恰当方程与积分因子毕业论文

常微分方程发展经历了几百年的历史，其中恰当方程的部分，是解决各类常微分方程的重要方法。历史上恰当方程在解决很多理科数学，力学，天文学，以及我们现在的大学生建模竞赛等等方面起到了重要作用，特别近三十年来在自然科学中，混沌现象和孤立子及分形等新现象的发现在计算机领域的出现让我们对恰当方程和计算机的结合有了更紧密的联系。

回，楼上就是要求个计算过程，道理都明白的。。。。

恰当方程一种微分方程，它可以直接解出而不需要用到这学科的任何特殊技巧。单变量的一阶微分方程称为恰当方程或恰当微分方程，如果它是简单微分的结果。方程P(x,y)y′＋Q(x,y)=0〔或者等价地P(x,y)dy＋Q(x,y)dx=0〕是恰当方程，如果Px(x,y)=Qy(x,y)。这时，存在函数R(x,y)，它对x的偏微商为P，对y的偏微商为Q，结果方程R(x,y)=c(c为常数)将定义隐函数y，它满足原来的微分方程。 例如，在方程(x2＋2y)y′＋2xy＋1=0中，P=x2＋2y对x的偏微商是2x，而Q=2xy＋1对y的偏微商也是2x，函数R=yx2＋x＋y2满足条件Rx=P与Ry=Q，从而由yx2＋x＋y2=c所定义的隐函数是原方程的解。有时一个方程不是恰当的，但可以用一个适当的函数乘每一项使它成为恰当的，这个适当的函数称为一个积分因子，通常它由1/(Px±Qy)给出。 例如，方程3y＋2xy′=0用1/5xy去乘，变成3/x＋2y′/y=0，它是方程3ln x＋2ln y=c的直接微分的结果。这方程可以写成x3y2=c，它定义的隐函数满足原来的微分方程。高阶方程也可以称为恰当方程，如果它是一个较低阶的方程微分的结果。例如，二阶方程p(x)y〞＋q(x)y′＋r(x)y=0是恰当的，假如存在一阶表达式p(x)y′＋s(x)y，使它的微分恰好等于给定的方程的左方。因此这个方程是恰当的，当且仅当p〞-q′＋r=0，这时上面的s等於q-p′。如果方程不是恰当的，可能存在z(x)(也称为积分因子)，使得方程乘以z後变成恰当的。

积分因子是微分方程中的概念，就是在解微分方程时在方程的两边同时乘以一个因子或同时除以一个因子，使得积分更加容易。

由于恰当方程可以比较方便的求出通解，于是人们想到能否将一非恰当方程化为恰当方程呢？由此就引入了积分因子的概念。

如果存在连续可微函数

使得

为一恰当方程，即存在函数

使

则称

为方程

的积分因子。这时

即为方程

的通解，因而也就是方程

的通解。

扩展资料：

积分因子存在性

可以证明，只要方程

有解存在，则必有积分因子存在，且不是唯一的。

事实上，设该方程有通解

，对其微分可得

与原方程

对比可得

从而，

。由此可见，

即为方程的积分因子。

例如，

可以取

中的任何一个函数作为积分因子。

参考资料来源：百度百科 —积分因子