（接上文曲面积分）
正如最早提到的， 格林公式 描述了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的（第二类）曲线积分之间的关系。形式如下， 除了书上的证明方法以外，在此记录另一种理解思路（非严格证明）。 我们知道，右侧的曲线积分是可以跟 做功 相关联的。而左侧的二重积分是可以跟 面积 相关联的（ ）。但是做功和面积好像并不怎么相关联，和做功相关联的是长度（位移）。 因此，我们想到用面积来表示长度（位移），试试效果。
如上图，假设有力 ，我们想求力 绕闭区域 逆时针一圈所作的功，即 。 我们将这个大区域用平行于坐标轴的直线网分解为矩形小区域以及一些沿边界的非矩形区域。容易知，力 沿这些所有小区域逆时针一周 所做功的和 便是所求的功（中间用于划分区域的直线，都会求方向相反的两次功，相互抵消，最后只有沿边界的不为0）。我们取其中一块矩形区域来研究。 先研究水平方向做功 和 。我们令小区域的长宽 ， ，用 表示面积。 ， 在 之间（积分中值公式）。又因为 ，我们让 ， 相等。又因为 ，由偏导数的定义知 所以根据二重积分的定义，所有小区域x方向上做功的总和为 类似的，我们也可以得到另一部分的关系，在此就不再说明。（由于本人学识有限，数学推论很是不严谨，以上推理论证都仅供参考。仅为了简单说明一下将 做功 ， 面积 ， 偏导 ， 二重积分 联系在一起的一种理解方式。） 最后，正是因为以上原因，在用二重积分（与面积关联）求做功时会有偏导（使得面积变为长度）出现。x方向做功会有y出现，y方向做功会有x出现。又因为求x方向做功时，下方轨迹的位移方向（曲线积分方向）为正向，但y值小；上方轨迹的位移方向（曲线积分方向）为逆向，但y值大。使得求x方向做功时，偏导数需要加负号。对应的求y方向做功时，右侧的位移方向（曲线积分方向）为正向，同时x的值大；左侧轨迹的位移方向（曲线积分方向）为逆向，同时x的值小。使得求y方向做功时，偏导数不需要加负号。
（本来还想记录一点关于斯托克斯公式，高斯公式，散度，旋度的内容。但是发现自己一是好像没有什么新的奇怪的理解方式，二是基础太差了，这部分就暂告一段落。学习学习有新想法或者自己基础更扎实了再回来补一补。）
土豆泥nice
