论文均值不等式的研究方法

均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

均值不等式部分的公式：

a^2+b^2 ≥ 2ab

√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2

a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac

被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：

，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

参考资料来源：百度百科-均值不等式

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a,b 大于0 ,a+b=m( m大于0 ), 则 m 大于等于 2根号 ab，仅当a=b 时取等号。

使用均值不等式时一定要牢记三个步骤：一正二定三相等！也就是说数字首先要都大于零，然后他们之间通过加或乘可以有定值出现，第三就是检验等号是不是取得到。。一般第三步很容易被忽略，因此这也是均值不等式的易错点之一。如有疑问可以追问。

均值不等式又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

扩展资料：

不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）

不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（÷或×1个负数的时候要变号）

把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

1常数代换例1：x，y 均为正实数，且 2x+y=1，求 1/x + 1/y 的最小值。本题较简单，在原式上乘以1，即2x+y即可：例2：x，y 均为正实数，且 x+3y=5xy，求 3x+4y 的最小值本题表面不存在常数，但只要将题设条件左右同时除以 5xy，即出现常数1。2换元换元的关键在于务必保留约束条件的全部信息。例3：x，y 均为正实数，且 x+2y+2xy=8，求 x+2y 的最小值本例似乎无法使用常数代换，考虑换元法。可令：p=x+2y，q=2xy，于是 p+q=8，但仅仅这样的话，并没有保留约束条件的全部信息，比如：p=2，q=6，是符合 p+q=8 这个约束条件的，但很明显这个方程组是无法解得 x，y 的正实数解的。即 p+q=8 并没有保留原始约束条件的全部信息，我们需要再加上其他的约束条件：故：上述条件即保留了完整约束信息，满足上述条件的 p，q 实数对，必然能联立解出 x，y 的正实数解。将 q=8-p 代入②式：解关于 p 的二次不等式且 p>0，解得 p=x+2y≥4，即 x+2y 的最小值为 4，当 x=2，y=1 时等号成立。3二次分式值域上述两种方法，可以解决高考中均值不等式的大部分问题。除此之外，还有一些问题可能间接的用到均值不等式，比如二次分式值域问题。例4：求二次分式的值域类似的题目，常数分离都是首要思路之一法一：如果此时分子只有一次项，则可以上下同除以 x，利用均值不等式或者对钩函数性质求解。但上式还包含常数项，能否使用同样的思路呢？只需简单的换元即可：令：t=3x+2，则：x=t/3-2/3则：此时，可以根据均值不等式或对钩函数性质解得函数值域为 [ 5/7 , 3] 。（注意：最终的⑤式中，分子不可能等于0，即⑤式不可能等于2，这是因为上下同除以了t，但原函数中t=0，即 x=-2/3 时，y 可以等于2。）还有一种比较直观的通用解法，即判别式法。判别式法的基本思路是：如果y能取到某一个值，则必有一个实数x与这个y值相对应，即y的取值必须满足x有实数解。法二：解：原函数可化为：整理得：当 y=2 时，x=-2/3当 y≠2 时，关于x的二次方程：所以，综上可得函数值域为 [ 5/7 , 3]。对所有二次分式值域问题，都可考虑用判别式法求解，但要注意变形后二次项系数是否为零及二次分式分母为零等问题，至于最终的代数结论，形式过于复杂

均值不等式：a^2+b^2大于或等于2ab