组合优化典型问题研究论文

关于【组合数学】的论文 生活中矩阵的应用摘要：矩阵作为一种重要的工具，在生活的方方面面都存在应用。比如科学地选彩票号码，图形的变换处理，控制监控系统都存在了矩阵的痕迹。矩阵在各个领域的应用为我们展示了矩阵的广泛实用性。矩阵实现了对组合的优化，对质量的管理优化，会变得越来越重要。关键词：矩阵 应用 优化 一．矩阵的概念在开始讨论矩阵应用前，先了解一下矩阵及相关的一些概念。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。一些矩阵在农业，经济，通信等领域都存在许多特别的应用。二．矩阵的特别的应用 1．矩阵应用在选彩票号码一些彩民由于未了解“旋转矩阵”的作用，都采取旧式的复式投注方式(即完全复式)，完完整整地拿去打彩，一些对复式投注进行深入研究的彩民发现进行复式投注浪费了不少成本。据研究者发现约有三分之一号码组合，实际上是不可能中奖或极难中奖的。据说在美国彩票史上，Gail Howard运用一种叫做“旋转矩阵”投注选号法，奇迹般地中出了74个大奖。这种“旋转矩阵”法，是一种基于“旋转矩阵”数学原理构造的选号法，其核心是：以极低的成本实现复式投注的效果。那么如何以极低的成本实现复式投注的最佳效果呢？这是由“旋转矩阵”法优点决定的。实际上，旋转矩阵是教你如何科学地组合号码。与完全复式投注组合号码的方法相比，旋转矩阵有着投入低、中奖保证高的优点。举个例子讲，10个号码的中6保5型的旋转矩阵的含义就是，你选择了10个号码，如果其中包含了6个中奖号码，那么运用该矩阵提供的14注号码，你至少有一注中对5个号码的奖。本矩阵只要投入28元，而相应的复式投注需要投入420元。大家知道，用10个号码，只购买其中的14注，如果你胡乱组合的话，即使这10个号码中包含有6个中奖号码，你也很可能只中得一些小奖。而运用旋转矩阵的话，就可以得到一个对5个号码的奖的最低中奖保证。旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。 （1）旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。2．矩阵在透视投影应用三维计算机图形学中另外一种重要的变换是透视投影。与平行投影沿着平行线将物体投影到图像平面上不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到图像平面。这就意味着距离投影中心越远投影越小，距离越近投影越大。 最简单的透视投影将投影中心作为坐标原点，z = 1 作为图像平面，这样投影变换为 x' = x / z; y' = y / z，用齐次坐标表示为：这个乘法的计算结果是 (xc,yc,zc,wc) = (x,y,z,z)。在进行乘法计算之后，通常齐次元素 wc 并不为 1，所以为了映射回真实平面需要进行齐次除法，即每个元素都除以 wc： 更加复杂的透视投影可以是与旋转、缩放、平移、切变等组合在一起对图像进行变换。比如给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转 这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。3．矩阵在质量问题中的运用 矩阵是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。 在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。 矩阵图的形式：A为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系。按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以从中得到解决问题的启示。 质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格品时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。 矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中，常用矩阵图法解决以下问题： ①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，从中找出研制新产品或改进老产品的切入点，进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据 。②明确应保证产品质量特性及与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠； ③当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除。 ④明确产品的质量特性与试验测定仪器、试验测定项目之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；（2）三，对矩阵应用的感悟 上述的矩阵应用说明了矩阵不仅仅是解方程组的工具，而且它是一种有用的工具，不仅仅在数学领域，还在经济，计算机领域等领域。相信在不久的未来，矩阵会变得越来越重要。矩阵的作用会越来越多地让人们发现。在线性代数数学书中，方程组可以转换为矩阵，再通过矩阵来简单，快速地解决问题。在质量管理问题上，它采用矩阵图来找出切入点，了解原因，使质量效率提高。 相信在不久的未来，矩阵对于优化问题的应用会越来越广泛，触及面会越来越多。矩阵是生活变得更简单，方便。参考文献：[1] 《科学通报》蒋昌俊,吴哲辉..,1989. [2] 求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究彭亚新.湖南大学,2005.

不好写投资组合是由投资人或金融机构所持有的股票、债券、金融衍生产品等组成的集合。目的是分散风险。投资组合可以看成几个层面上的组合。投资组合优化是指应用概率论与数理统计、最优化方法以及线性代数等相关数学理论方法。主要看对平时知识的掌握和平时的积累。 毕业论文从文体而言,它也是对某一专业领域的现实问题或理论问题进行 科学研究探索的具有一定意义的论文。一般安排在修业的最后一学年(学期)进行。

并行遗传算法及其应用1、遗传算法（GA）概述GA是一类基于自然选择和遗传学原理的有效搜索方法，它从一个种群开始，利用选择、交叉、变异等遗传算子对种群进行不断进化，最后得到全局最优解。生物遗传物质的主要载体是染色体，在GA中同样将问题的求解表示成“染色体Chromosome”，通常是二进制字符串表示，其本身不一定是解。首先，随机产生一定数据的初始染色体，这些随机产生的染色体组成一个种群（Population），种群中染色体的数目称为种群的大小或者种群规模。第二：用适值度函数来评价每一个染色体的优劣，即染色体对环境的适应程度，用来作为以后遗传操作的依据。第三：进行选择（Selection），选择过程的目的是为了从当前种群中选出优良的染色体，通过选择过程，产生一个新的种群。第四：对这个新的种群进行交叉操作，变异操作。交叉、变异操作的目的是挖掘种群中个体的多样性，避免有可能陷入局部解。经过上述运算产生的染色体称为后代。最后，对新的种群（即后代）重复进行选择、交叉和变异操作，经过给定次数的迭代处理以后，把最好的染色体作为优化问题的最优解。GA通常包含5个基本要素：1、参数编码：GA是采用问题参数的编码集进行工作的，而不是采用问题参数本身，通常选择二进制编码。2、初始种群设定：GA随机产生一个由N个染色体组成的初始种群（Population），也可根据一定的限制条件来产生。种群规模是指种群中所含染色体的数目。3、适值度函数的设定：适值度函数是用来区分种群中个体好坏的标准，是进行选择的唯一依据。目前主要通过目标函数映射成适值度函数。4、遗传操作设计：遗传算子是模拟生物基因遗传的操作，遗传操作的任务是对种群的个体按照它们对环境的适应的程度施加一定的算子，从而实现优胜劣汰的进化过程。遗传基本算子包括：选择算子，交叉算子，变异算子和其他高级遗传算子。5、控制参数设定：在GA的应用中，要首先给定一组控制参数：种群规模，杂交率，变异率，进化代数等。GA的优点是擅长全局搜索，一般来说，对于中小规模的应用问题，能够在许可的范围内获得满意解，对于大规模或超大规模的多变量求解任务则性能较差。另外，GA本身不要求对优化问题的性质做一些深入的数学分析，从而对那些不太熟悉数学理论和算法的使用者来说，无疑是方便的。2、遗传算法的运行机理：对GA运行机理的解释有两类: 一是传统的模式理论；二是1990 年以后发展起来的有限状态马尔可夫链模型。（1）模式理论：由Holland创建，主要包括模式定理，隐并行性原理和积木块假说三部分。模式是可行域中某些特定位取固定值的所有编码的集合。模式理论认为遗传算法实质上是模式的运算，编码的字母表越短，算法处理一代种群时隐含处理的模式就越多。当算法采用二进制编码时，效率最高，处理规模为N的一代种群时，可同时处理O(N3)个模式。遗传算法这种以计算少量编码适应度而处理大量模式的性质称为隐并行性。模式理论还指出，目标函数通常满足积木块假说，即阶数高，长度长，平均适应度高的模式可以由阶数低，长度短，平均适应度高的模式(积木块)在遗传算子的作用下，接合而生成。而不满足积木块假说的优化问题被称为问题(deceptive problem)。模式理论为遗传算法构造了一条通过在种群中不断积累、拼接积木块以达到全局最优解的寻优之路。但近十多年的研究，特别是实数编码遗传算法的广泛应用表明，上述理论与事实不符。（2）有限状态马尔可夫链模型：由于模式理论的种种缺陷，研究者开始尝试利用有限状态马尔可夫链模型研究遗传算法的运行过程。对于遗传算法可以解决的优化问题，问题的可行域都是由有限个点组成的，即便是参数可以连续取值的问题，实际上搜索空间也是以要求精度为单位的离散空间，因此遗传算法的实际运行过程可以用有限状态马尔可夫链的状态转移过程建模和描述。对于有 m 个可行解的目标函数和种群规模为N的遗传算法，N 个个体共有 种组合，相应的马尔可夫模型也有 个状态。实际优化问题的可行解数量 m 和种群规模 N 都十分可观，马尔可夫模型的状态数几乎为天文数字，因此利用精确的马尔可夫模型计算种群的状态分布是不可能的。为了换取模型的可执行性，必须对实际模型采取近似简化，保持算法的实际形态，通过对目标函数建模，简化目标函数结构实现模型的可执行性。遗传算法优化的过程，可以看作算法在循环过程中不断对可行域进行随机抽样，利用前面抽样的结果对目标点的概率分布进行估计，然后根据估计出的分布推算下一次的抽样点。马尔可夫模型认为遗传算法是通过对搜索空间不同区域的抽样，来估计不同区域的适应度，进而估计最优解存在于不同区域的概率，以调整算法对不同区域的抽样密度和搜索力度，进而不断提高对最优解估计的准确程度。可见，以邻域结构为依据划分等价类的马尔可夫模型更符合实际，对问题的抽象更能体现优化问题的本质。3、并行遗传算法（PGA）虽然在许多领域成功地应用遗传算法，通常能在合理的时间内找到满意解，但随着求解问题的复杂性及难度的增加，提高GA的运行速度便显得尤为突出，采用并行遗传算法（PGA）是提高搜索效率的方法之一。由于GA从种群出发，所以具有天然的并行处理特性，非常适合于在大规模并行计算机上实现，而大规模并行计算机的日益普及，为PGA奠定了物质基础。特别是GA中各个体适值计算可独立进行而彼此间无需任何通信，所以并行效率很高。实现PGA，不仅要把串行GA等价地变换成一种并行方案，更重要的是要将GA的结构修改成易于并行化实现的形式，形成并行种群模型。并行种群模型对传统GA的修改涉及到两个方面：一是要把串行GA的单一种群分成多个子种群，分而治之；二是要控制、管理子种群之间的信息交换。不同的分治方法产生不同的PGA结构。这种结构上的差异导致了不同的PGA模型：全局并行模型、粗粒度模型、细粒度模型和混合模型。3、1全局PGA模型该模型又称主从PGA模型，它是串行GA的一种直接并行化方案，在计算机上以master-slave编程模式实现。它只有一个种群，所有个体的适应度都根据整个种群的适应度计算，个体之间可以任意匹配，每个个体都有机会和其他个体杂交而竞争，因而在种群上所作的选择和匹配是全局的。对于这个模型有多种实现方法：第一种方法是仅仅对适值度函数计算进行并行处理；第二种方法是对遗传算子进行并行处理。全局模型易于实现，如果计算时间主要用在评价上，这是一种非常有效的并行化方法。它最大的优点是简单，保留了串行GA 的搜索行为，因而可直接应用GA 的理论来预测一个具体问题能否映射到并行GA上求解。对于适应度估值操作比其他遗传算子计算量大的多时，它是很有效的，并且不需要专门的计算机系统结构。3、2粗粒度PGA模型该模型又称分布式、MIMD、岛模式遗传算法模型，它是对经典GAs 结构的扩展。它将种群划分为多个子种群(又称区域)，每个区域独自运行一个GA。此时，区域选择取代了全局选择，配偶取自同一区域，子代与同一区域中的亲本竞争。除了基本的遗传算子外，粗粒度模型引入了“迁移”算子，负责管理区域之间的个体交换。在粗粒度模型的研究中，要解决的重要问题是参数选择，包括：迁移拓扑、迁移率、迁移周期等。在种群划分成子种群(区域)后，要为种群指定某种迁移拓扑。迁移拓扑确定了区域之间个体的迁移路径，迁移拓扑与特定的并行机结构有着内在的对应关系，大多采用类似于给定并行处理机的互连拓扑。如果在顺序计算机上实现粗粒度模型，则可以考虑采用任意结构。拓扑结构是影响PGA 性能的重要方面，也是迁移成本的主要因素。区域之间的个体交换由两个参数控制：迁移率和迁移周期。迁移基本上可以采用与匹配选择和生存选择相同的策略，迁移率常以绝对数或以子种群大小的百分比形式给出，典型的迁移率是子种群数目的10%到20%之间。迁移周期决定了个体迁移的时间间隔，一般是隔几代(时期) 迁移一次，也可以在一代之后迁移。通常，迁移率越高，则迁移周期就越长。有的采用同步迁移方式，有的采用异步迁移方式。迁移选择负责选出迁移个体，通常选择一个或几个最优个体，有的采用适应度比例或者排列比例选择来选择迁移个体，也有采用随机选取和替换的。在大多数情况下,是把最差或者有限数目的最差个体替换掉.与迁移选择类似，可采用适应度比例或者排列比例选择，确定被替换的个体，以便对区域内部的较好个体产生选择压力。基于国内的现状，分布式PGA为国内PGA研究的主要方向。分布式PGA作为PGA的一种形式，一般实行粗粒度及全局级并行，各子种群间的相互关系较弱，主要靠一些几乎串行GA来加速搜索过程。采用分布式PGA求解问题的一般步骤为：（1）将一个大种群划分为一些小的子种群，子种群的数目与硬件环境有关；（2）对这些子种群独立的进行串行GA操作，经过一定周期后，从每个种群中选择一部分个体迁移到另外的子种群。对于个体迁移存在多种方法，第一种方法，在执行迁移操作时，每次从子种群中随机选择一部分染色体发送出去，接收的染色体数应该与发出的染色体相同。第二种方法，在执行迁移操作时，首先在每个子种群内只使用选择而不使用其它遗传算子繁殖一些后代，这些后代的数目与迁移数相同。然后再将这些后代的原子种群合并成一个大子种群并均匀随即地从该子种群中选择个体进行迁移。这样，待迁移后子种群的规模便又恢复到正常状态。而当子种群接收到从其他子种群迁移来的个体时则均匀随即地替换掉子种群内的个体。第三种方法，将其中一个子种群设置为中心子种群，其他子种群与中心子种群通信。中心子种群始终保持着整个种群中当前的最优个体，其他子种群通过“引进”中心子种群中的最优个体来引导其加快收敛速度，改善个体特征。3、3 细粒度PGA模型该模型又称领域模型或SIMD PGA模型，对传统GA作了修改。虽然细粒度模型也只有一个种群在进化，但在种群平面网格细胞上，将种群划分成了多个非常小的子种群(理想情况是每个处理单元上只有一个个体)，子种群之间具有极强的通信能力，便于优良解传播到整个种群。全局选择被领域选择取代，个体适应度的计算由局部领域中的个体决定，重组操作中的配偶出自同一领域，且子代同其同一领域的亲本竞争空间，即选择和重组只在网格中相邻个体之间进行。细粒度模型要解决的主要问题是领域结构和选择策略。领域结构既决定了种群中个体的空间位置，也确定了个体在种群中传播的路径。领域结构主要受特定并行计算机的内存结构和通信结构影响。领域拓扑确定一个个体的邻居，构成该个体的局部领域。通常，只有一个拓扑的直接领域才属于其局部领域，若把某个固定步数内所能到达的所有个体也包含在内，则可以扩大领域半径。在确定选择策略时，要考虑到选择压力的变化，而选择压力与领域结构有关。与全局匹配选择类似，局部匹配选择可以采用局部适应度比例、排列比例选择，以及随机行走选择。局部生存选择确定局部邻域中被替换的个体，如果子代自动替换邻域中心的那个个体，那么可以直接使用代替换作为局部生存策略。3、4 混合PGA模型该模型又称为多层并行PGA模型，它结合不同PGA模型的特性，不仅染色体竞争求取最优解，而且在GA结构上也引入了竞争以提供更好的环境便于进化。通常，混合PGA以层次结构组合，上层多采用粗粒度模型，下层既可采用粗粒度模型也可采用细粒度模型。或者，种群可以按照粗粒度PGA模型分裂，迁移操作可以采用细粒度PGA模型。3、5 四种模型的比较就现有的研究结果来看，很难分出各模型的高低。在评价并行模型的差异时，有时还得深入到实现细节上，如问题的差异、种群大小、或者不同的局部搜索方法等。但有一个结论是肯定的：不采用全局并行模型，而采用粗粒度模型或者细粒度模型通常能获得更好的性能。粗粒度模型与细粒度模型孰优孰劣，尚是一个未知数。目前，以粗粒度模型最为流行，因为一是其实现较容易，只需在串行GA中增加迁移子例程，在并行计算机的节点上各自运行一个副本，并定期交换几个个体即可；二是在没有并行计算机时，也可在网络或单机系统上模拟实现。虽然并行GA能有效地求解许多困难的问题，也能在不同类型的并行计算机上有效地实现，但仍有一些基本的问题需要解决。种群大小可能既影响大多数GA的性能，也决定GA找到解所需时间的主要因素。在PGA中，另一个重要问题是如何降低通信开销，包括迁移率的确定，使得区域的行为象单个种群一样；确定通信拓扑，既能充分地组合优良解，又不导致过多的通信开销；能否找到一个最优的区域数等。另外，对不同的应用问题，混合模型难以设定基本GA的参数，其节点的结构是动态变化的，它比粗粒度和细粒度模型更具有一般性，算法更为复杂，实现代价更高。4、并行遗传算法的评价模型：并行遗传算法的性能主要体现在收敛速度和精度两个方面，它们除了与迁移策略有关，还与一些参数选取的合理性密切相关，如遗传代数、种群数目、种群规模、迁移率和迁移间隔。利用Amdahl定律评价并行遗传算法，即绝对加速比(speedup) = Ts/Tp，其中，Ts为串行遗传算法(单个处理器)的执行时间；Tp为并行遗传算法的执行时间。Amdahl定律适用于负载固定的情况，对于并行遗传算法而言，就是适用于总种群规模不变的情况。所以，Amdahl定律适用于主从式和细粒度模型，在适应度评价计算量较大时，主从式模型可以得到接近线性的加速比。由于细粒度模型的应用较少，适用的SIMD并行机的可扩展性也不突出，所以很少有人评价细粒度模型的加速比。利用Amdahl定律评价粗粒度模型时，需保持总的种群规模，即子种群数量和子种群规模成反比。这种情况下粗粒度模型的加速比接近线性，这是由于粗粒度模型的通信开销和同步开销都不大。5、实例：带约束并行多机调度5、1 问题描述最小化完工时间的带约束并行多机调度问题可描述如下：有 n 个相关的工件，m 台机器，每个工件都有确定的加工时间，且均可由 m 台机器中的任一台完成加工任务。要找一个最小调度，即确定每台机器上加工的工件号顺序，使加工完所有工件所需时间最短。算法关键在于：(1) 如何表示工件之间的关系。可以把 n 个相关工件表示成一个后继图，如上图所示。图中节点间的有向边表示工件之间的后继或编序关系。因此，Ti →Tj 表示工件 Tj 在完成之后才能启动工件Ti。显然对于 n 个相关工件，我们可以根据工件间的约束关系所表示成的后继图产生一符合约束条件的工件序列( a0，a1，…，ai，…，an-1) (0 ≤ai 硕士学位论文, 2001.6、王冠. 并行遗传算法及其在组合优化问题上的分布式应用, 武汉理工大学硕士学位论文, 2003.7、吴昊, 程锦松. 用并行遗传算法解决带约束并行多机调度问题. 微机发展, 2001.

好写。个人投资者也需要在有限的条件下进行适当的投资组合以规避投资风险因此，证券投资组合的规模既不能过度分散也不能过度集中.投资组合规模、风险和收益之间存在最优化。基于和声搜索算法的投资优化组合求解算法，毕业设计（论文）工作自11年06月02日起至11年09月26日止三、毕业设计，以互联网技术为依托，基于投资组合的个人理财系统应运而生。