插值法研究论文

1 中国古代数学的发展 在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。 与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。 线性方程组与“方程术” 中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组： 3x+2y+z＝39 2x+3y+z＝34 x+2y+3z＝26 《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x�y�z的系数和常数项排列成一个(长)方阵： 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。 高次多项式方程与“正负开方术” 《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术”。 用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程 f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1) 其中a0≠0，an<0,要求(1)式的一个正根。秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x＝c+h，代入(1)得 f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0 按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程: f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2) 于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字。如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。 如果从原方程(1)的系数a0,a1，…,an及估值c求出新方程(2)的系数a0,a1，…,an的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”， 他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。 多元高次方程组与“四元术” 绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。 多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。朱世杰的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。 通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。 一次同余方程组与“中国剩余定理” 中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如： X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1) (其中ai 是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名的“孙子问题”： X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7) 《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理”。 插值法与“招差术” 插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色。在中国，早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，727年)。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密。随着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时历》，1280年)。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术”。 朱世杰的公式相当于 f(n)=n△+ n(n�1)△2+ n(n�1)(n�2)△3 + n(n�1)(n�2)(n�3)△4+…… 这是一项很突出的成就。 这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W. 霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E. 别朱等人的著作中出现；解一次同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致)。这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如对秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构。这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用。事实上，古代中国算法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维在数学进化中的创造意义和动力功能。以下亦举几例。 负数的引进 《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术”。 对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的著作还回避负数。 无理数的发现 中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。 十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。 贾宪三角或杨辉三角 从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我们可以看到，中国古代开方术是以�c+hn的二项展开为基础的，这就引导了二项系数表的发现。南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项系数表。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部著作。“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角”。二项系数表在西方则叫“帕斯卡三角”�1654年。 走向符号代数 解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考。在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前列。在宋元时期的数学著作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力。这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，首先是“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹算盘上布列“天元式”，即一元方程式。该方法被推广到多个未知数情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术”。因此，用天元术和四元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似。 符号化是近世代数的标志之一。中国宋元数学家在这方面迈出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程的算法为主线的中国古代数学的一个高峰�。 2 中国古代数学对世界数学发展的贡献 数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。 从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果�6�。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。 现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题： 任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。 因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程： 演绎传统——定理证明活动 算法传统——算法创造活动 中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。 我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”�一种长方锥体体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献�3�。 3 古为今用，创新发展 到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。 计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，著名的计算机科学家就呼吁人们关注古代中国和印度的算法�5�。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如著名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。 然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。 研究科学的历史，其重要意义之一就是从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论的创立，正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴，呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。

地层面的拟合是多源地质建模中最为重要的步骤。无论是通过Delaunay细分方法增加节点还是通过网格分级增加的节点，都需要进一步求取其高程值。因此，必须借助插值方法来对有限的数据点信息所形成的初始地层面进行精确、光滑处理。插值是指在根据已知的数据计算未知值的过程，结果是形成一个连续分布的数据场(Spragueetal.，2005)。目前存在的插值方法众多，但适合三维数据场表达的插值方法还是比较有限的(胡小红等，2007)，常用的有距离加权反比法(Inverse-Distance Weighting，IDW)和普通Kriging法，其中距离加权反比法属于一种确定性差值方法，Lu et al.(2008)对该方法进行扩展，根据样本的数量和分布密度特征，使其能够根据样本的特征来确定其参数的取值；而Kriging法属于一种不确定性差值方法，Jessell(2001)对其进行了深入研究，基于该方法提出一种势场(potential-field)的插值方法，能够处理存在断层的不连续数据场。这里，仅对这两种方法进行讨论。

距离加权反比法

距离反比加权法是最常用的地质数据插值方法之一。它首先由气象学家及地质学工作者提出，后由进行改进，故该方法被称为Shepard方法。

距离反比加权法的基本思想是将插值函数f(P)定义为各数据点函数fk的加权平均，它认为与待插值点距离最近的若干个已知采样点对待插值点的值贡献最大，其贡献与距离的某次幂成反比。

距离反比加权法的基本原理可用下式表示：

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式中：f(P)是待插值点P的估计值；fi是第i(i=1，…，n)个已知采样点Pi的样本值；di是第i个样本点Pi与待插值点P的广义距离；v是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。相关研究结果表明，幂越高，内插结果越具有平滑的效果(Lu et al.，2008)。在幂指数为2时，不仅能得出较满意的内插结果，而且具有容易计算的优点。在实际应用中，一般用距离平方反比法来求待估算值。

传统的距离反比加权法是非常简单和自然的，但应用于实际的地质特征插值时，却存在以下明显的缺陷：

(1)当数据点的数目非常庞大时，f(P)的计算量将变得十分巨大，计算量的庞大甚至可能导致该方法变得无法实现。

(2)该方法只考虑了从Pi到P的距离，而没有考虑其方向。事实上，只考虑距离的大小是不充分的，有的已知离散点虽然距离待插值点较近，但它对待插值点的影响可能会被其他点屏蔽掉。

(3)在已知采样点Pi的邻域内，由于di≈0计算的误差将变得非常敏感，尤其是当两个项形式占优而又符号相反时，计算的误差更是如此。

因此，在实际应用时，必须对传统的距离反比加权法加以改进。考虑到地质特征数据的空间相关性，对距离反比加权法可附加地质体结构和影响距离两个限制条件，以提高空间几何或属性数据插值的合理性和精度。具体改进如下：

(1)地质体几何结构限制条件。在空间特征插值过程中，在选择影响待估计值的原始样本数据时只选取同一地层岩性地质内的样本；不是同一地层岩性地质体内的样本，即便距离很近，也不采用。即按照地质构造划分空间单元，并只在同一地层岩性地质体内选取样本点。

(2)邻近样本点的选择条件。选择待插值点的邻近点时，可考虑三个原则：一是距离原则，即根据地质属性数据的特征给出一距离r，在该距离之外的样本点对待插值点的估算无影响；二是点数原则，即给定一数据m，以距离待插值点最近m个样本点进行估算；三是利用Voronoi图求取待插值点的邻近点。

(3)建立数据点索引表，提高待插值点周围样本点的搜索效率，从而大大减少大数据量队的计算量。

普通Kriging插值方法

设研究区域为A，区域化变量(即欲研究的物理属性变量)为 {Z(x)∈A}，x表示空间位置。Z(x)在采样点xi(i=1，2，…，n)处的属性值(或称为区域化变量的一次实现)为Z(xi)(i=1，2，…，n)，则根据普通Kriging插值原理，未采样点x0处的属性值Z(x0)估计值是n个已知采样点属性值的加权和，即：

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其中，λi(i=1，2，…，n)为待求权系数。

假设区域化变量Z(x)在整个研究区域内满足二阶平稳假设：

(1)Z(x)的数学期望存在且等于常数：E[Z(x)]=m(常数)。

(2)Z(x)的协方差Cov(xi，xj)存在且只与两点之间的相对位置有关。或满足本征假设：

(3)E[Z(xi)-Z(xj)]=0。

(4)增量的方差存在且平稳：Var[Z(xi)-Z(xj)]=E[Z(xi)-Z(xj)]2。

依据无偏性要求：E[Z*(x0)]=E[Z(x0)]。

推导可得： 。

在无偏条件下使估计方差达到最小，即：

min{ Var[Z*(x0)-2μ( (λi-1))}，其中μ为拉格朗日乘子。

可求得求解权系数λii(=1，2，…，n)的方程组：

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求出诸权系数λii(=1，2，…，n)后，就可以求出采样点x0处的属性值Z*(x0)。

上述求解权系数λii(=1，2，…，n)的方程组中协方差Cov(xi，xj)若用变异函数γ(xi，xj)表示时，形式为：

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变异函数的定义为：

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由Kringing插值所得到的方差为：

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或

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插值法中的变异函数

变异函数是Kringing插值法插值的基础。插值中需要首先确定所研究的区域化变量的变异函数。假设研究的区域为A，区域A中有一区域化变量Z(x)，它在位置xi(i=1，2，…，N)上的一次采样为Z(xi)(i=1，2，…，N)，则Z(x)的变异函数的定义为：

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一个空间变量的空间变异性是指这个变量在空间中如何随着位置的不同而变化的性质。变异函数通过其自身的结构及其各项参数从不同的角度反映空间变异性，确定变异函数的过程就是一个对空间变异性进行结构分析的过程。

设h是一个模为r=|h|，方向为a的向量，如果存在着被向量h所隔开的Nh对观测数据点，则在a方向上相应于向量h的实验变异函数γ*(h)可表示为如下形式：

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其中，z(xi+h)和z(xi)分别位于点xi+h和xi(i=1，2，…，Nh)上的观测数据。

B.变异函数理论模型

当获取实验变异函数值后，需要先选择变异函数理论模型，然后对所选择的变异函数理论模型进行参数拟合，这一过程被称为“结构分析”。

变异函数理论模型参数一般包括：变程(range，一般用a表示)、基台(sill，一般用C(0)表示)、拱高(一般用C表示)、块金常数(Nugget，一般用C0表示)，如图所示。

图 理论变差函数

变程a表示了从空间相关性状态(|h|＜a)向不存在相关性状态(|h|＞a)转变的分界线；变异函数在原点处的间断性称为块金效应，相应的常数C0= (h)称为块金常数；基台C(0)具有协方差函数：C(h)=C(0)-γ(h)的二阶平稳区域化变量Z(x)的先验方差：Var{Z(x)}=C(0)=γ(h)；拱高C为变异函数中基台C(0)与块金常数C0之差：C=C(0)-C0。

C.变异函数理论模型分类

变异函数理论模型一般分为有基台值和无基台值两大类。有基台值的变异函数理论模型包括球状模型、指数模型、高斯模型等(图)。最常用的是球状模型。球状模型公式为：

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图 变异函数中的球状模型、指数模型、高斯模型

D.变异函数对空间变异性结构的反映

变异函数作为定量描述空间变异性的一种统计学工具，通过其自身的结构及其各项参数，从不同角度反映了空间变异性结构。利用变异函数可以对空间变量的连续性、相关性、变量的影响范围、尺度效应、原点处的间断性、各向异性等要素进行描述。

E.变异函数理论模型参数拟合

变异函数理论模型参数拟合就是利用原始采样点数据或实验变异函数取值对所选定的理论模型参数以特定的方法进行估计。拟合方法一般采用手工拟合法。

手工拟合就是依据实验变异函数的取值，一方面通过观察实验变异函数图；另一方面对所研究的区域化变量进行必要的分析，采用肉眼观察来确定变异函数模型参数，并对参数反复进行交叉验证，最终确定模型参数。其拟合的大致过程如下：

(1)首先对所研究的区域化变量进行必要的结构、背景等方面的分析，结合专家经验，确定变异函数理论模型。

(2)利用实验变异函数散点图确定变异函数参数中的块金常数、基台值、变程、各向异性角度以及各向异性比值。

(3)交叉验证。

有关插值法的论文题目

1 中国古代数学的发展 在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。 与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。 线性方程组与“方程术” 中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组： 3x+2y+z＝39 2x+3y+z＝34 x+2y+3z＝26 《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x�y�z的系数和常数项排列成一个(长)方阵： 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。 高次多项式方程与“正负开方术” 《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术”。 用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程 f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1) 其中a0≠0，an<0,要求(1)式的一个正根。秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x＝c+h，代入(1)得 f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0 按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程: f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2) 于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字。如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。 如果从原方程(1)的系数a0,a1，…,an及估值c求出新方程(2)的系数a0,a1，…,an的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”， 他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。 多元高次方程组与“四元术” 绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。 多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。朱世杰的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。 通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。 一次同余方程组与“中国剩余定理” 中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如： X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1) (其中ai 是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名的“孙子问题”： X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7) 《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理”。 插值法与“招差术” 插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色。在中国，早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，727年)。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密。随着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时历》，1280年)。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术”。 朱世杰的公式相当于 f(n)=n△+ n(n�1)△2+ n(n�1)(n�2)△3 + n(n�1)(n�2)(n�3)△4+…… 这是一项很突出的成就。 这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W. 霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E. 别朱等人的著作中出现；解一次同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致)。这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如对秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构。这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用。事实上，古代中国算法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维在数学进化中的创造意义和动力功能。以下亦举几例。 负数的引进 《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术”。 对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的著作还回避负数。 无理数的发现 中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。 十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。 贾宪三角或杨辉三角 从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我们可以看到，中国古代开方术是以�c+hn的二项展开为基础的，这就引导了二项系数表的发现。南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项系数表。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部著作。“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角”。二项系数表在西方则叫“帕斯卡三角”�1654年。 走向符号代数 解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考。在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前列。在宋元时期的数学著作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力。这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，首先是“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹算盘上布列“天元式”，即一元方程式。该方法被推广到多个未知数情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术”。因此，用天元术和四元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似。 符号化是近世代数的标志之一。中国宋元数学家在这方面迈出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程的算法为主线的中国古代数学的一个高峰�。 2 中国古代数学对世界数学发展的贡献 数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。 从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果�6�。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。 现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题： 任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。 因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程： 演绎传统——定理证明活动 算法传统——算法创造活动 中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。 我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”�一种长方锥体体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献�3�。 3 古为今用，创新发展 到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。 计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，著名的计算机科学家就呼吁人们关注古代中国和印度的算法�5�。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如著名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。 然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。 研究科学的历史，其重要意义之一就是从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论的创立，正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴，呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。

GIS空间插值方法如下：

1、IDW

IDW是一种常用而简便的空间插值方法，它以插值点与样本点间的距离为权重进行加权平均，离插值点越近的样本点赋予的权重越大。 设平面上分布一系列离散点，已知其坐标和值为Xi，Yi, Zi （i =1，2，…，n）通过距离加权值求z点值。

IDW通过对邻近区域的每个采样点值平均运算获得内插单元。这一方法要求离散点均匀分布，并且密度程度足以满足在分析中反映局部表面变化。

2、克里金插值

克里金法（Kriging）是依据协方差函数对随机过程/随机场进行空间建模和预测（插值）的回归算法。

在特定的随机过程，例如固有平稳过程中，克里金法能够给出最优线性无偏估计（Best Linear Unbiased Prediction, BLUP），因此在地统计学中也被称为空间最优无偏估计器（spatial BLUP）。

对克里金法的研究可以追溯至二十世纪60年代，其算法原型被称为普通克里金（Ordinary Kriging, OK），常见的改进算法包括泛克里金（Universal Kriging, UK）、协同克里金（Co-Kriging, CK）和析取克里金（Disjunctive Kriging, DK）；克里金法能够与其它模型组成混合算法。

3、Natural Neighbour法

原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。首先将所有的空间点构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形，这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。个人感觉这种空间插值方法没有实际的意义来支持。

4、样条函数插值spline

在数学学科数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

5、Topo to Raster

这种方法是用于各种矢量数据的，特别是可以处理等高线数据。

6、Trend

根据已知x序列的值和y序列的值，构造线性回归直线方程，然后根据构造好的直线方程，计算x值序列对应的y值序列。TREND函数和FORECAST函数计算的结果一样，但是计算过程完全不同。

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国有资产保值增值方法研究论文

主要从二方面进行探讨就是：一、政府宏观促进，就是政府给支持；二、企业微观做，就是企业在具体实施。1. 政府宏观促进思想上“保值增值”政府在思想上重视、观念上转变是保障企业的国有资产保值增值的根本因素，是内因。认清和适应企业的国有资产改革、发展的新形势和新要求，理清思路，抓住企业的国有资产保值增值、完善和巩固企业的国有资产基础地位、壮大社会主义公有制经济这一主要矛盾，才能保持头脑清醒，看清方向，做到提纲挚领，有的放矢。政府应全方位提高社会维护和保护国有资产的意识和责任感，让全社会都认识到国有资产是社会主义制度的基础和保障，与党、国家和广大干部群众的利益休戚相关，消除各种不利于国有资产保值的消极心理，形成健全的防范意识。法律完善随着社会经济的不断发展，更需要一个全面的、完善的、细化的法制的约束，而我国现在的法律不是没有建，是建得不完善，要与时并进。因此要做好以下几个方面：完善国有资产监管的法规体系。建立、健全、落实国有资产经营责任的相关制度。强化监督制约，增强责任意识。（1）健全国有企业经营者激励与制约机制；强化投资决策监督制约，坚持民主集中制，即要通过民主基础上的集中和集中指导下的民主的方式，来对某一投资决策项目进行广泛深入的调查、分析、论证、只有这样，才能使投资决策真正做到科学、合理，从而避免投资失误。（2）建立与完善国有资本的监督体系，是提升资本运营水平、实现企业国有资产保值增值的重要保证。随着国家与地方国资委的相继建立，国有资本监管主体缺位的问题已经解决，但是依法完善监管体系、加强监管的法制建设，推进现代企业制度建设仍然面临严重的挑战。建立和健全企业监督约束机制。根据现行的法律、法规，结合企业的实际情况，制定可量化的、可操作的企业监督约束机制，做到每年检查一次。财政部门要搞好企业年度决算检查，要评出优劣，分清责任，对损失巨大构成犯罪的，要追究刑事责任。强化政府对中介市场的监管，实现国有资产的准确评估。政府加强国有资产评估工作，资产管理部门应该严把资产评估关，明确界分非经营性资产与经营性资产，确保资产评估工作客观、公正、公平、合理。建立国有经营责任制，理顺国有资产管理体系建立一个国有资产经营责任目标的确定方法体系。确立阶段目标，运用具体经营责任目标的确定方法体系，采用具体指标实行逐步考核的办法。建立科学的、可量度的国有资产经营责任指标体系，由企业的产品成本、产品质量、产品销售收入和实现利税等主要内容组成。建立一个确定国有资产经营责任制指标体系的规范化工作程序，在认真进行清产核资、摸清家底的基础上，确定目标，并由企业主管部门与企业签订国有资产经营目标责任书，并报同级财政、国有资产管理等部门。建立一个完善的人才管理机制。企业经营的成败、事业的兴衰，关键在于人，选拔优秀的企业领导人，组建好的领导班子，是搞好企业的关键。建立一个严格、合理的国有资产经营目标考核及奖惩方法体系。落实国有资产保值增值责任，建立有效的激励和约束机制，对责任人进行严格、科学的考核，从而规范企业的经营行为。根据经济目标责任书中的各项指标，进行目标分解，使项目部的每个管理人员都承担相应的指标，并与奖罚挂钩。2. 企业微观做强化民主监督。强化企业民主监督机制，充分发挥职代会的作用，职代会要把资产保值与增值列入重要的议事内容，并通过选举产生监事会与资产管理委员会的代表，参与企业重大决策与监督活动，以便强化对企业经营活动的民主监督，确保国有资产保值增值。明晰产权关系。建立健全企业内部产权制度，对国有资产进行登记、记录，实行国有资产增加、减少的报批制度。企业应对其占用的国有资产进行登记，同时，审查国有资产的保值增值情况。改革分配制度。企业的利润分配，要按照国家规定的利润分配方法、程度进行，要保证国家的利益不受侵犯。对于股份制企业，不能以各种借口，对国家股不配股或少配股，不分利或少分利。财务指标考核体系。建立有关国有资产保值增值的财务指标考核体系，财务指标包括经济增加值、国有资本保值增值率、净资产收益率等。指标的考核采取企业自查、重点抽查与年终审计相结合的办法。主管部门与企业经营负责人签订经营业绩责任书。企业要将考核指标完成情况的自查结果及时报送国有资产管理部门审定。重点抽查由国有资产管理部门委托社会中介机构进行，根据年度考核与任期考核结果，兑现奖惩。财务人员的培训工作。加强财务人员的培训工作，使他们熟练掌握与本职工作相关的政策法规，不断更新知识，在日常工作中，能直接有效地对国有资产进行监督，是保证国有资产安全完整而不受侵犯的第一道防线。

1、 强化国有资产监督管理无规矩不成方圆，强化监督管理才能确保国有资产保值增值。一、完善国有资产监督制度，依法规范管理。认真贯彻执行国有资产管理的有关文件精神及政策，切实采取有效措施，建立和完善规章制度，做到依法规范管理，使企业从思想上重视国有资产管理，掌握国有资产管理的有关政策。二、建立资产管理信息系统，实现资产管理信息化。为防止资产清查的前清后乱，尽快建立国有资产动态管理系统，使国资部门及主管部门能及时、全面的掌握国有资产的总体情况，以利于资产管理的透明化和资源共享。三、加强基础建设，落实责任，确保国有资产安全完整。完善资产管理制度和监督制度，通过内部制约机制和外部制约机制相结合，使每一个环节都有章可循，发挥制度建设的保障作用。明确法定代表人为国有资产管理的第一责任人，并由主办会计、实物保管员等组成国有资产管理队伍。加强国有资产产权占有登记，使企业的产权权属更趋于明晰，明确管理目标。要建立起由出租、承租双方共担专门用于固定资产方面的维修基金。四、坚持国有资产管理体制改革，处理好国有资产管理、监督和营运的关系。建立并完善国有企业出资人制度、明确分工、各负其责；明晰产权，认真履行产权界定和登记制度；深化中央和地方各级相关职能部门的改革，建立新型高效的国有资产国家管理体制；加强出资人财务监督，努力完善财务预算和决算管理制度。2、 理顺产权关系，明确产权责任管好国有资产，最关键的一个问题是明晰产权关系，使国有财产有人管，管得住。对此，要坚定不移地按照国家所有、分级管理、分工监督、委托营运的原则，去做好这项政策性很强、难度很大的工作。具体地说，就是国务院代表国家统一行使对企业财产的所有权，各级国有资产管理局受国务院委托，经营管理各地的国有资产。国有企业作为国有资产营运的最基本单位，应按照《公司法》的规定，建立企业法人财产制度，企业依法独立支配国家授予其经营管理的财产。在此情况下，企业要建立资产经营责任制，强化对国有资产保值增值的激励和约束机制。已实行承包经营的企业，应当将企业财产保值增值指标纳人承包指标体系，在厂长(经理)任期满后要依法对此进行审计，以确保国有资产的保值增值。在界定产权关系的工作中，要按照国有资产管理局下发的《产权界定和产权纠纷处理办法》明确产权归属，以维护国有资产所有者权益，防止国有资产流失。3、完善会计操作规则和监督制度首先要明确会计委派职责。委派会计要严格执行会计法规、制度，及时、全面、准确组织会计核算，如实反映企业经营和盈亏情况，积极参与企业经营管理，当好“四员”：一、核算员，为经营者服务，及时、准确、真实反映各单位的财务状况和经营成果，履行好核算职责；二、监督员，认真落实主管部门有关监管工作的要求，监督所在单位国有资产运营情况责；三、服务员，参与企业经营管理工作，协调落实信贷资金等有关财务政策，当好企业的参谋，树立服务意识，提高服务水平；四、信息员，发挥桥梁作用，加强与企业、银行、税务等部门的沟通联系，做好上情下达、下情上报。然后要实行会计人员的回避制度和定期轮换制度。对委派者和经营者有亲属关系或经济利益关系的，必须实行委派回避制。为了避免会计人员在一个部门定期工作产生利益关系，影响其正常履行职责，根据监管要求和企业经营业务量的大小，对委派会计进行定期交叉轮岗。其次充分发挥内审作用，实行事后监督，专设委派审计岗位，每月对所有经营企业进行经济业务的审核和复查，做到发现问题及时指出，限期整改，尽可能将各种管理漏洞和失误消灭在萌芽状态，把企业的经营风险和损失降低到最低，形成会计和审计的双重监管监督机制。最后按照新会计准则要求，制定资产管理制度，保证国有固定资产及流动资产的获取、耗费、维护、处置等会计记录符合国家新会计制度的规定。4、强化国家对中介市场的监管，实现国有资产的准确评估政府加强国有资产评估工作，应当遵循未来收益原则、贡献原则、市场原则、替代原则、外在性原则。资产管理部门应该严把资产评估关，更新资产评估管理体制，对不同所有制主体之间的联营要严格审查，确保各投资主体的出资价客观、公正、公平、合理。明确界分非经营性资产与经营性资产。引入“市场禁入制度”，加强对中介机构的管理。各级资产评估管理部门应严格加强对资产评估中介组织的监督管理，尤其是对评估机构的执业能力，执业道德等方面的审查。对于实施违法行为的资产评估人员，限制其在一定期间内不得从事相关资产评估业务，情节严重的，终身不得从事资产评估业务。5、 加强对国有资产的监督和检查一、加强对各类报表的日常检查。通过对报表指标的分析，检查企业经营状况，考核其经营业绩，综合评价国有资产的运营状况。应重点分析国有资产保值增值率及国有资产收益率等指标的变化是否正常，发现问题及时组织重点或者专项检查。二、开展定期检查。重点对国有企业资产产权登记、产权界定、运营质量以及收益分配等方面进行检查，以确保国有资产安全完整。三、必须切实加强对国有企业对外捐赠的监督管理，尤其要把国有企业与私营企业、合伙企业之间的经济往来作为检查监督的重点，对不正当的捐赠行为一经查出，应严肃追究单位。6、引入EVA 分析指标经济附加值(EVA)的理论，渊源出自于诺贝尔奖经济学家默顿·米勒(Merton Miller，1990 年获奖)和弗兰科·莫迪利亚尼(Franco Modigliani，1985 年获奖)1958 年至1961 年关于公司价值的经济模型的一系列论文。传统的财务指标没有考虑股权资本成本，会计账面利润其实并不体现真正的利润，仅仅是“会计利润”。而EVA 考虑了投入资本成本，是企业净经营利润减去所投入的所有资本成本(包括债务融资成本和权益资本成本)后的差额。EVA 的总成本被分为两个部分，即显性机会成本(会计系统中的全部经营成本)与隐性机会成本(全部资本的机会成本，也是企业的投资者所预期的最低回报率)。可以说EVA 实际反映的是企业一定时期的经济利润，是企业财富真正增长之所在。将 EVA指标引入国有资产管理工作有重要作用。管理学之父，彼得·德鲁克(PeterDrucker)在哈佛商业期刊中一篇文章中这样提到，经济增加值是衡量全员劳动生产率的一个重要标准，它反映了管理人员能够创造和提高价值的所有方面。所以在国有企业单位尝试着建立和完善基于经济增加值指标EVA 的国有企业单位管理模式，对于引导和约束国有企业单位的经营者和高级管理者，降低企业成本和提高企业经济运行效率，保证国有资产的保值增值等方面是具有以下几方面的作用和意义的。首先，有助于全面衡量国有企业单位生产要素利用效率，充分考虑国有资本成本；其次，有助于国有企业单位经营者明晰对所有者的责任，达到国有资产的保值增值；再次，有助于国有企业单位实行更加客观的业绩评价、有效的激励政策和分配机制。7、国有资产证券化模式运作国有资产证券化是近几年提出的概念，具体操作过程还相对不成熟，处在探索阶段。国有资产证券化既是对国有资产的进一步优化配置，又能在不增加国有企业负债或资产的前提下实现融资计划，提高国有企业综合实力，改善国有企业财务困境，确保国有资产保值增值。我国国有企业的困境在很大程度上在于存量资产的僵化，资产证券化最大的功能就在于提高资产的流动性，使缺乏流动性的资产组合起来变现和出售，并且应收账款、闲置资产等都可以作为证券化的对象，从而实现国有资产保值增值，这对于多方参与者都有好处。顺利实施国有资产保值增值证券化运作的策略包括：政府的政策和制度性支持；证券化的税务减免；建立中央优先权益登记系统；建立发达的金融体系等。

以下主要从二方面进行探讨就是：一、政府宏观促进，就是政府给支持；二、企业微观做，就是企业在具体实施。1. 政府宏观促进思想上“保值增值”政府在思想上重视、观念上转变是保障企业的国有资产保值增值的根本因素，是内因。认清和适应企业的国有资产改革、发展的新形势和新要求，理清思路，抓住企业的国有资产保值增值、完善和巩固企业的国有资产基础地位、壮大社会主义公有制经济这一主要矛盾，才能保持头脑清醒，看清方向，做到提纲挚领，有的放矢。思想指引着行动，一切工作最后的结果如何，都要看政府官员对工作的认识的深度和广度，以及认识是否符合客观工作实际。切实抓好做好企业的国有资产保值增值工作，把该项工作当作政府的工作重点来抓。只有思想认识到位，并付之以具体有效的行动，促使企业的国有资产实现保值、增值。政府应全方位提高社会维护和保护国有资产的意识和责任感，让全社会都认识到国有资产是社会主义制度的基础和保障，与党、国家和广大干部群众的利益休戚相关，消除各种不利于国有资产保值的消极心理，形成健全的防范意识。法律完善随着社会经济的不断发展，更需要一个全面的、完善的、细化的法制的约束，而我国现在的法律不是没有建，是建得不完善，要与时并进。因此要做好以下几个方面：完善国有资产监管的法规体系。建立、健全、落实国有资产经营责任的相关制度。要建立、健全重大决策失误责任追究制度，规范重大决策责任的追究程序、办法；要把企业负责人的经营业绩考核与薪酬制度改革更好地结合起来；认真做好国有资产基础管理工作。要按照全国统一的清产核资政策和资产损失认定的标准，规范开展清产核资工作。要加强资产与财务管理的制度建设，防止产生新的不良资产；进一步加强国有资产的监管。强化监督制约，增强责任意识。（1）健全国有企业经营者激励与制约机制；强化投资决策监督制约，坚持民主集中制，即要通过民主基础上的集中和集中指导下的民主的方式，来对某一投资决策项目进行广泛深入的调查、分析、论证、只有这样，才能使投资决策真正做到科学、合理，从而避免投资失误。（2）建立与完善国有资本的监督体系，是提升资本运营水平、实现企业国有资产保值增值的重要保证。随着国家与地方国资委的相继建立，国有资本监管主体缺位的问题已经解决，但是依法完善监管体系、加强监管的法制建设，推进现代企业制度建设仍然面临严重的挑战。在牢牢把握依法履行出资人职责定位这个根本，促进国企改革由政府主导向出资人主导转变的前提下，维护企业作为市场主体享有的各项权利，充分尊重企业的经营自主权和法人的财产权，按照市场化原则配置企业各项资源，促进企业的发展。建立和健全企业监督约束机制。根据现行的法律、法规，结合企业的实际情况，制定可量化的、可操作的企业监督约束机制，做到每年检查一次。财政部门要搞好企业年度决算检查，要评出优劣，分清责任，对损失巨大构成犯罪的，要追究刑事责任。强化政府对中介市场的监管，实现国有资产的准确评估。政府加强国有资产评估工作，资产管理部门应该严把资产评估关，明确界分非经营性资产与经营性资产，确保资产评估工作客观、公正、公平、合理。建立国有经营责任制，理顺国有资产管理体系建立一个国有资产经营责任目标的确定方法体系。确立阶段目标，运用具体经营责任目标的确定方法体系，采用具体指标实行逐步考核的办法。建立科学的、可量度的国有资产经营责任指标体系，由企业的产品成本、产品质量、产品销售收入和实现利税等主要内容组成。建立一个确定国有资产经营责任制指标体系的规范化工作程序，在认真进行清产核资、摸清家底的基础上，确定目标，并由企业主管部门与企业签订国有资产经营目标责任书，并报同级财政、国有资产管理等部门。建立一个完善的人才管理机制。企业经营的成败、事业的兴衰，关键在于人，选拔优秀的企业领导人，组建好的领导班子，是搞好企业的关键。建立一个严格、合理的国有资产经营目标考核及奖惩方法体系。落实国有资产保值增值责任，建立有效的激励和约束机制，对责任人进行严格、科学的考核，从而规范企业的经营行为。根据经济目标责任书中的各项指标，进行目标分解，使项目部的每个管理人员都承担相应的指标，并与奖罚挂钩。2. 企业微观做强化民主监督。强化企业民主监督机制，充分发挥职代会的作用，职代会要把资产保值与增值列入重要的议事内容，并通过选举产生监事会与资产管理委员会的代表，参与企业重大决策与监督活动，以便强化对企业经营活动的民主监督，确保国有资产保值增值。明晰产权关系。建立健全企业内部产权制度，对国有资产进行登记、记录，实行国有资产增加、减少的报批制度。企业应对其占用的国有资产进行登记，同时，审查国有资产的保值增值情况。改革分配制度。企业的利润分配，要按照国家规定的利润分配方法、程度进行，要保证国家的利益不受侵犯。对于股份制企业，不能以各种借口，对国家股不配股或少配股，不分利或少分利。财务指标考核体系。建立有关国有资产保值增值的财务指标考核体系，财务指标包括经济增加值、国有资本保值增值率、净资产收益率等。指标的考核采取企业自查、重点抽查与年终审计相结合的办法。主管部门与企业经营负责人签订经营业绩责任书。企业要将考核指标完成情况的自查结果及时报送国有资产管理部门审定。重点抽查由国有资产管理部门委托社会中介机构进行，根据年度考核与任期考核结果，兑现奖惩。财务人员的培训工作。加强财务人员的培训工作，使他们熟练掌握与本职工作相关的政策法规，不断更新知识，在日常工作中，能直接有效地对国有资产进行监督，是保证国有资产安全完整而不受侵犯的第一道防线。企业的国有资产保值增值是一项系统的工程，探索更多国有资产监管与经营的有效途径是国有企业日常经营管理工作的重点，特别是从传统企业经营管理向现代企业管理制度转变过程中，任务更为复杂艰巨。今后，国有资产监督管理部门应当加强对国有资产的监督检查，由指定部门或人员进行，保证国有资产的安全，提高国有资产的运营效益，促进国有资产的保值增值。

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最值问题的方法研究论文

教学过程： 一、复习引入：上一节课，我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、粮食、人口等等增长问题常被用到.这一节，我们学习有关物理问题的数学模型二、新授内容：例1（课本第86页 例2）设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000 m高空的大气压为Pa，求：600 m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）解：将 x = 0 , y =；x = 1000 , y =，代入 得： 将 (1) 代入 (2) 得： 计算得： ∴ 将 x = 600 代入, 得： 计算得：＝×105(Pa)答：在600 m高空的大气压约为×105Pa.说明：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到,,……, 共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从,,……, 推出的a=________.(1994年全国高考试题)分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+…+(a-) 最小由于y=na-2(++…+)a+(++…+)若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.当a= (++…+)，y有最小值.所以a= (++…+)即为所求.说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-)+(a-)+…+(a-)，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，λ是正的常数.（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当N=时，t的值.解：（1）由于＞0,λ＞0，函数N=是属于指数函数y=类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少（2）将N=写成=根据对数的定义有-λt=ln所以t=- (lnN-ln)= (ln-lnN) (3)把N=代入t= (ln-lnN)得t= (ln-ln)= (ln-ln+ln2)= ln2.三、练习：1．如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式 ⑵求此函数的最值解：⑴过P作PD^AB于D，连PB 设AD=a则 ∴ ⑵当时 当时2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t过D作DE^BC于E DE=BDsin60°=10t BE=BDcos60°=10t∴EC=BC+BE=100-5t CD==∴t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近3．一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为,在300N拉力作用下长度为，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？解：设拉力是 x N (0≤x≤600) 时，弹簧的长度为 y m 设：y = k x + b 由题设： ∴所求函数关系是：y = x + ∴当 x = 0时，y = , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 m四、小结：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.五、课后作业：要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600m如果某段铁路两端相距156m，弧所对的圆心角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围分析：以弓形的高x为自变量，半径R为孙函数，求出R关于x的函数关系式 解：如图，设圆弧的半径OA=OB=Rm,圆弧弓形的高CD=xm,在RtΔBOD中，DB=78，OD=R-x则∴依题意 R≥600 即 ≥600 ∴≥0 解得 ≤ 或 ≥(不合题意) 答：圆弧弓形的高的允许值范围是（0，）. 六、板书设计（略）

最值问题是初中数学的重要内容，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。一次函数的最值问题一、 典型例题：1（2010陕西）某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：销售方式 批发 零售 冷库储藏后销售售价（元／吨） 若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元）蒜薹x（吨），且零售是批发量的1/3