵 怎么判断 根据正定矩阵顺序主子式都大于0，所以选D 问题三：如何判定一个矩阵半正定？ 你记住：对A的特征值全为正数，那么是正定的。 不正定，那么就非正定或半正定。若A的特征值大于等于，则半正定。否则非正定。 就这么简单。其他的你可以根据特征根的相关知识推到。。 问题四：如何判断一个矩阵正定 你记住：对A的特征值全为正数，那么是正定的。 不正定，那么就非正定或半正定。若A的特征值大于等于，则半正定。否则非正定。 就这么简单。其他的你可以根据特征根的相关知识推到。。