不等式的证明方法研究论文

微积分在不等式中的应用［摘要］本文应用微积分讨论了一些不等式的解法和证明，进一步揭示了微积分作为一种实用性很强的数学方法和工具，在求解不等式中的作用。［关键词］微积分高等数学不等式不等式是数学研究的一个基本问题,是属于初等数学的重要内容。不等式的证明方法多种多样，初等数学中常用的方法有恒等变形，使用重要不等式，用数学归纳法等，这些方法往往需要极高的技巧和超强的变形能力。微积分是高等数学的核心，微积分思想方法是高等数学乃至整个数学的典型方法，微积分思想方法的引入为解决不等式证明的难题找到了突破口，用这来解不等式可使解题思路变得简单。下面就通过实例分析微积分在证明不等式中的应用。1、用导数的定义证明不等式例1．设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，已知f(x)≤sinx，求证：a1+2a2+…+nan≤1。证明：方法1：因为f(0)=0，由已知f(x)-f(0)x-0≤sinxx(x≠0)∴limx→0f(x)-f(0)x-0≤1圯f'(0)≤1即a1+2a2+…+nan≤1。导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形进行证明。方法2：由f(x)≤sinx，得f(x)x≤sinxx(x≠0)，即a1sinxx+a2sin2xx+…+ansinnxx≤sinxx两端同时取x→0时的极限得limx→0a1sinxx+a2sin2xx+…+ansinnxx≤limx→0sinxx由重要极限及其变形知：limx→0sinkxx=k∴a1+2a2+…+nan≤1,证毕。2、利用函数的单调增减性定理1：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导（1）若在（a,b）内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2）若在（a,b）内，f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。由定理1我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：（1）移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作的辅助函数f(x)；（2）求出f'(x)，并判断f(x)在指定区间的增减性；（3）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证。例2．设b>a>0，证明：lnba>2(b-a)a+b。分析：当b>a>0时，lnba>2(b-a)a+b圳(lnb-lna)(a+b)>2(b-a)证明：令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(x≥a)∵f'(x)=1x(a+x)+(lnx-lna)-2f''(x)=-ax2+1x=x-ax2≥0(x≥a)所以f'(x)单调增加，又f'(a)=0，于是f'(x)≥0(x≥a)因而f(x)单调增加，又f(a)=0，故当b>a>0时，有f(b)>f(a)=0即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)>0，亦即lnba>2(b-a)a+b。3、用微分中值定理证明不等式定理2（罗尔定理）：设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）f(a)=f(b)；则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。定理3（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)b-a。

柯西不等式证明写法如下：

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

相关信息：

柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

1、三角不等式

三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子（这里不作介绍）。三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论。

2、均值不等式

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

3、柯西不等式

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中非常重要，是高等数学研究内容之一。

4、几何平均不等式

根号ab,称为几何平均数，这个体现了一个几何关系， 即过一个圆的直径上任意一点做垂线，直径被分开的两部分为a,b, 那么那个垂线在圆内的一半长度就是根号ab,并且 (a+b)/2≥根号ab! 这就是它的几何意思，也是称之为几何平均数的原因。

算术-几何平均值不等式，简称算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现了算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。

5、杨氏不等式

杨氏不等式又称Young不等式 ，Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法。