近世代数中对循环环的研究论文

G本身就是其自身的一个子群, 所以G=G^k为循环群

由一个元生成的群称为循环群,对循环群G, ,使 注：上述定义的集合不一定含有无穷多个元,可能 使 例： 1.Z关于加法" "构成一个循环群,由1生成,即 2.整数模m的剩余类加法群 是由 生成的循环群,即 注： 1.循环群在同构的意义下只有两个 2.循环群的子群仍是循环群 3.循环群是最简单的一类群,其中有限循环群比较常用 定理：设群G是由a生成的循环群,则 1.若 ,则 2.若 ,则 证明：定理：设 是循环群, ,则 ,使 证明：,其中 ,即 , 使 ,称i为以a为底b的离散对数,记作 注：群中仅有有限个元,故称离散,离散对数在密码学中有重要应用 例：设p是素数, , 中的乘法定义为 ,易证这是一个群,单位元为 ,且初等数论中已证它是循环群,生成元称为模p的原根 如取p=13,计算 中元的阶 解：

我还没完成，提点个人意见。首先由 G=G^k 推不到G 为循环群，令k=1就可以了。按照赵春来，徐明曜的书，思路如下：（1）证明 exp（G）有限(2) 设G的元素中，阶最大的为b , 设o(b)= n 设 = G^r , 证明r,n 互素(3)证明 =G我只做到第2步。当然您也可以用别的方法。