希尔伯特基定理的论文文献

据我所知道，希尔伯特写过一本《数论讲义》，那本书是继高斯以后数论发展的一个里程碑，具体应该是代数数论上有了新的发展。另外，希尔伯特帮助爱因斯坦建立了广义相对论的作用量。这个是举手之劳的事情，但希尔伯特显然是很懂微分几何的。这说明他不但是数论高手，还是微分几何高手。希尔伯特还做过什么？他还提出了23个他不能解决的数学难题在1900年的数学家大会上报告，引起了轰动。这些问题已经有不少被解决了，比如连续统猜想。但也有没有被解决的，比如黎曼猜想。

Hilbert 将几何严格公理化的想法很快普及到数学的各领域，而 Hilbert 自己也认真学习物理，想把物理的各分支公理化；不过他在物理学公理化方面的成就有限。1922年，Hilbert 转到研究公理化本身，希望证明一般的公理化系统在独立性、一致性及完备性都不成问题。但1930年代，Gödel 的几篇论文却使这样的希望未能完全实现。

希尔伯特空间的数学概念以大卫希尔伯特的名字命名，概括了欧几里得空间的概念。它将向量代数和微积分的方法从二维欧几里得平面和三维空间扩展到具有任意有限或无限维数的空间。希尔伯特空间是一个带有内积的向量空间，这是一种允许定义长度和角度的操作。此外，希尔伯特空间是完备的，这意味着空间中有足够的限制以允许使用微积分技术。

希尔伯特空间在数学和物理学中自然而频繁地出现，通常作为无限维函数空间。最早的希尔伯特空间是在 20 世纪头十年由大卫希尔伯特、艾哈德施密特和弗里吉斯瑞兹从这个角度研究的。它们是偏微分方程、量子力学、傅立叶分析（包括信号处理和热传递的应用）和遍历理论（构成热力学的数学基础）理论中不可或缺的工具。约翰·冯·诺依曼 (John von Neumann) 创造了术语希尔伯特空间 (Hilbert space) 来表示许多这些不同应用背后的抽象概念。希尔伯特空间方法的成功为泛函分析开创了一个硕果累累的时代。除了经典的欧几里得空间，希尔伯特空间的例子还包括平方可积函数空间、序列空间、由广义函数组成的索博列夫空间和全纯函数的哈代空间。

几何直觉在希尔伯特空间理论的许多方面都起着重要作用。勾股定理和平行四边形定律的精确类似物在希尔伯特空间中成立。在更深层次上，垂直投影到子空间（类似于“降低三角形的高度”）在优化问题和理论的其他方面起着重要作用。

希尔伯特空间的元素可以由其相对于一组坐标轴（正交基）的坐标唯一指定，类似于平面中的笛卡尔坐标。当这组轴是可数无穷大时，希尔伯特空间也可以有效地被认为是可平方和的无穷序列空间。后者空间通常在较早的文献中称为希尔伯特空间。希尔伯特空间上的线性算子同样是相当具体的对象：在良好的情况下，它们只是在相互垂直的方向上通过不同因子拉伸空间的变换，在某种意义上通过研究它们的频谱变得精确。

数学和哲学之间的关系，一直受到人们的探讨，有很多的论文都对数学和哲学作出了深刻的描写。以下是我精心整理的数学和哲学的关系论文的相关资料，希望对你有帮助!

摘要：本文首先介绍柏拉图的数学哲学思想，接着讲述一下数学哲学，再介绍必然性和先天性知识，接着介绍三大主义，以及数学哲学的现代发展，最后简单 总结 数学哲学。 关键词： 柏拉图 数学哲学 先天性 必然性知识 三大主义

正文：

一：柏拉图的数学哲学思想

柏拉图的数学哲学思想主要体现在数学本体论的问题上，而在数学的本体论问题上他采取了实在论的立场，即认为数学的对象是他所说的“理念世界”中的真实存在。柏拉图的这一认识是建立在对数学绝对真理性的信念之上的。他认为数学对象就是一种独立的、不依赖于人类思维的客观存在。

除去实在论的观点外，柏拉图还强调了数学认识活动的先天性。按柏拉图的观点，理念世界是理性认识的对象，而且，这种认识只能通过“对先天的回忆”得到实现;由于对象也是理念世界中的存在，因此，在柏拉图看来，数学就从属于研究理念的科学——“辨证法”，即是一种先天的认识。

另外，除去数学的先天性以外，柏拉图还强调数学认识在一般的理性认识中的作用：由于数学对象被说成是感性事物与理念之间的“中介对象”，因此，数学的认识也就具有一种“桥梁”作用，它能刺激人们，从而引起灵魂对“先天知识”的回忆。柏拉图说：“几何会把灵魂引向真理，产生哲学精神„„。”

二：数学哲学

数学在形式化和抽象化方向上的发展，数理逻辑和数学基础研究的进展，以及悖论的发现，开创了数学哲学的研究的新时期。

数学家们认为，数学是建立在一系列自明原则基础上的。一个数学家的责任是尽可能完全地发现由这些原则所得出的结论。他应该坦率地承认这些原则本身是一些明显的洞察，因而它们形成一个无可懈击的、永恒的基础。与此相反，哲学家会听任数学家去探索由这些原则得出结论;他对这些结论并不感兴趣。然而他必须对下述事实作出解释，即我们具有供我们使用的、此类自明性所适用的一些洞察力，他还需要说明与这些洞察有关的对象。他们同意数学的对象不属于物质世界，数学洞察不可能以 经验 作为依据，因为适合于数学原则的这类自明性决不属于我们的经验知识而是数学原则所特有的。

三：必然性和先天性知识

数学哲学在很大程度上是认识论——在哲学中处理认知和知识的部分——的一个分支。但是，数学至少表面上与其他求知的努力不同。特别是与科学追求的其他方面不同。数学命题，像7+5=12有时被当做必然真理的范例，简直不可能有其他情况。

科学家会乐意承认她的较为基本的论题可能是假的。这种谦恭被科学革命的历史所印证，在革命中，长期存在且深信不疑的信念被推翻了。数学也能严肃地支持这种谦恭吗?能怀疑数学归纳法对自然数成立吗?能怀疑5+7=12吗?有没有数学革命，其结果是推翻长期存在的核心的数学概念?恰恰相反，数学 方法 论似乎并不像科学那样是或必然性的。与科学不同，数学通过证明展开，一个成功的、正确的证明扫除了所有基于理性的怀疑，不仅仅

是所有有理由的怀疑。一个数学证明要表明它的前提逻辑地蕴涵它的结论。前提为真而结论为假是不可能的。

“先天”这个词的意思差不多是“先于经验”或“独立于经验”。它是一个认识论的概念，如果知识不是基于任何“关于现实世界中事件的特殊过程的经验”，那一个命题就定义为先天获知的。

有些哲学家认为不存在先天知识，而对其余的哲学家来说典型的先天知识包括“所有红色物体是有颜色的”和“没有什么东西能在同一时刻既是完全红的又是完全绿的”。数学似乎不像科学一样基于观察之上，而基于证明之上。

因此任何完整的数学哲学有义务说明数学的至少表面看起来的必然性和先天性。 四：三大主义

关于数学的逻辑及认识论的基础问题至今尚未完全解决。这问题无论对数学家或者哲学家都是至关紧要的，因为在“一切科学中最可靠的科学”的基础中，任何一点不确凿都将是令人极度不安的。迄今为解决这个问题而做出的各种努力中。还没有一种能称得上已经解决了所有困难。这些努力主要是沿着三个方向：以罗素为主要倡议者的逻辑主义，布劳威尔所提倡的直觉主义，和希尔伯特的形式主义。

数学基础的最重要问题之一是数学与逻辑的关系。逻辑主义的理论是数学能归约为逻辑，据此，数学无非是逻辑的一部分。逻辑主义的论点可以分为两部分，一是数学概念能通过明确的定义从逻辑概念中导出。另一部分是数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来。

直觉主义数学家建议把数学工作作为他的智力的一种自然功能，作为思想的一种自由的有生气的活动。在他看来，数学是人类精神的产物。他运用语言，不论是自然的或形式化的，只是为了交流思想，也就是使别人或自己能懂得他自己的数学想法。这个语言伴随物不是数学的代表，更不是数学本身。

立即处理数学的构造也许是最符合直觉主义者的积极态度了。这个构造的最重要基石是一的概念，它是整数序列所依赖的构造原则。整数必须作为单位来看待，这些单位仅仅由于在这个序列中的位置而相互区别。

希尔伯特证明论的主导思想是，即使经典数学的陈述从内容上说竟然是错误的，然而经典数学含有一个内在封闭的程序，这程序是按所有数学家都知道的固定规则操作的，它基本上在于相继地构造原始符号的一些组合，而这些组合被认为是“正确性”或“已被证明的”。而且这个构造程序是“有限性的”和直接构造性的。

五：数学哲学的现代发展

自20世纪50年代起数学哲学便进入了一个新的发展时期，与数学基础研究相比，这一新的发展表现出了一些显著的不同特点。

(1)研究立场的转移，即由严重脱离实际数学活动转移到了与其密切结合。具体地说，在数学基础研究中，尽管逻辑主义等学派提出了不同的主张，但他们所实际从事的都是一种趋于规范性的工作。现代数学哲学认为，数学哲学应当是数学家们工作中的“活的哲学”，即研究人员、教师和使用数学者对他们所从事的工作的哲学见解。

研究立场的转移直接导致了新的数学观念。例如，正是基于对数学家实际言行及数学史上实例的考察，经验主义才得以在现代数学哲学中“复兴”。

(2)研究的内容和方法表现出了明显的开放性，特别是由一般科学哲学中吸取了不少重要的研究问题和有益的思想，这就和以往的封闭式的数学基础研究大相径庭。

例如，I. Lakatos 所倡导的拟经验的数学观事实上就是将K. Popper 的证伪主义科学哲学理论推广应用到了数学的领域。又如，在T. Kuhn 的科学哲学研究的影响下，出现了关于数学的社会—— 文化 研究。显然，这关于数学的动态研究是与先前的研究传统，亦即单纯着

眼于数学知识的逻辑结构的静态分析大相径庭的。

另外，新的研究的又一重要特点则是突出强调了数学研究的社会性。最后，与实际的数学活动的密切联系也可看成为现代数学哲学研究开放性的一个重要表现。特别是，作为对于思想方法的研究，数学方法论的研究在现代得到了新的发展。

六：总结

数学和哲学是同门异户，声息相通的，你敲开一家门，另一家就会立刻向你敞开窗户。 数学哲学是在不断变化的，随着时代的发展，会有不同的表现，人们研究也会跟以前不一样。

参考文献

(1)《西方数学哲学》 夏基松 郑毓信 著

人民出版社 1986年1月出版 p10--p13

(2)《数学哲学译文集》自然科学哲学问题译丛 林夏水 主编

知识出版社 1986年7月出版 p24--p25

(3)《数学哲学--对数学的思考》西方数学文化理念传播译丛 丛书主编 汪宁

【美】斯图尔特·夏皮罗 著 郝兆宽 杨督之 译

复旦大学出版社 2009年2月出版 p20--p23

(4)《数学哲学》 【美】保罗·贝纳塞拉夫 希拉里·普特南 编

商务印书馆 2003年2月出版 p47--p76

(5)《徐利治读数学哲学》 徐利治 著

大连理工大学出版社 2008年1月出版 p73--p82

2012年4月6日

希尔伯特空间中的1矢量最有意义的就是可以证明一个理论。通过这个理论就可以研究真空中的理念。

应该就是让大家能够发现这个空间，并且利用这个空间做一些其他的事情，所以具有一定的意义。