极限的求法与技巧毕业论文

极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。下面以较基础的数列极限求法为例。

首先列举判断数列敛散性的方法：

一、根据定义判定，包括：

1、利用数列极限的ε-N定义。对应的是，可以根据伊普西龙N定义，判定一个数不是数列的极限。如果这个数具有任意性，那么该数列就发散。

设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.

2、收敛数列有与邻域相关的数列极限定义。相对应的也有否定一个定数是数列的极限的定义。同样的，如果这个数具有任意性，那么数列就发散。

任给ε>0，若在U(a; ε)之外数列{an}的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a.

定义一般用来证明数列的敛散性，较少用于求数列的极限。

二、利用数列收敛的充要条件来判定，一共有三个充要条件：

1、数列通项an与定数a的差表示的数列是一个无穷小数列；

2、数列的任何非平凡子列都收敛；同时决定了它们收敛于同一极限。如果数列存在发散的非平凡子列，就证明数列发散；或者数列存在极限不同的非平凡子列，也说明数列发散；

3、柯西收敛准则。对应的也有数列发散的柯西充要条件。

对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε.

这些充要条件也主要是用于判断数列的敛散性。三、利用性质

比如利用收敛数列的迫敛性，有时候也用它来求极限。

接下来介绍求极限的常用方法：

一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。

它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：

1、相反的收敛数列极限相反；

2、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；

3、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；

4、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；

5、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。

二、利用极限的单调有界定理。

其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。

三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x的极限和1的无穷次方类型的极限。

四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。

五、用洛必达法则，针对0/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。

六、利用泰勒公式求极限的方法。

还有把极限化为导数或积分求极限的方法等。大多数的求极限法中，都浸透有换元的思想，所以你还可以说有一种换元法。

1，利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；2，通过已知极限：两个重要极限需要牢记；把所求的极限转化为两个重要极限的形式，然后利用重要极限来求极限。3，采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。4，利用等价无穷小量来求极限。

一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B

lim==（B≠0）

（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：

1.直接代入法

对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。

2.无穷大与无穷小的转换法

在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。

（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。

（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。

3.除以适当无穷大法

对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

4.有理化法

适用于带根式的极限。

二、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。

三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。

四、利用等价无穷小代换求极限

常见等价无穷小量的例子有：当x→0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

七、利用洛必达法则求极限

如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。

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