函数的幂级数展开是数学分析中的一个重要研究方向。该领域的主要研究内容包括:幂级数的存在性、收敛半径、收敛域、解析性、奇点等等。在实数域中,幂级数存在性的问题由魏尔斯特拉斯定理得到解决。对于复数域中的幂级数,收敛半径和收敛域的研究成为主要问题,经典的研究结果包括柯西-阿达玛公式和定理,以及魏尔斯特拉斯定理在复数域中的推广结果。对于解析函数,幂级数展开是一个非常重要的性质。柯西定理和柯西-黎曼方程的研究使得对于大部分解析函数都能进行幂级数展开,并且幂级数展开是解析函数的唯一表示。同时,该领域的研究成果也涉及到了奇点的性质、泰勒级数、洛朗级数、亚纯函数、黎曼面等等。目前,幂级数展开的研究已经应用于许多领域,如微积分、微分方程、数论、物理学等等。此外,幂级数展开在计算机科学中也有广泛的应用,如在数值计算、计算机图形学、计算机辅助设计等领域中都有应用