数学几何直观策略研究论文

数学是研究数量关系和空间形式的科学。而数形结合的思想就是抓住了数学的本质数与形，把抽象的数与具体的形结合在一起，让数与形有机结合，从而培养学生几何直观的能力。比如在教学小数除以整数一课，如何让学生理解小数除以整数的算理，我们就采用了数形结合的策略。结合图示说算理。用11个小正方形表示11个1，用涂色部分表示.把平均分给5袋牛奶，每袋2元，还剩元。1元不能直接分，把元转化成15角，也就是15个，平均分给5袋牛奶，每袋3角，也就是3个元，2元和元就是元。当图形直观的呈现分不完有剩余的情况下，我们就把余下的数转化成计数单位更小的数进行计算。小学生正处在形象思维向抽象思维过渡的阶段。图示，把抽象的算理变得直观可见，学生一下子就明白小数除以整数的计算方法，理解了商的小数点为什么要和被除数的小数点对整齐。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言转化成直观的图形，让学生由形象思维慢慢过渡到抽象思维，帮助学生灵活的思维，开启智慧的大门。2、动手操作的策略；理解运算的意义往往要经历四个阶段：情境感知、动作表征、语言表征、符号表征。情境往往是教材提供给学生，或者是老师提供的，在感知的基础上，学生如何进一步理解情境，明白情境中蕴含的数量关系。在小学阶段，我们常用的手段就是动手操作。动手操作的目的，就是要建立概念的表象。而这一活动在人脑海中形成的表象和图形很相似，它都有具体的成像。从这里开始，几何直观逐步萌芽。比如加法，在学生的手中，就是把两部分合并，或者在一部分的基础上增加，或者从别的地方移入新的一部分。“合并”、 “增加”、“移入”在这里都不是抽象的概念，而是学生活生生的操作活动。学生理解概念，正是从这些简单的操作入手，慢慢内化成语言，最后归纳总结形成比较规范严密的定义。3、化静为动的策略。化静为动的策略在小学数学中有两种体现。一是让学生感受图形的变换，比如基本图形组合成组合图形，组合图形分解成基本图形。还有基本图形通过平移或者旋转变成新的图案。这里主要体现图形的运动。但是在小学数学课中，化静为动更多的体现是，把静止的数量关系转化为可见的图形。比如圆面积公式的推导。学生会计算平行四边形的面积，通过分割与拼组，把圆形转化成近似的平行四边形。通过动手操作，感知平行四边形的底就是圆周长的1\2,平行四边形的高是圆的半径。因为平行四边形的面积等于底乘高，所以圆的面积等于π 。化静为动，让学生经历了圆面积公式的形成过程.为学生的空间想象打基础，为直观洞察做铺垫，并且利用几何直观帮助学生理解了圆面积与圆半径之间的数量关系。在短时间内完成教学目标，提高课堂的成效。在课堂教学中，数形结合、动手操作、化静为动这三种培养几何直观的策略，往往配合使用，为培养学生的几何直观能力发挥作用。

几何直观的教学能够帮助学生对数量关系产生直接的理解，对降低学习难度、易于学生理解有着很大的作用。因此，在小学数学教学中渗透“几何直观”的教学策略是十分必要的，让学生通过想象几何图形的外在表示，将枯燥无味的数学公式转化成比较容易理解的几何图形，最终得出正确的结果，是锻炼学生数字和几何图形转换能力的有效方法，能够促进学生逻辑思维能力的不断发展。一、小学数学教学阶段的特征在小学学习阶段，学生的年龄一般都较小，他们对学习的态度有着明显的特征。小学生愿意学习有趣的知识，对趣味性强的学科和课堂表现出较大的热情。要让学生能够学好数学，首先就要提高数学的趣味性，让学生对数学知识产生兴趣，那么，他们就会转变为主动学习，提高学习积极性。另外，由于年龄较小，小学生的理解能力有限，太过专业的词汇和内容将超出学生的理解能力，让学生感到听不懂，长此以往会极大地损害学生的学习积极性。因此，在选择教学语言和教学方式时，教师要充分考虑到小学生的特点，符合学生的理解水平和认知水平，把大量的数学概念和公式尽量用通俗易懂的语言进行阐释，在此基础上进行归纳和总结，引出专业的术语，得出相关的数学结论。根据小学生的学习特征，数学教师要在教学过程中渗透“几何直观”的思想，笔者认为可以从以下方面入手。第一，教师应当善于利用数学教材，以教材为出发点；第二，引导和鼓励学生使用画图的方式进行思考，养成画图的习惯；第三，学会使用数学符号简化数学的表达，方便学生理解和思考。二、在小学数学中渗透“几何直观”的教学策略1.善于使用数形结合进行表达。数形结合思想是一个重要的数学思想方法。在帮助学生理解数学难点方面有着非常重要的作用，如果学生只是停留在简单模仿的层次，那么就说明学生并没有很好地掌握数形结合的思维方法，还需要教师进行深入的讲解和表达深化学生对数学概念的认识。例如在乘法分配率的教学中，把数字转换为图形的方法，通过直观的图形方便学生理解，然后再进行数学抽象，总结出相关的数学公式结论，这样一来，数形结合这一教学方法使用起来就十分便利。如果存在一个长方形的操场，其长度为200米，其宽度为80米。现在学校决定对这个操场进行扩建，把宽增加20米，而长不变，求扩建后操场的总面积。这样的题设就要求学生进行画图，画出操场扩建前的长和宽，以及扩建后的长和宽。学生在每一步进行运算时，能够进行充分分析，进而直观了解到乘法的运算意义，理解乘法结合律公式的直观表达。通过数字和图形的结合，让学生对乘法分配率的基本模型进行了深入理解，让学生清楚地知道公式的实际意义，就能够改变学生只会背公式而不理解公式内涵的现状，让学生真正理解数学知识的含义，对提高小学数学教学质量有着积极的作用。2.加强对学生画图的引导和鼓励。在小学数学教学阶段渗透“几何直观”的数学思想，不能仅仅只停留在教师的讲学上，而是要让“几何直观”的方法深入学生学习的过程，让学生学会通过画图运用数形结合的方法解决问题。作为小学数学教师，我们应该鼓励和引导学生通过画图的方式进行数学问题的思考和解决。例如在进行长度、面积、体积的概念教学时，笔者就是通过让学生自己动手，理解这三个相互联系的数学概念。这三个概念在语言表达上虽然各不相同，但是这三个概念有着内在的联系，通过画图就会让学生理解这些概念的联系和区别，这样的教学效果将比只依靠教师的讲授要好得多。通过图形，学生可以清晰地看到概念的区别，用不同的单位为依据进行探究。学生可以看到由点组成线，由线组成面、由面组成体的具体过程。这样有助于学生理解长度是由线段表示的，线段长度以10为倍率；面是由线段组合而成，用面积表示，其倍率就是线段乘以线段，为100；而体积是一个立体的图形，是由一个个面累积而成，因此以1000为倍率。3.重视引入数学符号，利用符号的转化简化数学。在小学数学教学过程中，将文本资料转化数学符号可以方便学生抓住数学问题的本质，把数学知识进行简化。事实上，把文本资料转化为数学符号的过程也就是把具体问题抽象为一般性问题的过程。教师在教学过程中应当重视引入数学符号，利用符号简化数学，渗透几何直观的思想。例如在学习“正比例”的内容时，教师可以帮助学生借助图像认识正比例变化的规律，强化属性符号的转化。首先，笔者先让学生将数据转换为图像，让比例图像进行一一对应，采用描点的方式画出点，并且与数据进行对照，数学每一个点对应的意义。然后，让学生根据图形对行使的路程和时间进行判断，让学生理解数学的实用价值。最终，把正比例的图像进一步抽象为正比例关系的公式，逐步达到教学目的。这样的引导教学，一方面锻炼了学生画图的能力，让学生对实际问题、图像和数学公式有了深刻的理解和认识。另一方面，有助于学生形成“画图―分析数量关系―列出数学表达式―代入数据进行计算”的数学解题模式。学生通过对直观图像与数学符号的关系转化，在简化了数学概念的同时，可以加深学生的理解，一举多得。三、结语在小学数学教学中渗透“几何直观”对于降低小学数学的难度作用十分显著，不失为一种简便、高效的教学手段。因此教师应当要善于挖掘教材资源，用丰富多彩的形式向学生展示数学世界。在渗透过程中，教师可以加强用数形结合的方式进行数学知识的表达，而后要在学生的解题思维中树立“几何直观”的思想，并鼓励学生使用几何直观的方式进行解题，提高学生的数学成绩，培养学生的逻辑思维，达到数学学习的目标。

何谓“几何”？弗赖登塔尔认为，所谓几何就是把握空间，而这个空间对儿童来说，就是他们生活和运动的空间。因此，“几何”又称为“空间几何”，从严格意义上讲，空间几何主要就是研究事物的空间形式或关系的一门学科。我们首先要弄清楚，作为小学数学课程的空间几何，与作为数学科学的空间几何是有区别的：1、作为数学科学的空间几何（1）是一个完整的知识体系（2）是一种论证几何，或称之为证明几何（3）是存在于严密的公理体系之中的2、作为小学数学课程的空间几何（1）是几何学中最基础的部分（2）是一种直观几何，或称之为经验几何、实验几何（3）是存在于不太严密的局部组织之中的明确了小学数学几何与数学课程几何的不同点之后，就要来研究究竟如何更加有效地进行小学数学的几何学习呢？下面分三个部分：一、 小学几何学习的基本分析这部分内容又分三个知识点：(一)、小学数学几何学习的基本内容：也就是我们所说的“空间与图形”，具体内容有：简单几何形体的认识、变换（包括平移、旋转和对称等）、位置、图形测量、简单图形的周长、面积与体积的计算、方向的认识以及平面坐标的初步体验等。(二)、小学数学几何学习的基本目标：（分两个方面表述）1、从活动的特征表述（1）能从实物的形状想像出几何图形，或由几何图形想像出实物的形状；（2）能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析出其中的基本元素及其关系；（3）能描述出实物或图形的运动和变化；（4）能采用适当的方式描述物体间的位置关系，或能运用图形形象地描述问题，并利用直观来进行思考。2、从内容的特征表述（1）使学生获得有关线、角、简单平面图形和立体图形的知觉映象（空间表象）（2）使学生能建立有关长度、面积或体积等的基本概念（3）能够对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计（4）能从较复杂的图形中辨别有各种特征的图形(三)、小学数学几何学习的基本特点：（两点）1、经验是儿童几何学习的起点儿童的几何学习与成人（或更高年级学生）不同，他们不是以几何的公理体系为起点的，而是以已有的经验为起点的。儿童在玩各种积木或玩具的过程中，在选择和使用各种生活用具的过程中，在接触到的各种自然现象中，甚至于他们在玩类似“过家家”的游戏中，逐渐感觉到了各种用具在几何方面的特点。2、操作是儿童构建空间表象的主要形式儿童的几何不是论证几何，更多的是属于直观几何，而直观几何就是一种经验几何或实验几何，因此，儿童获得几何知识并形成空间观念，更多的是依靠他们的动手操作。儿童在这个过程中，是通过不断地尝试搭建、选择分类、组合分解等活动来增加自己的体验，积累自己的经验，丰富自己的想像的。二、儿童形成空间观念的基本特征发展儿童的空间观念是小学数学几何学习的基本价值。所谓空间观念，就是指物体的形状、大小、位置、距离、方向等形象在人头脑中的映象，是空间知觉经过加工后所形成的表象。下面就结合实例从“思维发展”和“空间观念形成”两大方面具体谈谈“空间观念”。(一)儿童几何思维水平的发展：1、水平0阶段（前认知阶段） 1）直线和曲线（线能区分）（2）正方形和平行四边形（面不能区分）2、水平1阶段（直观化阶段）（1）四边形和三角形（能从边的数量上去区分）（2）正方形和菱形（不能从角的特征上去区分）（3）长方形和长方体（不能区分面和体）3、水平2阶段（描述/分析阶段）（1）长方形、四边形、三角形（不同分类方法代表不同水平）（2）长方形是特殊的平行四边形（对图形内在性质和特征不能区分）4、水平3阶段（抽象/关联阶段）（1）平行四边形剪拼成长方形（2）三角形拼成平行四边形（能通过动手操作将新知转化为旧知进行学习）（3）长方形与长方体（能区分面和体）(二)儿童空间观念形成与发展的基本特征（三点） 1、儿童空间想像力的发展所谓的空间想像能力，就是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。低年段儿童在学习空间图形时基本上是从认识“二维图形”开始的，但儿童积累的却是大量的“三维”的几何经验，他们在对“二维”图形的空间思考的过程中，往往就会依附相应的直观物体，比如让学生举例说说生活中有哪些物体的形状是长方形的？学生往往会举到诸如课桌之类的，很难抽象出桌面的形状才是长方形。甚至到了较高年级学习“圆的认识”时，还会受到直观物体“球”的干扰。2、儿童形成空间观念的主要心理特点（1）对直观的依赖较大“闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。如对三角形的性质理解可能会比对角的性质认识更容易；对周长的理解可能会比面积更容易。正如我们听到许多教师上《面积与面积单位》时，总是让学生通过自己的手的触摸来体验“面”的大小，并与周长作出对比，逐步获得对“面积”的理解。（2）用经验来思考和描述性质或概念无法运用精确语言来描述“圆”，对“圆上”、“圆内”或“圆外”等概念还只能建立在“圆圈上”、“圆的里面”和“圆的外面”等上面。（3）空间观念的形成依靠渐进的过程学龄前儿童已经认识三角形，但这只是对形状的初步感知，到了低年段，能用“三条边围起来”这样的直观特征来辨识图形。到稍高年段，才开始逐渐获得“三角形”性质方面的认识。（4）容易感知图形的外显性较强的因素对“角”的本质属性的认识，往往会集中在组成角的两条边的长短上，而忽视两条边的“张开”程度，也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边的“张开”程度，甚至我前几天在问学生如果拿一个放大镜看角时，角的大小怎样时，学生居然说角会变大。（5）对图形性质间的关系有一个逐渐理解的过程一年级时，学生只能辨认长方形、正方形、三角形、圆形的形状；二、三年级时，学生不仅能辨认长方形、正方形、梯形、平行四边形等平面图形，还能从这些图形的基本性质上分析，并对圆柱和球也有了初步的认识；到了四、五年级，能深入地分析图形的性质及关系；而到了六年级，学生则能较好地掌握立体图形的特征。可见学生对图形的掌握及空间观念的发展都是一个渐变的过程。（6）对图形的识别倚赖标准形式一位老师在上《三角形的认识》时，为了让学生更好地理解“高”的概念，她先从一个正放的三角形入手，让学生画高；接着她把这个三角形旋转一下，变成倒放的三角形了，问学生这还是不是三角形的高，学生就觉得它不是高了。可见学生对图形的识别还仅仅依赖于标准形式，一旦变成了“变式图形”，学生识别起来就比较困难了。（7）依据平面再造立体图形的空间想像能力是逐步形成的有的教师在学生初次学习“长方体”时，用三根“拉杆天线”，将它们的三个点按“长”、“宽”、“高”这三个维度焊接在一起。然后不断地通过拉动天线的三个方向的长度，让学生在头脑中再造相应的形体大小的形象，以此来发展儿童的空间想像能力。 3、儿童形成空间观念的主要知觉障碍1、空间识别障碍空间识别能力表现出的是空间的方位感，它无论是在日常的生活中，还是在空间几何的学习中，都是一个非常重要的能力。比如估计出要去的某个地方的大致方位，就如平时非常重要的方向感；估计出两个物体之间的大致距离等等，都涉及到空间识别能力。而这些能力在我们今后的生活中作用是非常大的。2、视觉知觉障碍比如让学生解决“教室粉刷墙壁和天花板，要粉刷多少面积”或是解决“游泳池铺瓷砖”等，其实都是关于长方体的表面积问题，由于学生看到教室是一个完整的长方体，他们就往往会忽略了有一个面不算在内的问题。三、小学几何教学的主要策略前面我在“几何学习的基本特点”中也已强调两点：经验是儿童几何学习的起点；操作是儿童构建空间表象的主要形式。针对这两大特点，在几何教学中应注意运用以下三点策略：(一)注重儿童的生活经验（1）利用操作体验来获得对象形状特征的认识比如《三角形的分类》可以给定学生一些不同形状的三角形，让学生按自己的理解去分类，而不同的分类就显示着他们对对象形体特征的表征。（2）利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质比如学习平行四边形和梯形时，是在学生学习了长方形、正方形之后的，学生自然会按分析长方形、正方形的方法，从边、角的方面去分析它们的特征。(二)观察对象的形体特征是基础（1）观察形体特征是获得对象性质的基础比如长方体中有一种特殊的是有两个面是正方形的，让学生凭空去想象其余四个面有什么关系是十分困难的，必须通过实物的观察，让学生明白它的宽和高相等，因此其余四个面是大小完全相等的，从而获得性质，得出结论。（2）注意运用变式如前面提到的认识三角形的高时，应多采用变式，以加深学生对“高”的概念的理解。又如，认识圆的半径、直径时，不必过于强调概念，而是要多一些变式的练习，以反例来加强学生对半径、直径的认识。(三)强化动手操作（1）搭建活动我在上《立体图形的整理和复习》时，让学生通过“搭一搭”帮助学生思考在立方体每个面都打一个直穿洞口的长方体，使学生较好地理解被挖掉的有7个小立方体。（2）剪拼与折叠活动比如《三角形的内角和》一课，可以让学生通过剪拼、折叠的方法得出三角形的内角和是180度。（3）实物操作活动在学习圆锥的体积公式时，必须让学生通过实物操作，发现等底等高的圆柱和圆锥之间的关系，从而得出圆锥体积计算公式。（4）测量活动《三角形的内角和》一课，学生最初提出的验证三角形内角和是否为180度的方法都是量一量的方法，这个测量活动也是很有必要的，只有引发认知冲突，才会更深入地解决“误差”的问题，更好地引出剪拼、折叠的方法。（5）作图活动四、丰富的想像和有效的交流发展儿童的空间想像能力是小学几何学习的重要任务，而丰富的想像是发展学生空间想像力的有效方式，空间想像力不仅包括对方位、立体图形的想像，还应该包括对平面表示的三维图形的透视能力，以及对图形的再造、组合或分解能力。（这让我想到一种三维图）有效交流也是促进学生几何语言发展的有效手段。我的思考：鉴于以上收获，引发了我的思考。给孩子留一片想像的时空直观演示，该出手时才出手！孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”只有在学生先独立思考、展开想像的基础上，在学生空间想像能力无法达到某个高度时，才去演示和启发，才能更好地培养学生的空间观念，这不正是我们小学数学几何教学所应追求的目标吗？但愿我今天的粗浅看法能给大家带来一些思考！