这一讲的内容主要考证明题
中值定理总共分三个部分:涉及函数的中值定理,涉及导数的定理以及涉及积分的定理
设 在 上连续,则
费马定理通常用在证明函数某点导数等于零的考题中,使用费马定理只需说明可导函数的最值在区间内部取到
构造辅助函数的一般方法一般都是乘积求导公式 的逆用:
题干中出现类似 形式的结构时,可以考虑使用拉格朗日中值定理解决;题干中出现了原函数与导函数的关系式时,也可以使用拉格朗日中值定理解决
如果题目中要求计算出两个不同的中值,那么就需要划分出两个不同的区间
令 ,则柯西中值定理可得 ,即拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一个特例
[注]:佩亚诺余项是高阶无穷小,也就是说只有当 的时候,才能用带佩亚诺余项的泰勒公式;而带拉格朗日余项的泰勒公式用于计算区间内的中值。
拉格朗日余项中的 介于 到 之间,也就是说 是一个关于x的函数,所以并不能将 作为一个常数进行处理
当 的时候,泰勒公式也称为麦克劳林公式
积分 拉格朗日中值定理 泰勒公式
[注] :如果函数在某一个区间内导数存在,那么这个导函数在此区间内上要么存在振荡间断点,要么是连续的。因此有 (导数介值定理): 在区间 上可导,且 ,则此区间的导函数能够取到 到 内的任意一个值
积分中值定理 :设 在 上连续,则存在 使得, ,或写成
[注]:前面的涉及函数的平均值定理和这里的积分中值定理,实际上是平均值定理的两个不同的形式。 平均值定理
当题干中出现 时,一般会用到两种解决方式