高中三角函数解题策略研究论文

开题报告 三角学的起源与发展 三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具 一、课题提出的背景 高中学习的紧张，高中学科的繁多。在数学学科上三角函数始终是高中学生们的一个心结，一个想得高分却无法做对的心结。并且三角函数与平面向量中的数学思想方法贯穿于整个学习过程内容中，是解决三角函数与平面向量问题的指南．由于数学学习是具体性较差、与现实有一定距离的活动，自我一时的作用更加突出，更加需要有学习活动与对活动的自我反省和调节间的协调统一。然而，目前数学教学中并没有意识到这个重要性，轻视基本概念教学，迷恋大运动量解题训练，以获得正确答案为满足，不对解题过程进行反思，不总结解题经验和教训，更不对问题进行引申、一般化和概括数学思想方法，结果是导致数学学习的“高投入，低产出，”师生双方的负担都非常重 二、所要解决的主要问题 1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。 2、研究如何培养学生数形结合的数学思想和整体代换的思想。 3、研究如何培养学生对题分析和解决能力。 4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对解题充满信心。 三、课题的理论价值和实践意义 理论价值：本课题的研究有助于学生养成利用数学知识解决现实问题的良好习惯，掌握基本的数学思想和方法，真正体会数学知识的实际意义，培养学生良好的数学意识。 实践意义：本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基本要求，提高学生数学学习兴趣，培养数学应用能力。 四、研究内容 1、对学生数学的应用能力进行调查，找出影响应用能力的因素。 2、对学生进行图形语言和数学符号语言相结合练习，培养学生数形结合的思想方法。 3、研究学生解决实际问题过程中学生自主探索，合作交流的能力，寻求多样化的解题方法，培养学生的创新意识。采纳有好报

高中三角函数题型及解题方法如下：

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式  一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式。

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)。

2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)。

3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)。

4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z)。

点击查看：高中数学反三角函数公式总结。

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”。

1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）。

2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）。

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内。

4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内。

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α。

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β。

2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β。

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故：

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α。

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α。

三角函数变换的方法与技巧 (1)角的变换 在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。 例1、已知，求证：。 分析：在条件中的角和 与求证结论中的角是有联系的，可以考虑配凑角。 解：，，函数名称的变换 三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。 例2 、(2001年上海春季高题)已知 ，试用表示的值。分析：将已知条件“切化弦”转化为的等式。解：由已知； 。常数的变换 在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，，等等。 例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。 分析：由所给的式子可联想到。 解： 。 所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。公式的变形与逆用 在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由可变形为等等。 例4、求的值。 分析：先看角，都是，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。 解：原式(切割化弦) (逆用二倍角公式) (常数变换) (逆用差角公式) (逆用二倍角公式)。 这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。三角函数变换的方法与技巧(2)在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们再介绍四种变换的方法与技巧：引入辅助角 可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由确定。 例5、求的最大值与最小值。 分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。 解： 其中，， 当时，； 当时，。 注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。幂的变换 降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有：，和等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式常用升幂化为有理式。例6、化简。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。 解：原式消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。 例7、求函数的最值。 解：原函数可变形为：，即 ， 解得：，。变换结构 在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。例8、化简。分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。解：所以。九、思路变化对于一道题，思路不同，方法出随之不同。通过分析，比较，才能选出思路最为简例9、求函数 的最大值。解：由于，则为点与点()连线的斜率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时，如图所示：此时， 。 捷的方法。