矩阵特征值的数值求法毕业论文

求n阶矩阵A的特征值的基本方法：根据定义可改写为关系式，为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ- ，其余元素乘以-1）。要求向量具有非零解，即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。 解次行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的，即为输入这个行列式的特征向量。具体操作以右图为例。定义1设是一个阶方阵（即使一个n*n的矩阵），是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（Ⅰ）（Ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

不太懂编程, 不过有现成工具可用.Mathematica只需要一个函数就能得到所有特征值和对应的特征向量:Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]数值结果用:N[Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]]输出为{{, + I, - I, + I, - I, + I, - I}, {{, , , , , , 1.},{ - I, + I, - I, + I, - I, + I, 1.},{ + I, - I, + I, - I, + I, - I, 1.},{ - I, - I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, + I, - I, - I, + I, + I, 1.},{ - I, + I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, - I, - I, - I, + I, + I, 1.}}}第一组为特征值, 后面为依次对应的特征向量.所以只有一个实特征值: , 相应特征向量:{, , , , , , 1.}.刚看到另一个一样的问题(不过(1,6)和(6,1)两个位置不一样).特征向量乘以非零数还是特征向量.作为权重是要各分量之和为1?那不妨将上面所得特征向量除以各分量之和, 得.{, , , , , , }.

用 Matlab 的计算结果为:>> eig(M) --所有特征值ans = + - + - + - >> [V,D]=eig(M);V = - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + + - 每一列是对应的特征向量对的不齐, 对应 特征值 的特征向量是

|λE-A|=|λ-1 2 -2|=(-1)^2×|-2 -4 λ+2| (把第一行和第二行互换，再把新的第一行和 |2 λ+2 -4| |λ-1 2 -2| 第三行互换) |-2 -4 λ+2| |2 λ+2 -4|=|-2 -4 λ+2|=(-1)×|-2 -4 λ+2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3| |0 λ-2 λ-2| |0 λ-2 λ-2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3|=(-1)×|-2 -4 λ+2|=(λ+7)(λ-2)^2. |0 λ-2 λ-2| |0 0 1/2×(λ+7)(λ-2)|所以，A的特征值为-7，2，2.

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。

矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。

通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。

扩展资料：

数值计算的原则：

在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。

对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。