鸡兔同笼的研究论文

鸡兔同笼 问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。下面我给你分享数学广角鸡兔同笼论文，欢迎阅读。

教学目标：1.使学生了解“鸡兔同笼”问题，掌握用尝试法、假设法替换法解决问题，初步形成解决此类问题一般性策略。

2.通过自主探索、合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，在解决问题的过程中，培养学生的思维能力。

3.使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。

教学重点：用假设法解决“鸡兔同笼”问题。

教学具准备：电脑课件

一、问题引入，分配任务。(每人发一个信封，里面装有题卡和学具)

“有五元和二元两种面额的人民币一共10张，总计32元。两种人民币各有几张?”

二、合作探究，展现拔高。(抽一生上台一一替换，老师记录)

1.启发演示：/让学生先假设这10张全是二元的。于是动手拿出10张二元的(一共二十元，显然不合要求)//然后再一一替换，抽出1张二元的，换上1张五元的，就多了3元，变成了20+3=23元，///再抽出1张二元的，换上1张五元的，就又多了3元，变成了23+3=26////再抽出1张二元的，换上1张五元的，就又多了3元，变成了26+3=29/////再抽出1张二元的，换上1张五元的，就又多了3元，变成了29+3=32。

2.方法探究：32-20=12元，少12元正好换了4次，说明五元的有4张。5元换2元一张多了3元，12/3=4。换4张才能把少的12元换回。

同样方法演示全是5元的，再拿二元去替换也可以。

3.抽象算法(形成策略)：

(32-2×10)/(5-2)=4张五元或(5×10-32)/(5-2)=6张二元。

三、类化巩固(自主练习)。

①出示问题2。“有五元和二元两种面额的人民币一共100张，总计365元，两种人民币各有几张?”

先由学生小组讨论，在抽生上台展示算法：

假设100张全是五元的，则一共有5×100=500元，多出了500-365=135元，拿多少个2元去换呢?一张2元换5元就少5-2=3元，135/3=45张2元。则5元有100-45=55张。

同样，假设100张全是二元的，则一共有2×100=200元，少了365-200=165元，拿多少个5元去换呢?一张5元换2元就多5-2=3元，165/3=55张5元。则2元有100-55=45张。

②自己出题，交换答案.

展示学生甲出的题：42人去划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租有的大船和小船各有几只?

展示学生乙的分析过程：(提示：假设10条都租小船。10*3=30人，42-30=12人没坐上，则用大船替换，一只大船换一只小船就多5-3=2人，12/2=6只大船刚好换完。小船为：10-6=4只)或(5×10-42=8，8/(5-3)=4只小船)

四、归纳提高：

解决问题的策略：①制定解题计划，假设与替换(同时满足两个条件，假设满足了第一个条件入手) ②猜想与尝试.(在想的基础上去试一试)③反推.(验证假设是否正确).

五、知识拓展。

其实我们刚才研究的这类题，早在古代，就有很多的数学家也做了研究，你瞧。幻灯出示。

“鸡兔同笼问题”是我国古算术《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何?”

六、 解决生活问题(达标测试)：

1.必作题： ①我班派12名同学植树，男同学每人栽了3棵数，女同学每人载了两棵数，一共栽了32棵树，问男女同学各几人?(学生独立完成，教师巡视指导)指名板演。

②小明买了6角和8角的邮票共花5元，分别买了多少张?

2.选作题：

①有5元和2元的人民币100张，总计290元，各有几张2元，5元的?

②2个大盒，5个小盒装球100个，每个大盒比小盒多装8个，问大盒和小盒各装几个?

反思

《基础教育课程改革纲要(试行)》明确要求：教师在教学过程中应与学生积极互动，共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。

首先，我由问题引入，采用的是独学的方式让学生独立思考，在启发演示中抽一生上台一一替换，其余学生拿出信封里的演示币来换，再让学生小组讨论：在这个过程中什么没变，什么变了?(张数没变，钱多少变了).这一过程体现了小组学习合作探究的学习方式。实践证明：学生学得轻松，学得明白，也体现了高效课堂的途径--核心：自主、合作、探究。

在探究过程中我让学生当小老师，自己出题，交换答案，这样提高了学生的学习兴趣，让学生主动发展，满足不同需要。

在布置作业环节，我采取必作和选作，旨在使每个学生都能得到提高，体现了因材施教的教学原则.同时题的设计紧密结合实际，让学生学会在生活中解决问题，能解决生活中的数学问题，让数学不再孤立，不再陌生。

本堂课我力求做到了三动：身动、心动、神动.

随着教学形式的发展，打造高效课堂，教给学生正确的学习方法已势在必行。“授人以鱼不如授人以渔”，我认为应从以下几个方面来培养学生，打造高效课堂： 1.培养好的学习习惯。2.掌握高效学习方法：①预习。采用有效的预习方法。边预习边作好笔记，动笔练一练，做一做。重要的数学概念公式，不懂的作上记号，以便记忆和探讨。在老师讲解的时候认真听。②有效的复习。孔子曰：“学而时习之，不亦乐乎?”及时复习。分步记忆法：学习后的半天，一天，三天，七天，半月后，分步进行。阶段系统复习――从时间上有周复习，期中复习，期习等。可以先回忆再看书，先看题后做题，先复习后笔记。③学习中要举一反三。不要满足于也有答案，数学题，可用分步，就能用综合，用了方程，看算术是否更简单。④学会梳理知识点。

在“鸡兔同笼”问题的教学中，教师通常会将我国古代《孙子算经》的简单介绍附加到教学过程中，意图在于体现数学的历史发展，向学生渗透数学历史中的文化因素。这种想法固然好，但这种“附加”式的介绍对于实现这样的目的很难有实质性的作用。为了变“附加”为“融入”，让数学史中的知识与文化更好地发挥育人功能，教师就需要对数学史的相关内容做较为广泛、深入的了解。

“鸡兔同笼”问题在我国古代可以说源远流长，从问题的叙述到问题的算法都经历了不同形式的变化，了解这些内容对于课程内容的编制和教学设计会有所裨益。

一、 《孙子算经》中的“雉兔同笼”

“鸡兔同笼”问题始见于公元3～4世纪的《孙子算经》，该书作者不详。从清代的《子部集成?科学技术?数理化学?孙子算经?孙子算经(宋刻本)?卷下》中看，“鸡兔同笼”问题的叙述为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”[1](见图1)

其中的“雉”是“野鸡”的意思，“几何”是“多少”的意思。用现在的语言可以把这个问题叙述为：“鸡和兔在同一个笼子中，总头数为35，总足数为94。问鸡和兔各有多少只?”《孙子算经》中对这个问题的解法分为如下的四个步骤：

第一步：上置三十五头，下置九十四足

我国古代是用算筹进行计算的，所谓“算筹”就是用于计算的小棒，是古人用于计算的一种工具。这里所说的“上置三十五头，下置九十四足”，就是把题目中的头数“35”和足数“94”用小棒分别摆在上面的位置(上位)和下面的位置(下位)。(见图2)

古人用算筹表示数时，摆放方式分纵式和横式两种。通常用纵向小棒摆放个位数字，横向小棒摆放十位数字，以后依次纵横交替摆放。比如“35”就摆放成如图3形式。

如果横向摆放的数大于5，就用纵向小棒代表5，比如图2中的“”就表示5+4=9。

第二步：半其足得四十七

意思是求出下位总足数94的一半等于47。图2就变成了图4的形式。

图4中“”上面的横向小棒表示“5”，下面两条纵向小棒表示“2”，因此“”表示5+2=7。

第三步：上三除下三，上五除下五

这里的“除”是“除去”或“减少”的意思，“上三除下三”就是“从下位四十七中除去与上位相同的三十”，“上五除下五”就是“从下位四十七中除去与上位相同的五”。(见图5)

用现在的语言说，就是从47中减去35为12，得到兔子的只数。这一过程在《孙子算经》的“术”中叫做“以少减多再命之”(见图1)，意思是以少减多之后，下位“总足数”的含义发生了改变，需要重新命名，也就是把“总足数”重新命名为“兔头数”。(见图5)

第四步：下有一除上一，下有二除上二即得

与前面类似，这句话的意思是用总只数35减去兔只数12就得到鸡的只数了。上位的“总头数”需要重新命名为“鸡头数”。(见图6)

以上算法的合理性并不难理解。总足数94取半成为47，此时相当于所有鸡都成为了金鸡独立的“独足鸡”，所有兔都站立起来成为了“双足兔”。此时每只鸡的头数和足数都是1，每只兔的头数是1，足数是2，所以用47减去总头数35就得到兔的只数是12。最后用总头数35减去12就得到鸡的只数。《孙子算经》中把这一算法概括为：“上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得。”不妨称此方法为“半足法”，右上的表格可以更加清晰地呈现这一过程。

二、 《算法统宗》中的“鸡兔同笼”

“鸡兔同笼”问题后来又收录于明代程大位(1533年～1606年)所著《算法统宗》第八卷的“少广章”。[2](见图7)

其中对问题的叙述把“雉”改为了“鸡”，因此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。《算法统宗》中对问题给出了两种算法，这两种算法与《孙子算经》中的算法是不一样的，相当于现在所说的“假设法”。第一种算法的过程为：

第一步：“置总头倍之得七十”，意思是将总头数35加倍，也就是乘2，得到70。

第二步：“与总足内减七十余二四”，也就是从总足数94中减去70得到24。

第三步：“折半得一十二是兔”，将24折半(也就是24除以2)，得到12，这就是兔的只数。

第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足数4乘12，得到兔的总足数48。

第五步：“总足减之余四十六足为鸡足”，用总足数94减去兔的总足数48得到46，就是鸡的总足数。

第六步：“折半得二十三”，将鸡的总足数46折半(46除以2)，就得到鸡的只数为23。

另外一个算法是先求鸡的只数，与前面先求兔只数的程序基本相同，这一算法可以用下面表格的形式呈现出来。

《算法统宗》中关于“鸡兔同笼”问题的两个算法，在书中概括为两句话：“倍头减足折半是兔”和“四头减足折半是鸡”(见图7)。第一句话的意思是把求兔只数的过程分为了倍头、减足和折半三个步骤，“倍头”就是把总头数35加倍变成70;“减足”是用总头数94减去70得到24;“减半”就是取24的一半得到兔子的只数为12。这个过程写成如今的算式就是：

(94-35×2)÷2=12(只)

第二句话的意思是把求鸡只数的过程分为了四头、减足和折半三个步骤，“四头”就是用4乘总头数35得到140;“减足”是用140减去总足数94得到46;与求兔只数的过程类似，“折半”就是取46的一半得到鸡的只数23。写成算式就是：

(35×4-94)÷2=23(只)

这样的过程显然与《孙子算经》中的“半足法”不同，半足法首先将总足数减半。这里的第一步是用每只鸡或兔的足数(2或4)去乘总头数，因此不妨把这个方法叫做“倍头法”。不难发现，“倍头法”背后的道理其实就是现在所说的“假设法”。

《算法统宗》中的鸡兔同笼问题出现于该书第八卷中，实际上在之前的第五卷中就已经出现了与“鸡兔同笼”问题数量关系类似的“米麦问题”：“今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘。问米麦各若干。”

【摘 要】中国传统数学名题是在时间长河里洗练出来的具有经典意义的数学问题,它具有自己的数学思想和背景文化。文章主要研究了中国传统数学名题―鸡兔同笼问题及其中渗透的数学思想,使大家在情感态度、思维能力与价值观等方面得以提升,增强数学文化素养。

【关键词】鸡兔同笼;解题思路;求解方法;数学思想

鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)。类似地，也可以假设全是兔子。

解：假设全是鸡：2×35=70(只) 比总脚数少的：94-70=24 (只) 它们腿的差：4-2=2(条) 24÷2=12 (只) ――兔35-12=23(只)――鸡

方程：

解：设兔有x只，则鸡有35-x只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=24 x=12 35-x=35-12=23

答：兔有12只，鸡有23只。

我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为X，鸡的数量为Y 那么：X+Y=35那么4X+2Y=94 这个算方程解出后得：兔子有12只，鸡有23只用假设法来解

对于这个问题，我们给出如下几种求解方法，并给出相应的公式;

解法1：(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数 总只数-鸡的只数=兔的只数

解法2：( 总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法3：总脚数÷2-总头数=兔的只数 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法4：兔的只数=总脚数÷2―总头数 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法5(方程)：X=( 总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)(X=兔的只数) 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法6(方程)：X=：(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)(X=鸡的只数) 总只数-鸡的只数=兔的只数

解法7 鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数)÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数

解法8 兔总只数=(鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数)÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数

解法9 总腿数/2-总头数=兔只数 总只数-兔只数=鸡的只数

“鸡兔同笼”中的数学思想方法

一、化归思想

化归是基本而典型的数学思想。化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。我们常常用到的如化未知为已知、化难为易、化繁为简、化曲为直等都是这一思想方法的运用。“鸡兔同笼”原题中的数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，根据化繁为简的思想，先安排数据较小的问题，如“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有7个头，从下面数，有18只脚。鸡和兔各有几只?”(以下均以此题为例)待学生探索出解决此类问题的一般方法后，再应用于解决《孙子算经》中数据较大的原题，学生将易如反掌。“鸡兔同笼”问题在生活中有很多变式，比如“龟鹤问题”、“坐船问题”等，这些问题可以通过化归，归结为“鸡兔同笼”问题，再进一步求解，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛应用，体会“化归法”在解题中的魅力。

二、假设思想

假设是一种重要的数学思想方法。假设法是先假定一种情况或结果，然后通过推导、验证来解决问题的方法。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养学生灵活的解题技能，发展学生的逻辑推理能力。

用假设法解答上题有多种思路，可以先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设情况下总脚数之差，最后推理出鸡和兔的只数。比如假设7只都是鸡，那么兔有(18-7×2)÷(4-2)=2(只)，鸡有7-2=5(只)。运用假设法解题是教学的难点，教师可以先让学生用上述的“画图法”，学生会在直观操作活动中通过数形结合而建立思维的表象，再进一步抽象，这样有助于学生真正理解“假设法”，形成有序地、严密地思考问题的意识。教师也可以向学生介绍古人解决“鸡兔同笼”问题的“抬脚法”，其中也应用了“假设法”。

三、方程思想

方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言“翻译”成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。在“鸡兔同笼”的问题中，可以设鸡或兔中任意一种有X只，然后根据鸡、兔的只数与脚的总只数的关系列方程来解答。例如设兔有X只，则鸡有(7-X)只，可列方程：4X+2(7-X)=18，解得X=2，于是鸡有：7-2=5(只)。方程解法思路比较简单，且具有一般性，教学中要突出方程解法的优越性，不断渗透方程思想。

四、建模思想

弗赖登塔尔认为：学生与其学数学，不如学习数学化。在小学阶段，就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。在解决了“鸡兔同笼”问题后，可以引导学生观察、思考，概括提炼出解题模型：兔数=(实际的脚数-鸡兔总数×2)÷(4-2)，鸡数=(鸡兔总数×4-实际的脚数)÷(4-2)。之后在应用中引导学生巩固、扩展这个模型，把“鸡”与“兔”换成乌龟和仙鹤等，变式为“龟鹤问题”、“坐船问题”、“植树问题”、“答题问题”等问题，沟通这些问题与“鸡兔同笼”问题的联系，使“鸡兔同笼”成为这些问题的模型，并应用模型解决问题，不断促进模型的内化。教学中教师要重视学生建模思想的培养，使数学建模成为学生思考问题与解决问题的一种思想和方法。

以上是“鸡兔同笼”问题的各种解法中蕴含的主要的数学思想方法，从上述讨论中看出一种解法中可以蕴含不同的数学思想，而不同解法中可以蕴含同一种数学思想。

参考文献：

美国著名教育家杜威主张教育即生活、生长和经验改造；教育无目的论；从做中学。与他的“思维五步法”相适应，他认为教学也有五个阶段：①学习者要有一种“经验的真实情境”；②在这种“情境”里面，要有促使学习者去思考的“真实的问题”；③学习者必须具有相当的知识，从事必要的观察以对付这种问题；④学习者须具有解决这种问题的种种设想；⑤学习者把设想的办法付诸实施，检验这种方法的可靠性。此法曾一度成为世界课堂教学的经典模式。鉴于该思想的魅力，本人尝试着从课堂教学中去实践伟人的教育思想，更接近伟人，更深刻地去理解伟人，感受伟人思想的魅力。同时，在实践过程中，有所启发和反思。新一轮课程改革的理念更多的是借鉴杜威的“活动教学法”，采取多样化的教学方式，促进学生的学习方式向自主、合作、探究方向发展。参考杜威的“思维五步法”，在自己对杜威教育思想和新课改的理解的基础上设计了“鸡兔同笼”一课。首先，“生活和经验是教育的灵魂，离开了生活和经验就没有生长，也就没有教育”。因此，选取学生熟悉的题材，即鸡、兔、笼子，通过已知的头和脚的总数，计算鸡兔各有多少只。由于教学条件的限制，没有足够多的宠物鸡或兔，以及禽流感的肆虐，带学生进入养鸡场那是不可能的，因此，只能用语言将学生带入想象的或回忆的“鸡兔同笼”的虚拟情境中。是这样设计开头的：“同学们，你们见过鸡和兔子吗？喜欢他们吗？什么是鸡兔同笼呢？如果鸡和兔放在一个笼子里，你能根据所给的条件算出鸡和兔各有几只吗？今天这节课我们就来研究、学习这个问题。”这样直接提出问题，进行导入，引导学生回忆“经验的真实情境”，引发学习动机，使学生急于参与，通过问题的提出，强化了学习目标，极大地调动了学生的参与意识。接下来，在这种“情境”里面，我给学生提供了促使他们去思考的“真实的问题”。那就是紧接着我给出条件：鸡兔同笼，5个头，14条腿，鸡、兔各有几只？老师说：同学们，你想知道答案吗？如何能得到答案呢？看看谁能最先找到解决这类问题的办法。该课的教学对象是小学三年级的学生，是在已经学会初步的加减乘除运算的技能的基础上设计的。所以学生在解决问题的过程中，可以充分利用新掌握的运算技能。因此，在解决该问题的过程中，学生是有相对充分的知识准备的。为引导学生进行自主、合作、探究的学习方式的革命，在学生们跃跃欲试的时候，我这样提示学生：“同学们可以首先独立思考，然后和其他同学交流各自的看法，互相参考。最后每组选派一个代表上来展示本组的成果。” 只见同学们有的先自己认真地想，有的积极地寻找交流伙伴，有的2人一组，有的3、4人一组，有的画图，有的计算，有的列表……方法多样。汇报时间到了，同学们都想展示自己组的学习成果，情绪盎然。请看这就是同学们研究的成果：方法一4×2=8（只）2×3=6（只）8+6=14（只）。方法二方法三鸡1234兔4321腿18161412答案都是3只鸡、2只兔。“解决这种问题的种种设想”就这样在思考、讨论交流种产生、完善。不同组汇报交流的过程既是初步检验、验证自己设想的过程，也是完善自己设想的过程。当然，这只能是初步的验证，真正的验证必须到类似的实际问题中去解决。之后，我对大家说：“同学们今天特别聪明，自己找到了解决问题的方法。那么，你的这些方法到底对不对呢？我们先来看看它是不是能解决类似的其他问题，如果能，那就说明你的方法是对的。同学们想不想验证一下啊？” 同学们齐声说：“愿意！”题目是：鸡兔同笼，10个头，28条腿，鸡、兔各几只？时间不长，同学们的答案出来了，大多数是对的。检验成功。在听取同学的汇报时，我给大家提了一个要求，看谁最会听同学的发言。我找了几组同学汇报，按照从难到易的顺序请他们加以说明。听了王可欣同学的发言后，大家恍然大悟，原来解决这类问题也有巧妙的方法呀！这位同学是这样做的：先假设鸡兔各有5只，这样就是30条腿，比题目要求的多两条腿，那就需要拿走一只鸡，放进一只兔子，因此答案是6只鸡，4只兔。用列表的方法很简单：鸡56兔54腿3028杜威强调学习者个人的直接的主观经验，提倡学生的个人探索，重视知识的学以致用，培养学生的实际操作能力，是非常有道理和价值的。本着这样的思想设计的“鸡兔同笼”课和普通的课相比，是有不少优势的。比如，更能激发学生的学习兴趣，提高教学效果。让学生对该问题的印象更为深刻，以便于内化为自身解决问题的能力。除此之外，还能学会与人合作和交往。让学生热爱学习，热爱生活。让学生回归现实生活，回归本体。但是，我个人认为万事不能模式化，不能刻板地实行某一学说，而应该因时因事有所变通。理论一旦被模式化，就失去他固有的应用广泛的有点和相对永恒的魅力，失去他应有的穿越时空的丰富多彩的解读和应用。

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