与兔子国奇遇有关论文参考文献

1.（一）兔科兔科（Leporidae）在地史上出现较早。最早的化石，发现于我国河南卢氏，距今约46 Ma的中始新世地层中，称为卢氏兔（Lushieagus）。内蒙古的沙漠兔（Shanolagus）和北美的麦通兔（Mytonolagus）等发现于晚始新世，距今约40 Ma。他们都属于古兔亚科（Palaeolaginae）。这时的亚洲与北美之间是通过白令海峡相连的。之后，兔科在北美蓬勃发展，有古兔、巨兔、始兔、次兔等。再后有10 Ma多的空白，到30 Ma前，出现了现生的棉尾兔。我国和卢氏兔同时代的还有壮兔、沙漠兔。在渐新世时，中国华北还发现有戈壁兔（Gobiolagus）和链兔（Desmatolagus）等。渐新世后期，由古兔类又进化衍生出始兔亚料（Archaeolaginae），主要分布在北美，至中新世晚期才进入欧亚。中国上新世地层中发现的短脚次兔（Hypolagus brachypus）即属始兔亚科。现生的兔属（Lepus）种类，在中国上新世时有联合翼兔（Alilepus annectens），更新世时有翁氏兔（Lepus wongi）。到第四纪我国仅有野兔一属，如著名的周口店古人类遗址发现的大量兔化石与现生华北的野兔为同种，我国至今无穴兔化石发现。欧洲的兔科化石出现很晚，到六七百万年前才在东欧有翼兔发现，以后又发现次兔、三裂齿兔、穴兔等。据考证研究，家兔是由地中海沿岸的野生穴兔驯化而成，然后由欧洲引入中国的。（二）鼠兔科鼠兔科（Ochotonidae）在地史上出现略迟，最早的鼠兔化石发现于渐新世晚期（约23 Ma）。欧洲第三纪中期鼠兔化石较多，如两栖兔（Amphilagus）、雷兔（Titanomys）等。中国渐新世时有中华兔（Sinolagomys），中中新世（约13 Ma）时，内蒙古生活着两类鼠兔—戈壁跳兔（Alloptox gobiensis）和弗氏跑兔（Bellatona forsythrnajori）。后者可能是鼠兔（Ochotona）类的祖先类型。鼠兔属最早出现于晚中新世（约8 Ma）。这一时期，中国有西藏吉隆鼠兔（Ochotona guizhongenensis）和华北的拉氏鼠兔（Ochotona lagrelii）化石。鼠兔的现生种，有柯氏鼠兔（Ochotona koslowi）和达乌尔鼠兔（Ochotona dauurica）等。在中更新世时，华北还有一种大型复齿鼠兔（Ochotona complicidens）。 由以上简述可以看出，兔形类基本是在北方大陆生活的小动物。亚洲发现的时代最早，占据着兔形类起源、演化的关键位置。北美的兔科、鼠兔科化石都很丰富，是研究兔形类进化的重要证据。2.乐府《古艳歌》：“茕茕（孤独无依貌）白兔，东走西顾。衣不如新，人不如故。”这首诗的前两句即以动物起兴，兴中兼含比喻。写弃妇被迫出走，犹如孤苦的白兔，往东去却又往西顾，虽走而仍恋故人。后两句是规劝故人应当念旧。还有<木兰辞>里 "雄兔脚扑朔,雌兔眼迷离;双免傍地走,安能辨我是雄雌?"31 白兔赤乌 月亮和太阳的代称。多借指时间。 2 东兔西乌 兔、乌：古代神话传说中说，月亮里有玉兔，太阳里有三足金乌，所以用乌、兔代表日月。月亮东升，太阳西... 3 动如脱兔 比喻行动敏捷。 4 东门逐兔 用以作为为官遭祸，抽身悔迟之典。同“东门黄犬”。 5 待兔守株 比喻墨守成规不知变通或妄想不劳而获，坐享其成。同“守株待兔” 6 得兔忘蹄 犹言得鱼忘荃。蹄，兔罝。 7 龟毛兔角 乌龟身上生毛，兔子头上长角。比喻不可能存在或有名无实的东西。 8 获兔烹狗 比喻事成之后排斥以至杀害有功之臣。亦作“狡兔死，良狗烹”。 9 狐兔之悲 狐死则兔悲，兔死则狐亦悲。比喻因同类的死亡而感到痛心悲伤。 10 狐死兔泣 比喻因同类的死亡而感到悲伤。 11 见兔放鹰 看到野兔，立即放出猎鹰追捕。比喻行动及时，适合需要。 12 见兔顾犬 看到了兔子，再回头叫唤猎狗去追捕。比喻动作虽稍迟，但赶紧想办法，还来得及。 13 狡兔死，良犬烹 比喻给统治者效劳的人事成后被抛弃或杀掉。同“狡兔死，良狗烹”。 14 狡兔三窟 狡猾的兔子准备好几个藏身的窝。比喻隐蔽的地方或方法多。 15 静若处子，动若脱兔 指军队未行动时就像未出嫁的女子那样沉静，一行动就像逃脱的兔子那样敏捷。 16 静如处女，动如脱兔 处女：未嫁的女子；脱兔：逃跑的兔子。指军队未行动时象未出嫁的姑娘那样持重；一行动就象飞跑的兔子那... 17 兔死狗烹 烹：烧煮。兔子死了，猎狗就被人烹食。比喻给统治者效劳的人事成后被抛弃或杀掉。 18 狡兔三穴 比喻隐蔽的地方或方法多。同“狡兔三窟”。 19 惊猿脱兔 如受惊的猿猴、脱逃的兔子。形容迅速奔逃。 20 狼奔兔脱 形容仓皇逃窜。 21 目兔顾犬 看见兔子而呼猎犬。比喻及时补救。 22 犬兔俱毙 比喻双方同归于尽。 23 守如处女，出如脱兔 处女：未嫁的女子；脱兔：逃跑的兔子。指军队未行动时象未出嫁的姑娘那样持重；一行动就象飞跑的兔子那... 24 狮子搏兔，亦用全力 比喻对小事情也拿出全部力量认真对付。同“狮象搏兔，皆用全力”。 25 守株待兔 株：露出地面的树根。原比喻希图不经过努力而得到成功的侥幸心理。现也比喻死守狭隘经验，不知变通。 26 狮象搏兔，皆用全力 比喻对小事情也拿出全部力量认真对付。 27 势若脱兔 势：攻势。脱：脱逃。对敌人攻击的速度极快，就像脱逃的兔子奔跑那样。 28 兔起乌沉 指月出日落。 29 兔走乌飞 乌：古代传说日中有三足乌，故称太阳为金乌；兔：古代传说中月中有玉兔，故称月亮为玉兔。形容光阴迅速... 30 兔死凫举 象兔敢奔跑，象野鸭急飞。比喻行动迅速。 31 兔起鹘落 鹘：打猎用的鹰一类的猛禽。兔子刚跳起来，鹘就飞扑下去。比喻动作敏捷。也比喻绘画或写文章迅捷流畅。... 32 兔走鹘落 比喻动作敏捷。也比喻绘画或写文章迅捷流畅。见“兔起鹘落”。 33 兔起凫举 凫：野鸭。象兔敢奔跑，象野鸭急飞。比喻行动迅速。 34 兔死犬饥 比喻敌人灭亡后，功臣不受重用。 35 兔丝燕麦 兔丝：菟丝子。菟丝不是丝，燕麦不是麦。比喻有名无实。 36 兔缺乌沉 犹兔走乌飞。形容光阴迅速流逝。 37 兔死狐悲 兔子死了，狐狸感到悲伤。比喻因同类的死亡而感到悲伤。 38 兔头麞脑 形容人面貌猥琐。多形容坏人。 39 兔葵燕麦 形容景象荒凉。 40 兔角牛翼 兔不生角，牛不长翼，故以之比喻不合情理之事。 41 兔角龟毛 兔生角，龟长毛。都是没有的事。比喻有名无实。 42 乌飞兔走 乌：古代传说日中有三足乌，故称太阳为金乌；兔：古代传说中月中有玉兔，故称月亮为玉兔。形容光阴迅速... 43 乌踆兔走 指日月运行。兔，传说中的月中玉兔。借指月亮。 44 一雕双兔 指三人并列显位，一人势盛而两人受其挟制。 45 兔死狐悲：比喻因同类的失败或死亡而感到悲伤。 46 狡兔三窟：比喻隐蔽的地方或方法多。4.1、兔在十二生肖中，排行第四。与十二地支配属“卯”，故一天十二时辰中之“卯”时－－－清晨五时至七时，又称“兔时”。 兔在十二生肖中，排行第四。与十二地支配属“卯”，故一天十二时辰中之“卯”时－－－清晨五时至七时，又称“兔时”。说起兔子当生肖，民间倒是有一段有趣的“兔牛赛跑”的传说呢。相传兔子和黄牛是邻居，他俩相处得好，互称兄弟。黄牛以勤劳苦干度日，兔子靠机灵能干为生，日子都过得不错。有一天，善于长跑的兔子在黄牛面炫耀道：“我是动物世界中的长跑冠军，谁也跑不过我！”黄牛虚心求教教长跑的绝招，兔子却骄傲地摇摇头说：“长跑冠军得靠先天的素质，学是学不会的。再说，长跑得身轻体便，你这粗壮的身子，恐怕是永远跑不快的。”黄牛的心给兔子说得凉了半截，可心里不服气。从此，黄牛开始练长跑，凭着一股坚韧不拔的牛劲，黄牛终于练成一双“铁脚”。尾巴一翘，四蹄如风，几天几夜也不知疲乏。到了玉皇大帝排生肖的日子，依照规则，谁先到就让谁当生肖。黄牛与兔子约定，鸡叫头遍就起来，直奔天宫争生肖。鸡叫头遍，黄牛起床时，兔子早就一个人跑了。兔子跑了好一阵子，回头一持，不见任何动物的影子。兔子心想，我今天起得最早，跑得又最快就是睡上一觉起来，这生肖的头名也是非我莫属。于是，它在草地上呼呼大睡起来。黄牛虽然落后了，但它任坚韧的耐力和平时练就的铁脚，一鼓作气，当兔子还在酣睡的时候，便先跑到了天宫。一阵急促的脚步声惊醒了兔子，睁眼一看，原来是老虎一阵风般地跑过去，这下兔子急了，赶紧追赶，可惜慢了一步，始终还是落在了老虎之后。由于牛的双角间还蹲了一只投机取巧的小老鼠，结果兔子只排到了第四位，前三名是鼠、牛、虎。兔子虽然当上了生肖，但终穷觉得脸上无光，输给了自己讽刺的老牛，回来以后，把家搬到了土洞中，现在的野兔也还是住在土洞中，不过，兔子是不会吸取教训的。不信，你今天再来一个“牛兔赛跑”或者“龟兔赛跑”，得冠军的肯定是兔子。清晨5－－7时（即“卯时”）这时，太阳还没露出脸面，月亮的光辉还未隐退完全，玉兔是月亮代称，是月宫神话中唯一的动物，这样卯时就同兔搭配。传说中月宫里有一只白色的玉兔，她就是嫦娥的化身。因嫦娥奔月后，触犯玉帝的旨意，于是将嫦娥变成玉兔，每到月圆时，就要在月宫里为天神捣药以示惩罚。 以下是各个问题的答案：1、兔是兔形目兔科动物，共9属43种，通称兔。分布于欧洲、亚洲、非洲、南北美洲。家兔和野兔身体结构上并没有什么差异，主要区别就在于初生时的状况。其中穴兔属中的穴兔已驯化成家兔。目前全世界家兔品种虽多，但都是由地中海地区的穴兔（欧洲兔）驯化而成的。2、《乐府诗集·木兰诗》——雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离；双兔傍地走，安能辨我是雄雌. 《古朗月行 》——小时不识月，呼①作白玉盘②。又疑③瑶台④镜，飞在青云端。仙人垂两足， 桂树何团团。白兔捣药成， 问言与谁餐？ ···3、兔死狐悲、兔死狗烹、守株待兔、守如处女，出如脱兔、兔子不吃窝边草、势若脱兔、狐兔 之悲、白兔赤乌、兔走乌飞、东兔西乌、犬兔之争、东门逐兔、得兔忘蹄4、《龟兔赛跑》，十二生肖的故事、《小白兔和大灰狼》 十二生肖的故事：相传兔子和黄牛是邻居，他俩相处得好，互称兄弟。黄牛以勤劳苦干度日，兔子靠机灵能干为生，日子都过得不错。 有一天，善于长跑的兔子在黄牛面炫耀道：“我是动物世界中的长跑冠军，谁也跑不过我！”黄牛虚心求教教长跑的绝招，兔子却骄傲地摇摇头说：“长跑冠军得靠先天的素质，学是学不会的。再说，长跑得身轻体便，你这粗壮的身子，恐怕是永远跑不快的。” 黄牛的心给兔子说得凉了半截，可心里不服气。从此，黄牛开始练长跑，凭着一股坚韧不拔的牛劲，黄牛终于练成一双“铁脚”。尾巴一翘，四蹄如风，几天几夜也不知疲乏。 到了玉皇大帝排生肖的日子，依照规则，谁先到就让谁当生肖。黄牛与兔子约定，鸡叫头遍就起来，直奔天宫争生肖。 鸡叫头遍，黄牛起床时，兔子早就一个人跑了。兔子跑了好一阵子，回头一看，不见任何动物的影子。兔子心想，我今天起得最早，跑得又最快就是睡上一觉起来，这生肖的头名也是非我莫属。于是，它在草地上呼呼大睡起来。 黄牛虽然落后了，但它凭着坚韧的耐力和平时练就的铁脚，一鼓作气，当兔子还在酣睡的时候，便先跑到了天宫。 一阵急促的脚步声惊醒了兔子，睁眼一看，原来是老虎一阵风般地跑过去，这下兔子急了，赶紧追赶，可惜慢了一步，始终还是落在了老虎之后。由于牛的双角间还蹲了一只投机取巧的小老鼠，结果兔子只排到了第四位，前三名是鼠、牛、虎、 兔子虽然当上了生肖，但终穷觉得脸上无光，输给了自己讽刺的老牛，回来以后，把家搬到了土洞中，现在的野兔也还是住在土洞中，不过，兔子是会吸取教训的。不信，你今天再来一个“牛兔赛跑”或者“龟兔赛跑”，得冠军的肯定是兔子。 清晨5－－7时（即“卯时”）这时，太阳还没露出脸面，月亮的光辉还未隐退完全，玉兔是月亮代称，是月宫神话中唯一的动物，这样卯时就同兔搭配。 希望对你有所帮助！

白兔赤乌 东门逐兔 动如脱兔 待兔守株 得兔忘蹄 东兔西乌 龟毛兔角 狐死兔泣 获兔烹狗 狐兔之悲 静如处女，动如脱兔 静若处子，动若脱兔 见兔放鹰 见兔顾犬 狡兔死，良狗烹 狡兔三窟 狡兔死，良犬烹 狡兔三穴 惊猿脱兔 狼奔兔脱 目兔顾犬 犬兔俱毙 势若脱兔 守如处女，出如脱兔 狮象搏兔，皆用全力 狮子搏兔，亦用全力 守株待兔 兔角龟毛 兔角牛翼 兔葵燕麦 兔起凫举 兔起鹘落 兔起乌沉 兔缺乌沉 兔死凫举 兔死狗烹 兔死狐悲 兔死犬饥 兔丝燕麦 兔头麞脑 兔走鹘落 兔走乌飞 乌踆兔走 乌飞兔走 一雕双兔

以下是各个问题的答案：1、兔是兔形目兔科动物，共9属43种，通称兔。分布于欧洲、亚洲、非洲、南北美洲。家兔和野兔身体结构上并没有什么差异，主要区别就在于初生时的状况。其中穴兔属中的穴兔已驯化成家兔。目前全世界家兔品种虽多，但都是由地中海地区的穴兔（欧洲兔）驯化而成的。2、《乐府诗集·木兰诗》——雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离；双兔傍地走，安能辨我是雄雌. 《古朗月行 》——小时不识月，呼①作白玉盘②。又疑③瑶台④镜，飞在青云端。仙人垂两足， 桂树何团团。白兔捣药成， 问言与谁餐？ ···3、兔死狐悲、兔死狗烹、守株待兔、守如处女，出如脱兔、兔子不吃窝边草、势若脱兔、狐兔 之悲、白兔赤乌、兔走乌飞、东兔西乌、犬兔之争、东门逐兔、得兔忘蹄4、《龟兔赛跑》，十二生肖的故事、《小白兔和大灰狼》 十二生肖的故事：相传兔子和黄牛是邻居，他俩相处得好，互称兄弟。黄牛以勤劳苦干度日，兔子靠机灵能干为生，日子都过得不错。 有一天，善于长跑的兔子在黄牛面炫耀道：“我是动物世界中的长跑冠军，谁也跑不过我！”黄牛虚心求教教长跑的绝招，兔子却骄傲地摇摇头说：“长跑冠军得靠先天的素质，学是学不会的。再说，长跑得身轻体便，你这粗壮的身子，恐怕是永远跑不快的。” 黄牛的心给兔子说得凉了半截，可心里不服气。从此，黄牛开始练长跑，凭着一股坚韧不拔的牛劲，黄牛终于练成一双“铁脚”。尾巴一翘，四蹄如风，几天几夜也不知疲乏。 到了玉皇大帝排生肖的日子，依照规则，谁先到就让谁当生肖。黄牛与兔子约定，鸡叫头遍就起来，直奔天宫争生肖。 鸡叫头遍，黄牛起床时，兔子早就一个人跑了。兔子跑了好一阵子，回头一看，不见任何动物的影子。兔子心想，我今天起得最早，跑得又最快就是睡上一觉起来，这生肖的头名也是非我莫属。于是，它在草地上呼呼大睡起来。 黄牛虽然落后了，但它凭着坚韧的耐力和平时练就的铁脚，一鼓作气，当兔子还在酣睡的时候，便先跑到了天宫。 一阵急促的脚步声惊醒了兔子，睁眼一看，原来是老虎一阵风般地跑过去，这下兔子急了，赶紧追赶，可惜慢了一步，始终还是落在了老虎之后。由于牛的双角间还蹲了一只投机取巧的小老鼠，结果兔子只排到了第四位，前三名是鼠、牛、虎、 兔子虽然当上了生肖，但终穷觉得脸上无光，输给了自己讽刺的老牛，回来以后，把家搬到了土洞中，现在的野兔也还是住在土洞中，不过，兔子是会吸取教训的。不信，你今天再来一个“牛兔赛跑”或者“龟兔赛跑”，得冠军的肯定是兔子。 清晨5－－7时（即“卯时”）这时，太阳还没露出脸面，月亮的光辉还未隐退完全，玉兔是月亮代称，是月宫神话中唯一的动物，这样卯时就同兔搭配。 希望对你有所帮助！

鸡兔同笼 问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。下面我给你分享数学广角鸡兔同笼论文，欢迎阅读。

教学目标：1.使学生了解“鸡兔同笼”问题，掌握用尝试法、假设法替换法解决问题，初步形成解决此类问题一般性策略。

2.通过自主探索、合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，在解决问题的过程中，培养学生的思维能力。

3.使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。

教学重点：用假设法解决“鸡兔同笼”问题。

教学具准备：电脑课件

一、问题引入，分配任务。(每人发一个信封，里面装有题卡和学具)

“有五元和二元两种面额的人民币一共10张，总计32元。两种人民币各有几张?”

二、合作探究，展现拔高。(抽一生上台一一替换，老师记录)

1.启发演示：/让学生先假设这10张全是二元的。于是动手拿出10张二元的(一共二十元，显然不合要求)//然后再一一替换，抽出1张二元的，换上1张五元的，就多了3元，变成了20+3=23元，///再抽出1张二元的，换上1张五元的，就又多了3元，变成了23+3=26////再抽出1张二元的，换上1张五元的，就又多了3元，变成了26+3=29/////再抽出1张二元的，换上1张五元的，就又多了3元，变成了29+3=32。

2.方法探究：32-20=12元，少12元正好换了4次，说明五元的有4张。5元换2元一张多了3元，12/3=4。换4张才能把少的12元换回。

同样方法演示全是5元的，再拿二元去替换也可以。

3.抽象算法(形成策略)：

(32-2×10)/(5-2)=4张五元或(5×10-32)/(5-2)=6张二元。

三、类化巩固(自主练习)。

①出示问题2。“有五元和二元两种面额的人民币一共100张，总计365元，两种人民币各有几张?”

先由学生小组讨论，在抽生上台展示算法：

假设100张全是五元的，则一共有5×100=500元，多出了500-365=135元，拿多少个2元去换呢?一张2元换5元就少5-2=3元，135/3=45张2元。则5元有100-45=55张。

同样，假设100张全是二元的，则一共有2×100=200元，少了365-200=165元，拿多少个5元去换呢?一张5元换2元就多5-2=3元，165/3=55张5元。则2元有100-55=45张。

②自己出题，交换答案.

展示学生甲出的题：42人去划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租有的大船和小船各有几只?

展示学生乙的分析过程：(提示：假设10条都租小船。10*3=30人，42-30=12人没坐上，则用大船替换，一只大船换一只小船就多5-3=2人，12/2=6只大船刚好换完。小船为：10-6=4只)或(5×10-42=8，8/(5-3)=4只小船)

四、归纳提高：

解决问题的策略：①制定解题计划，假设与替换(同时满足两个条件，假设满足了第一个条件入手) ②猜想与尝试.(在想的基础上去试一试)③反推.(验证假设是否正确).

五、知识拓展。

其实我们刚才研究的这类题，早在古代，就有很多的数学家也做了研究，你瞧。幻灯出示。

“鸡兔同笼问题”是我国古算术《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何?”

六、 解决生活问题(达标测试)：

1.必作题： ①我班派12名同学植树，男同学每人栽了3棵数，女同学每人载了两棵数，一共栽了32棵树，问男女同学各几人?(学生独立完成，教师巡视指导)指名板演。

②小明买了6角和8角的邮票共花5元，分别买了多少张?

2.选作题：

①有5元和2元的人民币100张，总计290元，各有几张2元，5元的?

②2个大盒，5个小盒装球100个，每个大盒比小盒多装8个，问大盒和小盒各装几个?

反思

《基础教育课程改革纲要(试行)》明确要求：教师在教学过程中应与学生积极互动，共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。

首先，我由问题引入，采用的是独学的方式让学生独立思考，在启发演示中抽一生上台一一替换，其余学生拿出信封里的演示币来换，再让学生小组讨论：在这个过程中什么没变，什么变了?(张数没变，钱多少变了).这一过程体现了小组学习合作探究的学习方式。实践证明：学生学得轻松，学得明白，也体现了高效课堂的途径--核心：自主、合作、探究。

在探究过程中我让学生当小老师，自己出题，交换答案，这样提高了学生的学习兴趣，让学生主动发展，满足不同需要。

在布置作业环节，我采取必作和选作，旨在使每个学生都能得到提高，体现了因材施教的教学原则.同时题的设计紧密结合实际，让学生学会在生活中解决问题，能解决生活中的数学问题，让数学不再孤立，不再陌生。

本堂课我力求做到了三动：身动、心动、神动.

随着教学形式的发展，打造高效课堂，教给学生正确的学习方法已势在必行。“授人以鱼不如授人以渔”，我认为应从以下几个方面来培养学生，打造高效课堂： 1.培养好的学习习惯。2.掌握高效学习方法：①预习。采用有效的预习方法。边预习边作好笔记，动笔练一练，做一做。重要的数学概念公式，不懂的作上记号，以便记忆和探讨。在老师讲解的时候认真听。②有效的复习。孔子曰：“学而时习之，不亦乐乎?”及时复习。分步记忆法：学习后的半天，一天，三天，七天，半月后，分步进行。阶段系统复习――从时间上有周复习，期中复习，期习等。可以先回忆再看书，先看题后做题，先复习后笔记。③学习中要举一反三。不要满足于也有答案，数学题，可用分步，就能用综合，用了方程，看算术是否更简单。④学会梳理知识点。

在“鸡兔同笼”问题的教学中，教师通常会将我国古代《孙子算经》的简单介绍附加到教学过程中，意图在于体现数学的历史发展，向学生渗透数学历史中的文化因素。这种想法固然好，但这种“附加”式的介绍对于实现这样的目的很难有实质性的作用。为了变“附加”为“融入”，让数学史中的知识与文化更好地发挥育人功能，教师就需要对数学史的相关内容做较为广泛、深入的了解。

“鸡兔同笼”问题在我国古代可以说源远流长，从问题的叙述到问题的算法都经历了不同形式的变化，了解这些内容对于课程内容的编制和教学设计会有所裨益。

一、 《孙子算经》中的“雉兔同笼”

“鸡兔同笼”问题始见于公元3～4世纪的《孙子算经》，该书作者不详。从清代的《子部集成?科学技术?数理化学?孙子算经?孙子算经(宋刻本)?卷下》中看，“鸡兔同笼”问题的叙述为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”[1](见图1)

其中的“雉”是“野鸡”的意思，“几何”是“多少”的意思。用现在的语言可以把这个问题叙述为：“鸡和兔在同一个笼子中，总头数为35，总足数为94。问鸡和兔各有多少只?”《孙子算经》中对这个问题的解法分为如下的四个步骤：

第一步：上置三十五头，下置九十四足

我国古代是用算筹进行计算的，所谓“算筹”就是用于计算的小棒，是古人用于计算的一种工具。这里所说的“上置三十五头，下置九十四足”，就是把题目中的头数“35”和足数“94”用小棒分别摆在上面的位置(上位)和下面的位置(下位)。(见图2)

古人用算筹表示数时，摆放方式分纵式和横式两种。通常用纵向小棒摆放个位数字，横向小棒摆放十位数字，以后依次纵横交替摆放。比如“35”就摆放成如图3形式。

如果横向摆放的数大于5，就用纵向小棒代表5，比如图2中的“”就表示5+4=9。

第二步：半其足得四十七

意思是求出下位总足数94的一半等于47。图2就变成了图4的形式。

图4中“”上面的横向小棒表示“5”，下面两条纵向小棒表示“2”，因此“”表示5+2=7。

第三步：上三除下三，上五除下五

这里的“除”是“除去”或“减少”的意思，“上三除下三”就是“从下位四十七中除去与上位相同的三十”，“上五除下五”就是“从下位四十七中除去与上位相同的五”。(见图5)

用现在的语言说，就是从47中减去35为12，得到兔子的只数。这一过程在《孙子算经》的“术”中叫做“以少减多再命之”(见图1)，意思是以少减多之后，下位“总足数”的含义发生了改变，需要重新命名，也就是把“总足数”重新命名为“兔头数”。(见图5)

第四步：下有一除上一，下有二除上二即得

与前面类似，这句话的意思是用总只数35减去兔只数12就得到鸡的只数了。上位的“总头数”需要重新命名为“鸡头数”。(见图6)

以上算法的合理性并不难理解。总足数94取半成为47，此时相当于所有鸡都成为了金鸡独立的“独足鸡”，所有兔都站立起来成为了“双足兔”。此时每只鸡的头数和足数都是1，每只兔的头数是1，足数是2，所以用47减去总头数35就得到兔的只数是12。最后用总头数35减去12就得到鸡的只数。《孙子算经》中把这一算法概括为：“上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得。”不妨称此方法为“半足法”，右上的表格可以更加清晰地呈现这一过程。

二、 《算法统宗》中的“鸡兔同笼”

“鸡兔同笼”问题后来又收录于明代程大位(1533年～1606年)所著《算法统宗》第八卷的“少广章”。[2](见图7)

其中对问题的叙述把“雉”改为了“鸡”，因此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。《算法统宗》中对问题给出了两种算法，这两种算法与《孙子算经》中的算法是不一样的，相当于现在所说的“假设法”。第一种算法的过程为：

第一步：“置总头倍之得七十”，意思是将总头数35加倍，也就是乘2，得到70。

第二步：“与总足内减七十余二四”，也就是从总足数94中减去70得到24。

第三步：“折半得一十二是兔”，将24折半(也就是24除以2)，得到12，这就是兔的只数。

第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足数4乘12，得到兔的总足数48。

第五步：“总足减之余四十六足为鸡足”，用总足数94减去兔的总足数48得到46，就是鸡的总足数。

第六步：“折半得二十三”，将鸡的总足数46折半(46除以2)，就得到鸡的只数为23。

另外一个算法是先求鸡的只数，与前面先求兔只数的程序基本相同，这一算法可以用下面表格的形式呈现出来。

《算法统宗》中关于“鸡兔同笼”问题的两个算法，在书中概括为两句话：“倍头减足折半是兔”和“四头减足折半是鸡”(见图7)。第一句话的意思是把求兔只数的过程分为了倍头、减足和折半三个步骤，“倍头”就是把总头数35加倍变成70;“减足”是用总头数94减去70得到24;“减半”就是取24的一半得到兔子的只数为12。这个过程写成如今的算式就是：

(94-35×2)÷2=12(只)

第二句话的意思是把求鸡只数的过程分为了四头、减足和折半三个步骤，“四头”就是用4乘总头数35得到140;“减足”是用140减去总足数94得到46;与求兔只数的过程类似，“折半”就是取46的一半得到鸡的只数23。写成算式就是：

(35×4-94)÷2=23(只)

这样的过程显然与《孙子算经》中的“半足法”不同，半足法首先将总足数减半。这里的第一步是用每只鸡或兔的足数(2或4)去乘总头数，因此不妨把这个方法叫做“倍头法”。不难发现，“倍头法”背后的道理其实就是现在所说的“假设法”。

《算法统宗》中的鸡兔同笼问题出现于该书第八卷中，实际上在之前的第五卷中就已经出现了与“鸡兔同笼”问题数量关系类似的“米麦问题”：“今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘。问米麦各若干。”

【摘 要】中国传统数学名题是在时间长河里洗练出来的具有经典意义的数学问题,它具有自己的数学思想和背景文化。文章主要研究了中国传统数学名题―鸡兔同笼问题及其中渗透的数学思想,使大家在情感态度、思维能力与价值观等方面得以提升,增强数学文化素养。

【关键词】鸡兔同笼;解题思路;求解方法;数学思想

鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)。类似地，也可以假设全是兔子。

解：假设全是鸡：2×35=70(只) 比总脚数少的：94-70=24 (只) 它们腿的差：4-2=2(条) 24÷2=12 (只) ――兔35-12=23(只)――鸡

方程：

解：设兔有x只，则鸡有35-x只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=24 x=12 35-x=35-12=23

答：兔有12只，鸡有23只。

我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为X，鸡的数量为Y 那么：X+Y=35那么4X+2Y=94 这个算方程解出后得：兔子有12只，鸡有23只用假设法来解

对于这个问题，我们给出如下几种求解方法，并给出相应的公式;

解法1：(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数 总只数-鸡的只数=兔的只数

解法2：( 总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法3：总脚数÷2-总头数=兔的只数 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法4：兔的只数=总脚数÷2―总头数 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法5(方程)：X=( 总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)(X=兔的只数) 总只数-兔的只数=鸡的只数

解法6(方程)：X=：(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)(X=鸡的只数) 总只数-鸡的只数=兔的只数

解法7 鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数)÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数

解法8 兔总只数=(鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数)÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数

解法9 总腿数/2-总头数=兔只数 总只数-兔只数=鸡的只数

“鸡兔同笼”中的数学思想方法

一、化归思想

化归是基本而典型的数学思想。化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。我们常常用到的如化未知为已知、化难为易、化繁为简、化曲为直等都是这一思想方法的运用。“鸡兔同笼”原题中的数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，根据化繁为简的思想，先安排数据较小的问题，如“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有7个头，从下面数，有18只脚。鸡和兔各有几只?”(以下均以此题为例)待学生探索出解决此类问题的一般方法后，再应用于解决《孙子算经》中数据较大的原题，学生将易如反掌。“鸡兔同笼”问题在生活中有很多变式，比如“龟鹤问题”、“坐船问题”等，这些问题可以通过化归，归结为“鸡兔同笼”问题，再进一步求解，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛应用，体会“化归法”在解题中的魅力。

二、假设思想

假设是一种重要的数学思想方法。假设法是先假定一种情况或结果，然后通过推导、验证来解决问题的方法。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养学生灵活的解题技能，发展学生的逻辑推理能力。

用假设法解答上题有多种思路，可以先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设情况下总脚数之差，最后推理出鸡和兔的只数。比如假设7只都是鸡，那么兔有(18-7×2)÷(4-2)=2(只)，鸡有7-2=5(只)。运用假设法解题是教学的难点，教师可以先让学生用上述的“画图法”，学生会在直观操作活动中通过数形结合而建立思维的表象，再进一步抽象，这样有助于学生真正理解“假设法”，形成有序地、严密地思考问题的意识。教师也可以向学生介绍古人解决“鸡兔同笼”问题的“抬脚法”，其中也应用了“假设法”。

三、方程思想

方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言“翻译”成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。在“鸡兔同笼”的问题中，可以设鸡或兔中任意一种有X只，然后根据鸡、兔的只数与脚的总只数的关系列方程来解答。例如设兔有X只，则鸡有(7-X)只，可列方程：4X+2(7-X)=18，解得X=2，于是鸡有：7-2=5(只)。方程解法思路比较简单，且具有一般性，教学中要突出方程解法的优越性，不断渗透方程思想。

四、建模思想

弗赖登塔尔认为：学生与其学数学，不如学习数学化。在小学阶段，就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。在解决了“鸡兔同笼”问题后，可以引导学生观察、思考，概括提炼出解题模型：兔数=(实际的脚数-鸡兔总数×2)÷(4-2)，鸡数=(鸡兔总数×4-实际的脚数)÷(4-2)。之后在应用中引导学生巩固、扩展这个模型，把“鸡”与“兔”换成乌龟和仙鹤等，变式为“龟鹤问题”、“坐船问题”、“植树问题”、“答题问题”等问题，沟通这些问题与“鸡兔同笼”问题的联系，使“鸡兔同笼”成为这些问题的模型，并应用模型解决问题，不断促进模型的内化。教学中教师要重视学生建模思想的培养，使数学建模成为学生思考问题与解决问题的一种思想和方法。

以上是“鸡兔同笼”问题的各种解法中蕴含的主要的数学思想方法，从上述讨论中看出一种解法中可以蕴含不同的数学思想，而不同解法中可以蕴含同一种数学思想。

参考文献：

1.（一）兔科兔科（Leporidae）在地史上出现较早。最早的化石，发现于我国河南卢氏，距今约46 Ma的中始新世地层中，称为卢氏兔（Lushieagus）。内蒙古的沙漠兔（Shanolagus）和北美的麦通兔（Mytonolagus）等发现于晚始新世，距今约40 Ma。他们都属于古兔亚科（Palaeolaginae）。这时的亚洲与北美之间是通过白令海峡相连的。之后，兔科在北美蓬勃发展，有古兔、巨兔、始兔、次兔等。再后有10 Ma多的空白，到30 Ma前，出现了现生的棉尾兔。我国和卢氏兔同时代的还有壮兔、沙漠兔。在渐新世时，中国华北还发现有戈壁兔（Gobiolagus）和链兔（Desmatolagus）等。渐新世后期，由古兔类又进化衍生出始兔亚料（Archaeolaginae），主要分布在北美，至中新世晚期才进入欧亚。中国上新世地层中发现的短脚次兔（Hypolagus brachypus）即属始兔亚科。现生的兔属（Lepus）种类，在中国上新世时有联合翼兔（Alilepus annectens），更新世时有翁氏兔（Lepus wongi）。到第四纪我国仅有野兔一属，如著名的周口店古人类遗址发现的大量兔化石与现生华北的野兔为同种，我国至今无穴兔化石发现。欧洲的兔科化石出现很晚，到六七百万年前才在东欧有翼兔发现，以后又发现次兔、三裂齿兔、穴兔等。据考证研究，家兔是由地中海沿岸的野生穴兔驯化而成，然后由欧洲引入中国的。（二）鼠兔科鼠兔科（Ochotonidae）在地史上出现略迟，最早的鼠兔化石发现于渐新世晚期（约23 Ma）。欧洲第三纪中期鼠兔化石较多，如两栖兔（Amphilagus）、雷兔（Titanomys）等。中国渐新世时有中华兔（Sinolagomys），中中新世（约13 Ma）时，内蒙古生活着两类鼠兔—戈壁跳兔（Alloptox gobiensis）和弗氏跑兔（Bellatona forsythrnajori）。后者可能是鼠兔（Ochotona）类的祖先类型。鼠兔属最早出现于晚中新世（约8 Ma）。这一时期，中国有西藏吉隆鼠兔（Ochotona guizhongenensis）和华北的拉氏鼠兔（Ochotona lagrelii）化石。鼠兔的现生种，有柯氏鼠兔（Ochotona koslowi）和达乌尔鼠兔（Ochotona dauurica）等。在中更新世时，华北还有一种大型复齿鼠兔（Ochotona complicidens）。 由以上简述可以看出，兔形类基本是在北方大陆生活的小动物。亚洲发现的时代最早，占据着兔形类起源、演化的关键位置。北美的兔科、鼠兔科化石都很丰富，是研究兔形类进化的重要证据。2.乐府《古艳歌》：“茕茕（孤独无依貌）白兔，东走西顾。衣不如新，人不如故。”这首诗的前两句即以动物起兴，兴中兼含比喻。写弃妇被迫出走，犹如孤苦的白兔，往东去却又往西顾，虽走而仍恋故人。后两句是规劝故人应当念旧。还有<木兰辞>里 "雄兔脚扑朔,雌兔眼迷离;双免傍地走,安能辨我是雄雌?"31 白兔赤乌 月亮和太阳的代称。多借指时间。 2 东兔西乌 兔、乌：古代神话传说中说，月亮里有玉兔，太阳里有三足金乌，所以用乌、兔代表日月。月亮东升，太阳西... 3 动如脱兔 比喻行动敏捷。 4 东门逐兔 用以作为为官遭祸，抽身悔迟之典。同“东门黄犬”。 5 待兔守株 比喻墨守成规不知变通或妄想不劳而获，坐享其成。同“守株待兔” 6 得兔忘蹄 犹言得鱼忘荃。蹄，兔罝。 7 龟毛兔角 乌龟身上生毛，兔子头上长角。比喻不可能存在或有名无实的东西。 8 获兔烹狗 比喻事成之后排斥以至杀害有功之臣。亦作“狡兔死，良狗烹”。 9 狐兔之悲 狐死则兔悲，兔死则狐亦悲。比喻因同类的死亡而感到痛心悲伤。 10 狐死兔泣 比喻因同类的死亡而感到悲伤。 11 见兔放鹰 看到野兔，立即放出猎鹰追捕。比喻行动及时，适合需要。 12 见兔顾犬 看到了兔子，再回头叫唤猎狗去追捕。比喻动作虽稍迟，但赶紧想办法，还来得及。 13 狡兔死，良犬烹 比喻给统治者效劳的人事成后被抛弃或杀掉。同“狡兔死，良狗烹”。 14 狡兔三窟 狡猾的兔子准备好几个藏身的窝。比喻隐蔽的地方或方法多。 15 静若处子，动若脱兔 指军队未行动时就像未出嫁的女子那样沉静，一行动就像逃脱的兔子那样敏捷。 16 静如处女，动如脱兔 处女：未嫁的女子；脱兔：逃跑的兔子。指军队未行动时象未出嫁的姑娘那样持重；一行动就象飞跑的兔子那... 17 兔死狗烹 烹：烧煮。兔子死了，猎狗就被人烹食。比喻给统治者效劳的人事成后被抛弃或杀掉。 18 狡兔三穴 比喻隐蔽的地方或方法多。同“狡兔三窟”。 19 惊猿脱兔 如受惊的猿猴、脱逃的兔子。形容迅速奔逃。 20 狼奔兔脱 形容仓皇逃窜。 21 目兔顾犬 看见兔子而呼猎犬。比喻及时补救。 22 犬兔俱毙 比喻双方同归于尽。 23 守如处女，出如脱兔 处女：未嫁的女子；脱兔：逃跑的兔子。指军队未行动时象未出嫁的姑娘那样持重；一行动就象飞跑的兔子那... 24 狮子搏兔，亦用全力 比喻对小事情也拿出全部力量认真对付。同“狮象搏兔，皆用全力”。 25 守株待兔 株：露出地面的树根。原比喻希图不经过努力而得到成功的侥幸心理。现也比喻死守狭隘经验，不知变通。 26 狮象搏兔，皆用全力 比喻对小事情也拿出全部力量认真对付。 27 势若脱兔 势：攻势。脱：脱逃。对敌人攻击的速度极快，就像脱逃的兔子奔跑那样。 28 兔起乌沉 指月出日落。 29 兔走乌飞 乌：古代传说日中有三足乌，故称太阳为金乌；兔：古代传说中月中有玉兔，故称月亮为玉兔。形容光阴迅速... 30 兔死凫举 象兔敢奔跑，象野鸭急飞。比喻行动迅速。 31 兔起鹘落 鹘：打猎用的鹰一类的猛禽。兔子刚跳起来，鹘就飞扑下去。比喻动作敏捷。也比喻绘画或写文章迅捷流畅。... 32 兔走鹘落 比喻动作敏捷。也比喻绘画或写文章迅捷流畅。见“兔起鹘落”。 33 兔起凫举 凫：野鸭。象兔敢奔跑，象野鸭急飞。比喻行动迅速。 34 兔死犬饥 比喻敌人灭亡后，功臣不受重用。 35 兔丝燕麦 兔丝：菟丝子。菟丝不是丝，燕麦不是麦。比喻有名无实。 36 兔缺乌沉 犹兔走乌飞。形容光阴迅速流逝。 37 兔死狐悲 兔子死了，狐狸感到悲伤。比喻因同类的死亡而感到悲伤。 38 兔头麞脑 形容人面貌猥琐。多形容坏人。 39 兔葵燕麦 形容景象荒凉。 40 兔角牛翼 兔不生角，牛不长翼，故以之比喻不合情理之事。 41 兔角龟毛 兔生角，龟长毛。都是没有的事。比喻有名无实。 42 乌飞兔走 乌：古代传说日中有三足乌，故称太阳为金乌；兔：古代传说中月中有玉兔，故称月亮为玉兔。形容光阴迅速... 43 乌踆兔走 指日月运行。兔，传说中的月中玉兔。借指月亮。 44 一雕双兔 指三人并列显位，一人势盛而两人受其挟制。 45 兔死狐悲：比喻因同类的失败或死亡而感到悲伤。 46 狡兔三窟：比喻隐蔽的地方或方法多。4.1、兔在十二生肖中，排行第四。与十二地支配属“卯”，故一天十二时辰中之“卯”时－－－清晨五时至七时，又称“兔时”。 兔在十二生肖中，排行第四。与十二地支配属“卯”，故一天十二时辰中之“卯”时－－－清晨五时至七时，又称“兔时”。说起兔子当生肖，民间倒是有一段有趣的“兔牛赛跑”的传说呢。相传兔子和黄牛是邻居，他俩相处得好，互称兄弟。黄牛以勤劳苦干度日，兔子靠机灵能干为生，日子都过得不错。有一天，善于长跑的兔子在黄牛面炫耀道：“我是动物世界中的长跑冠军，谁也跑不过我！”黄牛虚心求教教长跑的绝招，兔子却骄傲地摇摇头说：“长跑冠军得靠先天的素质，学是学不会的。再说，长跑得身轻体便，你这粗壮的身子，恐怕是永远跑不快的。”黄牛的心给兔子说得凉了半截，可心里不服气。从此，黄牛开始练长跑，凭着一股坚韧不拔的牛劲，黄牛终于练成一双“铁脚”。尾巴一翘，四蹄如风，几天几夜也不知疲乏。到了玉皇大帝排生肖的日子，依照规则，谁先到就让谁当生肖。黄牛与兔子约定，鸡叫头遍就起来，直奔天宫争生肖。鸡叫头遍，黄牛起床时，兔子早就一个人跑了。兔子跑了好一阵子，回头一持，不见任何动物的影子。兔子心想，我今天起得最早，跑得又最快就是睡上一觉起来，这生肖的头名也是非我莫属。于是，它在草地上呼呼大睡起来。黄牛虽然落后了，但它任坚韧的耐力和平时练就的铁脚，一鼓作气，当兔子还在酣睡的时候，便先跑到了天宫。一阵急促的脚步声惊醒了兔子，睁眼一看，原来是老虎一阵风般地跑过去，这下兔子急了，赶紧追赶，可惜慢了一步，始终还是落在了老虎之后。由于牛的双角间还蹲了一只投机取巧的小老鼠，结果兔子只排到了第四位，前三名是鼠、牛、虎。兔子虽然当上了生肖，但终穷觉得脸上无光，输给了自己讽刺的老牛，回来以后，把家搬到了土洞中，现在的野兔也还是住在土洞中，不过，兔子是不会吸取教训的。不信，你今天再来一个“牛兔赛跑”或者“龟兔赛跑”，得冠军的肯定是兔子。清晨5－－7时（即“卯时”）这时，太阳还没露出脸面，月亮的光辉还未隐退完全，玉兔是月亮代称，是月宫神话中唯一的动物，这样卯时就同兔搭配。传说中月宫里有一只白色的玉兔，她就是嫦娥的化身。因嫦娥奔月后，触犯玉帝的旨意，于是将嫦娥变成玉兔，每到月圆时，就要在月宫里为天神捣药以示惩罚。