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三角学与天文学 早期三角学不是一门独立的学科,而是依附于天文学,是天文观测结果推算的一种方法,因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、 *** 数学中都有三角学的内容,可大都是天文观测的副产品．测量天体之间的距离不是一件容易的事. 天文学家把需要测量的天体按远近不同分成好几个等级.离我们比较近的天体,它们离我们最远不超过100光年（1光年＝万亿1012公里）,天文学家用三角视差法测量它们的距离.三角视差法是把被测的那个天体置于一个特大三角形的顶点,地球绕太阳公转的轨道直径的两端是这个三角形的另外二个顶点,通过测量地球到那个天体的视角,再用到已知的地球绕太阳公转轨道的直径,依靠三角公式就能推算出那个天体到我们的距离了.稍远一点的天体我们无法用三角视差法测量它和地球之间的距离,因为在地球上再也不能精确地测定它们的视差了. 〔河内天体的距离又称为视差,恒星对日地平均距离（a）的张角叫做恒星的三角视差(p),则较近的恒星的距离D可表示为：sinπ＝a/D〕 若π很小,π以角秒表示,且单位取秒差距(pc),则有：D=1/π 用周年视差法测定恒星距离,有一定的局限性,因为恒星离我们愈远,π就愈小,实际观测中很难测定.三角视差是一切天体距离测量的基础,至今用这种方法测量了约10,000多颗恒星.因此从天文学中又衍生出了三角学,而三角学则为天文研究奠定了基础. 三角学起源于古希腊.为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要,古希腊人已研究球面三角形的边角关系,掌握了球面三角形两边之和大于第三边,球面三角形内角之和大于两个直角,等边对等角等定理.印度人和 *** 人对三角学也有研究和推进,但主要是应用在天文学方面.15、16世纪三角学的研究转入平面三角,以达到测量上应用的目的.16世纪法国数学家韦达系统地研究了平面三角.他出版了应用于三角形的数学定律的书.此后,平面三角从天文学中分离出来,成了一个独立的分支.平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程. 而三角学的发展历程又是十分漫长的． 最早,古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria）著《球面学》,提出了三角学的基础问题和基本概念,特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后,另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》,初步发展了三角学．而在公元499年,印度数学家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira）最早引入正弦概念,并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些 *** 学者进一步探讨了三角学．当然,所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Nasir ed-Din al Tusi,1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学,成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲,最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J•Regiomontanus,1436～1476）． 雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷,前2卷论述平面三角学,后3卷讨论球面三角学,是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表． 雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后,其著作手稿在学者中广为传阅,并最终出版,对16世纪的数学家产生了相当大的影响,也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响． 最先使用三角学一词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（B．Pitiscus,1561～1613）,他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式,它们是作为三角学的主要内容而发展的． 三角测量在中国也很早出现,公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明,例如它的首章记录“周公曰,大哉言数,请问用矩之道.商高曰,平矩以正绳,偃矩以望高,复矩以测深,卧矩以知远.”（商高说的矩就是今天工人用的两边互相垂直的曲尺,商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度）1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章． 16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（G．J．Rhetucus,1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Wittenbery）大学,留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学,1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表,包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表． 17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算,制作三角函数表已不再是很难的事,人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位,在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用． 三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系,一些简单的关系式在古希腊人以及后来的 *** 人中已有研究． 文艺复兴后期,法国数学家韦达（F．Vieta）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表,有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值,还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法,解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外,还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中,使得任意给出某些已知量后,可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形,韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形,给出计算的完整公式及其记忆法则,如余弦定理,1591年韦达又得到多倍角关系式,1593年又用三角方法推导出余弦定理． 1722年英国数学家棣莫弗（A．De Meiver）得到以他的名字命名的三角学定理 ?（cosθ±isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ, 并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（L．Euler）证明了n是任意实数时公式也成立,他还给出另一个著名公式 ?eiθ＝cosθ＋isinθ, 对三角学的发展起到了重要的推动作用． 近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆,并以函数线与半径的比值定义三角函数,他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边,大写拉丁字母A、B、C表示三角形三个角,从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用,成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力,形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论． 如今,人们从更高、更深的角度来认识“三角学”,是由于复数的引入.人们对复数的思考由来已久,例如对方程x2＋1=0的根的思考,但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世纪的事了.之后欧拉建立了著名的欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ,使得三角学中的问题都可以化归为复数来讨论,于是三角学中一大批问题得以轻松地解决.有了复数与欧拉公式,使人们对三角学的已有理论的理解更为深刻,并可以把一些原始的、复杂的处理三角学的方法与工具“抛到一边”. 事实上,三角学是一门实用的数学分支,尽管源自于天文学,但在很多其他学科中都有用. 百年前,希尔伯特在他那著名的讲演中,用以下这段话作为结束语：“数学的有机统一,是这门科学固有的特点,因为它是一切精确自然科学知识的基础,为了圆满实现这个崇高的目标,让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧!”我深信,只要我们从现在开始,学好数学,用好数学,21世纪一定会“给这门科学带来天才的大师”,而且其中肯定有许多来自我们90后! 注：简单的将网上的排了一下序,仍需修改!
数形结合就是运用图形来简化解题思路，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： 一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。多做几个类似的题目啊....找本专题什么的强化一下就可以了
基于网络环境下《三角函数的图像和性质》课堂教学的探讨数学论文 摘 要：互联网的出现，教育模式将有革命性的变化，基于网络环境下的教学已成为当今教学改革的核心，也更能够体现新课程标准精神。基于网络环境下的数学教学，有助于突破难点，真正实现分层教学和因材施教，从而提高教学效益。基于网络环境下的数学教学应处理好网络与学生的和谐关系，网络与教师的关系，教师与学生的关系。关键词：教学 数学 网络 新课标传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。 一、基于网络环境下的数学教学的含义 基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。 二、基于网络环境下数学教学与评价的应用 基于网络环境下数学教学与评价有两大优点： 1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。 2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。 二、基于网络环境下数学教学突破教学难点 高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。 如“二次函数即：y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。 三、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化。 传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求， 四、基于网络环境下数学教学应处理好的关系 (1)网络与学生的关系 和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。 (2)网络与教师的关系 基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发挥网络和教师的优势。 (3)教师与学生的关系 教为主导，学为主体，这是在任何教学模式中都应遵循的原则，要体现学生的主体发展与教师的主导相互作用的关系。专题教学网站和网络教学资源库的形成，即将教师从繁杂的重复劳动中解放出来了，但教师的主导作用不是减弱了而是加强了，网络环境下的教学，对教师提出了更高的要求，教师必须挤出大量的时间学习Windows,Authorwear,3Dmax,Flash等方面的知识，还要学会搜索，筛选，创新信息的能力，甚至包括各种电教媒体的操作技能和技巧，只有这样，才能使自己在网络环境下的学科教学中获得自由，掌握主动，充分发挥网络教学的优势，提高我国的教育教学质量。
您查询的关键词是：三角函数 应用 。如果打开速度慢，可以尝试快速版；如果想保存快照，可以添加到搜藏。(百度和网页的作者无关，不对其内容负责。百度快照谨为网络故障时之索引，不代表被搜索网站的即时页面。) 三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简,求值,证明多为综合题,突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何,三角与平面向量的联系.●点击双基1.已知sinx+cosx=,0≤x≤π,则tanx等于或- D.或解析:原式两边平方得2sinxcosx=--2sinxcosx=1-2sinxcosx=sinx-cosx=,可得sinx=,cosx=-.∴tanx=-.答案:B2.(2001年春季北京)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>.∴A>-B,B>-A.∴sinA>cosB,sinB>cosA.∴P在第二象限.答案:B3.(2004年北京西城区一模题)设0<|α|sinα αtanα α解析:由0<|α|<,知0<2|α||α|,∴cos2|α|答案:B4.(2003年上海)若x=是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α=_________.解析:∵x=是方程2cos(x+α)=1的解,∴2cos(+α)=1,即cos(+α)=.又α∈(0,2π),∴+α∈(,).∴+α=.∴α=.答案:5.(2004年北京西城区二模题,理)函数y=sinx·(sinx+cosx)(x∈R)的最大值是____________.解析:原式=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,其最大值为1+=.答案:●典例剖析【例1】 化简cos(π+α)+cos(π-α)(k∈Z).剖析:原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)=cos[kπ+(+α)]+cos[kπ-(+α)].解:原式=cos[kπ+(+α)]+cos[kπ-(+α)]=2coskπcos(+α)=2(-1)k(coscosα-sinsinα)=(-1)k(cosα-sinα),k∈Z.【例2】 已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.解:由已知得所以sinαcosβ=,cosαsinβ=.从而==.思考讨论由①②不解sinαcosβ,cosαsinβ,能求吗 提示:①÷②,弦化切即可,读者不妨一试.【例3】 求函数y=,x∈(0,)的值域.剖析:将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数,再换元将其转化为一元函数求解.解:y==.设t=sinx,则由x∈(0,)t∈(0,1).对于y===-1+-,令=m,m∈(,1),则y=-2m2+3m-1=-2(m-)2+.当m=∈(,1)时,ymax=,当m=或m=1时,y=0.∴0评述:本题的解法较多,但此方法主要体现了换元转化的思想,在换元时要注意变量的范围.●闯关训练夯实基础1.(2002年春季北京)若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:∵sin2α<0,∴2α在第三,四象限.∴α在第二,四象限.又∵cosα-sinα<0,∴α在第二象限.答案:B2.(2002年春季上海)在△ABC中,若2cosB·sinA=sinC,则△ABC的形状一定是A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析:∵2cosB·sinA=sinC=sin(A+B)sin(A-B)=0,又A,B,C为三角形的内角,∴A=B.答案:C3.(2005年启东市高三年级第二次调研考试题)在斜△ABC中,sinA=-cosBcosC且tanBtanC=1-,则∠A的值为 A. B. C. D.解析:由A=π-(B+C),sinA=-cosBcosC得sin(B+C)=-cosBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=-cosBcosC.∴tanB+tanC=-1.又tan(B+C)====-,∴-tanA=-,tanA=.又∵0答案:A4.函数y=sinx-cosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_______个单位得到.解析:由y1=sinx+cosx=sin(x+),得x1=-(周期起点).由y2=sinx-cosx=sin(x-),得x2=(周期起点).答案:5.函数y=sin(-)的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.解析:y=sin(-)=-sin(-).故由2kπ-≤-≤2kπ+3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;由2kπ+≤-≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间.答案:[3kπ-,3kπ+](k∈Z);[3kπ+,3kπ+](k∈Z)6.已知0≤x≤,则函数y=4sinxcosx+cos2x的值域是________.解析:可化为y=3sin(2x+),其中cos=,sin=,且有≤2x+≤π+.∴ymax=3sin=3,ymin=3sin(π+)=-3sin=-1.∴值域是[-1,3].答案:[-1,3]培养能力7.设a=(sinx-1,cosx-1),b=(,).(1)若a为单位向量,求x的值;(2)设f(x)=a·b,则函数y=f(x)的图象是由y=sinx的图象按c平移而得,求c.解:(1)∵|a|=1,∴(sinx-1)2+(cosx-1)2=1,即sinx+cosx=1,sin(x+)=1,sin(x+)=,∴x=2kπ或x=2kπ+,k∈Z.(2)∵a·b=sin(x+)-.∴f(x)=sin(x+)-,由题意得c=(-,-).8.求半径为R的圆的内接矩形周长的最大值.解:设∠BAC=θ,周长为P,则P=2AB+2BC=2(2Rcosθ+2Rsinθ)=4Rsin(θ+)≤4R,当且仅当θ=时,取等号.∴周长的最大值为4R.探究创新9.(2004年北京东城区高三第一次模拟考试)在△ABC中,若sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB.(1)求∠C的度数;(2)在△ABC中,若角C所对的边c=1,试求内切圆半径r的取值范围.解:(1)∵sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB,∴2sinCcos·cos=2sin·cos.在△ABC中,-<<.∴cos≠0.∴2sin2cos=cos,(1-2sin2)cos=0.∴(1-2sin2)=0或cos=0(舍).∵0(2)设Rt△ABC中,角A和角B的对边分别是a,b,则有a=sinA,b=cosA.∴△ABC的内切圆半径r=(a+b-c)=(sinA+cosA-1)=sin(A+)-≤.∴△ABC内切圆半径r的取值范围是0●思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数,它的定义和性质有许多独特的表现,是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一,同时,由于三角函数和代数,几何知识联系密切,它又是研究其他各类知识的重要工具,因此应重视对知识理解的准确性,加强对三角知识工具性的认识.●教师下载中心教学点睛1.因本节是三角函数的应用,建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用,使知识能条理化并形成一个网络.2.总结本章涉及的数学思想方法,以及与三角相关联的一些知识点.拓展题例【例1】 已知cosB=cosθ·sinA,cosC=sinθsinA.求证:sin2A+sin2B+sin2C=2.分析:本题为条件恒等式的证明,要从条件与要证的结论之间的联系入手,将结论中的sin2B,sin2C都统一成角A的三角函数.证法一:sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+[1-(cosθsinA)2]+[1-(sinθsinA)2]=sin2A+1-cos2θsin2A+1-sin2θsin2A=sin2A(1-sin2θ)+1-cos2θsin2A+1=sin2Acos2θ-sin2Acos2θ+2=2.∴原式成立.证法二:由已知式可得cosθ=,sinθ=.平方相加得cos2B+cos2C=sin2A+=sin2Acos2B+cos2C=,∴sin2A+sin2B+sin2C=2.【例2】 函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a),a∈R,(1)求g(a);(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.解:(1)f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)=2cos2x-2acosx-1-2a=2(cosx-)2--2a-1.若<-1,即a1,即a>2,则当cosx=1时,f(x)有最小值g(a)=2(1-)2--2a-1=1-4a.∴g(a)=(2)若g(a)=,由所求g(a)的解析式知只能是--2a-1=或1-4a=.由a=-1或a=-3(舍).由a=(舍).此时f(x)=2(cosx+)2+,得f(x)max=5.∴若g(a)=,应a=-1,此时f(x)的最大值是5.
开拓学生自主学习的新天地
写好教案是保证教学取得成功,提高教学质量的基本条件。为了能够很好的帮助各位老师备课，下面是我分享给大家的高中数学三角函数教学设计，希望大家喜欢!高中数学第一单元三角函数教学设计 第二十四教时 教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式 目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练;同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。 过程： 一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程： 例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + (《教学与测试》P115 例三) 解： ∴ 又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴ ， ∴ ∴2 + = 例二、 已知sin cos = ， ，求 和tan的值 解：∵sin cos = ∴ 化简得： ∴ ∵ ∴ ∴ 即 二、 积化和差公式的推导 sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )] sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )] cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )] cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )] 这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。(在告知公式前提下) 例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32 证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2 = (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2 = cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2 = cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1) = cos22cos22 = cos32 = 右边 ∴原式得证 三、 和差化积公式的推导 若令 + = ， = φ，则 ， 代入得： ∴ 这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。 例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值 解：∵cos cos = ，∴ ① sin sin = ，∴ ② ∵ ∴ ∴ ∴ 四、 小结：和差化积，积化和差 五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3 P38—39 例题推荐 1—3 P40 例题推荐 1—3 高中数学三角函数的诱导公式教学设计 1 教材分析 教材的地位与作用 本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90”角的三角函数值问题，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式.这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义 教学重点与难点 教学重点 诱导公式的推导及应用 教学难点 相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识. 2 目标分析 根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标如下 知识目标 1)识记诱导公式. 2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明. 能力目标 1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法. 2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式. 3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力. 情感目标 1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神. 2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想. 3 过程分析 创设问题情境，引导学生观察、联想，导入课题 1)提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征. 2)板书：诱导公式(一). sin(k·360°+α)=sinα，cos(k·360°+α)=cosα. tan(k·360°+α)=tanα，cot(k·360°+α)=cotα(k∈Z) 结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等. ②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题. 教学设想 通过提问让学生温习、重视已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫. 3)学生练习：试求下列三角函数值 sin1110°，sin1290°. 教学设想 由已有知识导出新的问题，为学习新知识创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生思维的火花. 4)介绍单位圆概念后，引导学生观察演示(一)并思考下列问题： ①210°能否用(180°+α)的形式表达(0°<α<90°)?(210°=180°+30°) ②210°与30°角的终边位置关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) ③设210°，30°角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于原点对称) ④设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)] ⑤sin210°与sin30°的值的关系如何? 教学设想 通过微机动态演示，引导学生发现210°与30°角的终边及其与单位圆交点关于原点对称关系，借助三角函数定义，寻找sin210°与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数值的目的. 学生通过主动探索、发现解决问题的途径，体验和领会数形结合与归纳转化的数学思想方法. 5)导入课题 对于任意角α，sinα与sin(180°+α)的关系如何呢?试说出你的猜想. 运用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳、推导公式 1)引导学生观察演示(二)并思考下列问题： ①α与(180°+α)角的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) ②设α与(180°+α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于原点对称) ③设点P(x，y)，那么点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)] ④sinα与sin(180°+α)，cosα与cos(180°+α)关系如何? ⑤tanα与tan(180°+α)，cotα与cot(180°+α)关系如何? ⑥经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何? 2)板书诱导公式 sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα， tan(180°+α)=tanα，cot(180°+α)=cotα. 结构特征：①函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时). ②把求(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值. 教学设想 激发学生做出猜想后，启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比，实现方法迁移，引导学生观察演示，发现角α与(180°+α)的终边及其与单位圆交点关于原点的对称关系，把求角(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.对学生进行归纳思维训练，培养学生归纳思维能力. 微机的动态演示，使学生对“α为任意角”有准确的认识，初步体验从特殊到一般的归纳推理形式，领会数学的归纳转化思想和方法. 3)基础训练题组一 求下列各三角函数值(可查表)： ②试求sin[180°+(-210°)]的值 分析： 对于问题②学生可能出现的情况为： sin[180°+(-210°)]=-sin(-210°)， 或sin[180°+(-210°)]=sin(-30°). (至此，大多数学生已无法再运算) 教学设想 在新的知识的基础上又导出新的未知，又一次创设问题情境，把学生的学习兴趣进一步推向高潮，激励学生要敢于迎接挑战、战胜困难、不断追求、陶冶情操、锻炼意志. 4)引导学生观察演示(三)，并思考下列问题： ①30°与(-30°)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称) ②设30°与(-30°)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于x轴对称) ③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)] ④sin(-30°)与sin30°的值关系如何? 教学设想 引导学生把求sin210°问题与sin(-30°)进行类比，实现方法迁移.通过微机动态演示，发现-30°与30°角的终边及其与单位圆交点关于x轴对称的关系.借助三角函数定义，寻找sin(-30°)与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数的值的目的. 5)导入新问题：对于任意角α，sinα与sin(-α)的关系如何呢?试说出你的猜想? 6)引导学生观察演示(四)并思考下列问题：(设α为任意角) ①α与(-α)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称) ②设α与(-α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于x轴对称) ③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)] ④sinα与sin(-α)，cosα与cos(-α)关系如何? ⑤tanα与tan(-α)，cotα与cot(-α)的关系如何? 7)学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评. 8)板书诱导公式 sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα. tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα. 结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角) 把求(-α)的三角函数值转化为求α的三角函数值. 9)基础训练题组(二)：求下列各三角函数值(可查表) ③cos(-240°12');④cot(-400°). 构建知识系统、掌握方法、强化能力 课堂小结：(以提问、填空形式让学生自己完成) 1)诱导公式： sin(k·360°+α)=sinα. cos(k·360°+α)=cosα. tan(k·360°+α)=tanα. cot(k·360°+α)=cotα.(k∈Z) sin(180°+α)=-sinα. cos(180°+α)=-cosα. tan(180°+α)=tanα. cot(180°+α)=cotα. sin(-α)=-sinα. cos(-α)=cosα. tan(-α)=-tanα. cot(-α)=-cotα. 2)公式的结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时) 3)方法及步骤： 教学设想 通过提问、填空的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识系统，发现知识规律及其结构特征，深化对诱导公式内涵和实质的理解，强化记忆. 挖掘知识系统体现数学的归纳转化思想方法，培养学生的概括抽象能力，形成知识网络和方法网络. 4)能力训练题组：(检测学生综合运用知识能力) 5)课外思考题. ①求下列各三角函数值： 6)作业与课外思考题 作业：P162习题十三(1)—(6) 教学设想 通过能力训练题组和课外思考题检测学生综合运用知识的能力，培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的实践能力. 为学生课外留下“余音”，培养学生养成自觉学习、积极探索的良好学习习惯，为下一节课学习诱导公式(四)、(五)作准备. 4 教法分析 根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课采用了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法. 利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的. 由(180°+30°)与30°，(-30°)与30°终边对称关系的特殊例子，利用多媒体动态演示，学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想，引导学生进行问题类比、方法迁移，发现任意角α与(180°+α)，-α终边的对称关系，进行从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力. 采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识和创新精神，培养学生的思维能力. 通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式(一)、(二)、(三)的应用进一步拓广，为演绎推导诱导公式(四)、(五)做好理论依据准备，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力. 5 评价分析 本节课教学过程中通过问题设疑，引导学生循序渐进的从特殊到一般进行联想、类比、归纳，发现数学公式，体现以教师为主导，学生为主体，积极思维的学习过程. 在问题类比、方法迁移、归纳推理的思维训练过程中，师生的信息交流畅通，反馈及时，评价及时，矫正及时，学生思维活跃，教学活动始终处于教师期望控制中. 5 教案设计说明 关于本节课教学指导思想 归纳推理是发现和获得知识的基本思维形式，拉普拉斯曾说：“发现真理的主要工具也是归纳和类比”.归纳思维在形成创新意识中具有特殊的重要的地位，归纳思维往往获得的是开拓性的创造(再创造).三角函数求值是三角函数中重要问题之一，诱导公式是解决此类问题的基本方法.教学过程中，通过问题设疑、多媒体动态演示等教学措施，创设问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比、归纳出具有普遍的、一般的整体性质.体现了学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，促使学生积极思维主动探索，勇于发现，敢于创新.通过从特殊到一般的归纳思维训练，学生主动地获得新的知识，并在获得知识的过程中，形成良好的思维品质，发展学生的思维能力. 关于教学过程的设计 1)重现已有相关知识，为学习新知识作好铺垫. 2)思维总是从问题开始的，在sin1290°的求值过程中，从已知到未知，引发新的问题，营造氛围，引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲. 3)数学的思想方法是数学素质的核心，由sin210°的求值过程，把未知转化为已知，引导学生发现推导诱导公式的方法和途径，领会数学的归纳转化思想方法. 4)通过多媒体直观动态的演示，从特殊到一般完成所有情况的分类，引导学生联想，进行问题类比、方法迁移、归纳推理出具有普遍性的结论，形成公式，进行归纳思维训练. 5)通过分析诱导公式的结构特征，强化对诱导公式的理解和记忆，深刻领会诱导公式的内涵和实质.构建知识系统，培养学生的概括抽象能力. 6)通过基础训练题组和课外思考题的练习，掌握解决问题的方法，形成技能，提高学生分析问题和解决问题的能力. 高中数学二倍角的三角函数教案设计 一、知识与技能 1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系;揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。 3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。 二、过程与方法 1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣; 2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 三、情感、态度与价值观 1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。 2.培养用联系的观点看问题的观点。 【教学重点与难点】： 重点：半角公式的推导与应用(求值、化简、证明) 难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。 引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。 3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 二、研探新知 四、巩固深化，反馈矫正 五、归纳整理，整体认识 1.巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。 2.熟悉"倍角"与"二次"的关系(升角--降次，降角--升次). 3.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方;公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切. 5.注意公式的结构，尤其是符号. 六、承上启下，留下悬念 七、板书设计(略) 八、课后记：略 猜你喜欢： 1. 2017高考数学三角函数考点分析和命题趋势 2. 高二数学的三角函数的知识点介绍 3. 高中数学必修4三角函数公式汇总 4. 高三文科数学三角函数知识点归纳 5. 高中数学必修一三角函数知识点总结
九年义务教育《数学课程标准》中指出：数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 近几年，不仅每年高考都出了应用题，中考也加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远底于其他题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此中学数学教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识，本文结合教学实践，谈谈初中数学建模教学的一些学习体会。 ⒈数学建模是建立数学模型的过程的缩略表示，可用下面的框图来说明这一过程： 实际问题 抽象、简化，明确变量和参数 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系 解析地或近似地求解该数学问题 解释、验证 投入使用 通不过 通过 审题 建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。 简化 根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。 抽象 将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。 ⒉具体的建模分析方法 ① 关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型方法。 ② 列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。 ③ 图象分析法：通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法。 ⒊掌握常见数学应用题的基本数学模型 在初中阶段，通常建立如下一些数学模型来解应用问题： ① 建立几何图形模型 ② 建立方程或不等式模型 ③ 建立三角函数模型 ④ 建立函数模型 案例 例1 王小姐参加了某晚会，晚会中共有40人，若每两人均握手一次，问参加者共握手多少次？ 例2 设计合适的包装方式。 ⑴现有4盒磁带，有几种包装方式？哪种方式更省包装纸？ ⑵若有8盒磁带，哪种方式更省包装纸？ 例3 已知 、 、 均为非负实数，求证： 前两个问题比较明显的须建立几何图形模型来加以分析，第三个问题若用不等式变形来解决则非常困难，但建立几何图形模型解决则轻而易举， 如下图。 例4 甲、乙两厂分别承印八年级数学教材20万册和25万册，供应A、B两地使用，A、B两地的学生数分别为17万和28万，已知甲厂往A、B两地的运费分别为200元/万册和180元/万册；乙厂往A、B两地运费分别为220元/万册和210元/万册。（1）设总运费为w元，甲厂运往A地x万册，试写出w与x的函数关系式；（2）如何安排调动计划，能使总运费最少？ 例5 我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等，如何测量它们的高度呢？ 本题显然要建立三角函数模型来分析解决 例6 爸爸准备为小明买一双新的运动鞋，但要小明自己算出穿几“码”的鞋。小明回家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米，爸爸41码的鞋子长厘米。那么自己穿的厘米长的鞋是几码呢？ 本题较合理的数学模型是一次函数。 例7 1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。截流从8：55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米。11：50时，播音员报告宽为米。到13：00时，播音员又报告水面宽为31米。这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙，从8：55到11：50，进展的速度每小时减少米，从11：50到13：00，每小时宽度减少米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米。从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙。但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好，现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法（建立一种较合理的数学模型）进行计算，使你的计算结果更切合实际。 建模合理性分析：本题建模合理性有以下两个评价点 ⑴回填速度以每小时多少立方米填料计。这样，能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点。 ⑵注意到回填速度是逐渐加快的：水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢。反之就越快。在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点。 ⒋数学建模教学活动设计的体会 ①鼓励学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。 教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”而应不时扮演下列角色：模特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端和“拨乱反正”的思维技能。参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。仲裁者和鉴赏者——评判学生工作成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法和作法。 ②注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进。 数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。在开始的教学中，在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景。在应用的重点环节结合比较多的训练，如实际语言和数学语言，列方程和不等式解应用题等。逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题，到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。 ③重视知识产生和发展过程教学。 由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，忽略数学建模的建立过程。 ④注意数学应用与数学建模的“活动性”。 数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参与，更多地表现活动的特性。 参考文献 [1]全日制义务教育《数学课程标准》 [2]中学数学建模
对初中数学锐角三角函数教学的几点思考论文
锐角三角函数作为初中数学中重点教学内容，掌握好该知识点不但有助于学生取得良好成绩，同时更重要的是能够为其今后更高层次几何学习奠定坚实基础，为此这就要求广大教师必须做好该方面教学。然而结合笔者实践来看，由于受到诸多因素所影响，当前锐角三角函数教学效果普遍不佳，如此一来不但严重地影响教学质量，同时更会对后续三角函数教学任务有效开展造成极大的阻碍，对此教师必须认清该知识点的重难点，紧抓学生常见认识误区和思维障碍，采取有效策略进行教学。
一、锐角三角函数与学生常见认识误区和思维障碍分析
锐角三角函数是中学阶段几何学基础知识，是在学生学习了相似三角形和勾股定理之后进一步学习，通过对其开展研究能够使得学生可以后续其他知识学习奠定基础，该知识点呈现正弦函数概念上遵循“从特殊到一般，从实践探索到证明”的方式，让学生体会实验、观察、归纳、猜想、证明的求知过程，有利于学生角度与数值之间对应关系的建立，深化函数思想;在解决实际问题时，强调数学模型的构建，凸现数学建模的思想;重视分析图形特点，强化数形结合思想。对于锐角三角函数知识，学生常见的认知误区和思维障碍主要有以下几方面：(1)不能准确理解锐角三角函数的概念;(2)容易混淆正弦函数、余弦函数和正切函数;(3)过分依赖计算器，对于常用的30°、45°、60°等函数值不能熟记;(4)解直角三角形，特别在解圆中的直角三角形时，易把直角边当做斜边;(5)在解决实际问题中，学生很难通过身体建模来解决问题;(6)容易把坡度与正弦函数混淆。
二、初中数学锐角三角函数教学策略思考与探讨
1.揭示三角函数相关概念产生的思维过程
在传统的教学模式下，许多教师对于三角函数的教学都是采用平铺直叙、照本宣科的方式进行教授，通过让学生反复朗读、书写的方式对概念进行记忆，而很少运用实践操作或探究活动等形式让学生理解相关概念。这种教学方式虽然也能让学生牢牢地记住三角函数的概念，但是这种方式是呆板的，非常影响学生创新思维的发展，因此，教师在教学过程中应该采用通过向学生揭示三角函数概念产生的思维过程的方式加深学生对概念内涵的理解与掌握。
2.重视对直角三角形的讲解
学生掌握好直角三角形的边角关系对于锐角三角函数的学习和掌握有很大促进作用，因而这就要求广大教师必须重视并做好对其教学。直角三角形除直角外的5个元素之间关系：
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理);
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°。
利用这些关系，首先要理解好对边与角的关系，这5个元素中，如果知道2个(其中至少有一个是边)，就可以求出其余3个。即“在直角三角形中，角定边的比值也确定了，反之，边的比值确定了，角的大小也确定”，并通过在解题过程中不断强调，对学生进行强化理解。数形结合思想对于锐角三角函数的学习与运用也非常的重要，在理解概念、推理论证、计算化简的过程中，通过画图分析，可以让学生在具体、直观中理解直角三角形边与角之间的关系。
3.结合实际生活，促进学生对三角函数相关知识的`理解与掌握
在教学中，教师应尽量选用贴近学生生活的素材来加深学生对三角函数的理解与掌握。结合生活实际不仅可以让学生体会锐角三角函数和解三角形的理论来源于实际，是实际的需要，还可以让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到答案，再将数学问题的答案回归到实际问题的这种“实践-理论-再实践”的认识过程。这过程符合人的认知规律，又利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能激发学生的学习兴趣。直角三角形的学习为学生学习锐角三角函数做好了充分的准备。教师在讲解直角三角形的过程中，就可以利用确定台阶的倾斜程度问题引出正切函数，也可以例举学生熟悉的跷跷板问题等等。
4.对锐角范围内同角或等角的三角函数值相等的内涵和外延进行明晰
明晰锐角范围内同角或等角的三角函数值相等对于学生理解和灵活运用三角函数解决问题显得尤为重要。但是在实际教学过程中，部分教师对此重视不够，在求解某个锐角的相应三角函数值时，该锐角往往置于直角三角形中，学生易形成惯性思维，当需求三角函数值的锐角置于一般三角形时，部分学生缺乏对锐角范围内同角或等角的三角函数值相等的理解。
例如图1所示，点E(0，4)，O(0，0)，C(6，0)在⊙A上，BE是⊙A中的一条弦，则tan∠OBE=。
许多学生遇到这类题时，很容易出错或者无从下手，教师经过与学生交流、了解做错的原因，就会发现其实很多学生在解答过程中已经意识到要先连接EC(如图2所示)，然后由同弧所对的圆周角相等推知∠OBE=∠OCE，但到这一步，学生就陷入了困惑，因为△EOC是直角三角形，而△OBE不是直角三角形。由此可见，学生对于这类题型无法解答或出错的根本原因就在于对同角或等角的三角函数值相等内涵的实质的理解不够透彻。
5.引导学生形成规范的解题过程
引导学生形成规范解题过程有利于他们理清思路，从而达到有效提升其能力与成绩之目的。数学学科一个突出的特点就是逻辑性比较强，对逻辑思维的要求也较高。因此，在解决锐角三角函数问题时，学生通过规范解题过程，按照步骤来进行解题就更加能够便利地找到相应的解题思路，从而掌握相应的数学知识。同时，对于解题思路的梳理很重要，首先要明确具体的问题是什么;其次，针对问题寻找解题突破点，并作出解答的计划;最后，按照计划一步步进行解题，并整理回顾。总之，解题过程规范了，步骤明确了，解题思路也就清晰了。
数学写作文吗?建议从三角函数的发展史角度写作.
一、创设教学情景,使“数学教学生活化”。以此激发学生的学习兴趣，调动学生积极性。 创设教学情境是模拟生活，使课堂教学更贴近现实生活，让学生身临其境，如见其人，如闻其声，加强感知，突出重点，突破难点，激发兴趣，开发思维。课堂教学中如何创设教学情境呢？我认为可这样做： 1、运用实例创设情境。如教学循环小数概念时，我给学生讲永远讲不完的故事：“从前，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事：老和尚说：从前山上有座庙……”，通过实例初步感知“不断重复”，再举出自然现象“水→汽→云→水”的循环变化，引出“循环”的概念。 2、运用实物（挂图）创设情境。“圆的认识”教学时，我这样引入：出示一幅颜色鲜艳的用正方形做轮子的自行车，问同学们这自行车漂亮吗？喜不喜欢？为什么？学生们回答：“不喜欢。因为这车虽然漂亮但踩不动。”我把正方形车轮换成椭圆后再问学生喜不喜欢，同学们还是说不喜欢，因为骑这样的自行车，即使是在平坦大路上也象在颠跛不平的路上骑一样，我再把椭圆形车轮换成圆形，学生才满意。 3、动手操作创设情境。在推导平行四边形面积公式时，我让学生准备几个平行四边形，鼓励他们动手操作，通过画、剪、移、拼等方法把一个平行四边形变成我们学过平面图形——长方形，观察拼成的长方形长和宽与平行四边形的底和高有什么关系，然后推导出：因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。平行四边形面积公式是学生在操作时，通过观察、思考概括而来，学生尝试到成功的快乐，不但能掌握知识，更能培养他们的信心和兴趣。 4、运用多媒体创设情境。多媒体教学具有直观、形象、具体、生活化的特点，运用多媒体创设情境，使抽象概念具体化，使难理解的问题容易化。如教学“长方体的认识”时，相对的面完全相同，相对的棱长度相等，我运用电脑平移两个面和相应的棱，使学生看见两个相对的面完全重合，相对的棱完全相等，从而达到具体，直观的效果。 5、 模拟生活创设情境。如教学两步加减的应用题时，要求每个小组的同学可以邀请别组的同学参加，小组人数可以比原来的人数多也可以比原来的少。 第一小组：我这组原来6人，走了2人，来了4人，现在有8人。 问：谁能把第一小组人员变化情况列成式子？6-2+4=8（人） 又问：谁把它编成求“现在有多少人？”的应用题。 第二小组：我这组原来6人，先来了2人，后面又来了3人，现在有11人。…… 通过若干个小组的汇报训练，学生在活动中完成了两步加减的应用题学习。 创设生活化的情景，让学生经历将现实问题抽象成数学模式的过程。 如我在教三年级教学《分数的初步认识》时，我就安排了这样一个游戏：先请上男、女学生各一名站在讲台前，然后，我拿出4个月饼，请其余学生用手指表示每人分到的月饼个数。要求大家仔细听老师要求，然后做。我边分边说：“我有4个月饼，平均分给蔡伟和熊娴，请用手指个数表示每人分到的月饼个数”。学生很快伸出2个手指。我接着问如果只有一个月饼，要平均分给蔡伟和熊娴，请用手指表示每人分到的月饼个数，这时，许多同学都难住了，有的同学伸出弯着的一个手指，问他表示什么意思，回答说，因为每人分到半个月饼，我进一步问：你能用一个数来表示“半个”吗？学生被问住了。此时，一种新的数（分数）的学习，成了学生自身的欲望，这样创设了一个与生活相关的教学情景，就激发了学生学习的兴趣，激起了学生解决问题的欲望。 二、研究生活中的数学，使数学课堂教学生活化。 知识是前人在生活中积累的经验或是揭示出的规律，而教学目标是为了掌握规律及学习发现规律的方法。我们老师如果只是让学生掌握知识，那就是把学生头脑当成了知识的容器，“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把需被点燃的火把”。因此，教学中必须让学生了解知识发生的过程，但40分钟毕竟有限，因此我们老师要引导学生善于去捕促、获取、积累生活中的数学知识。 首先，要挖掘教材中生活资源。我以小学数学第十册举三个例。例1：数据的收集，要求学生在上放学途中遇到红灯时，数一数另一方向经过的大客车、小汽车、摩托车各是多少辆？例2：长方体和正方体的认识，要求学生模仿家庭中长方体和正方体用硬纸板动手做一个长方体和正长体。例3：质数和合数，分解质因数，布置作业，想一想班上每个同学的学号是质数还是合数，并把合数分解质因数。 其次，要指导学生观察生活中的教学。让学生观察生活中的数学，既可积累数学知识，更是培养学生学习数学兴趣的最佳途径。低年级学生数一数客厅的资砖、光碟等数量，比一比身高、体重，认一认周围的平面图形和立体图形。中高年级观察数学美，如形体的美、结构美等。 三、设计“数学生活化”的练习，帮助学生去发现生活中的数学问题，并应用所学的数学知识解决实际问题。使学生通过练习感觉到生活中处处有数学，数学来源于生活并应用于生活。 1、在练习过程中创造性地对教材内容进行还原和再创造，将数学练习融合于生活中，就可以使原有的练习为我所用。如我教《求平均数》（第八册）时，练习中有一题是给出一组学生身高数据，算出平均身高，来巩固平均数=总数÷个数的这种方法。我是这样做的：先给出我省十岁儿童的平均身高是140cm，问“我们组的身高水平是在平均身高之上还是不到平均身高呢？”引出要算本组平均身高，再让学生统计本小组8个人的身高，最后通过计算，得出小组的平均身高，与140cm进行比较。同样是计算学生平均身高的练习，但这样的练习设计不但巩固了求平均数的方法，还让学生明白了算平均数的必要性，也体会到生活中需要平均数；还学会了算平均数的这些数据是怎样来的；从平均数中可以获得哪些信息等等。我觉得这样的教学就达到了目标。 2、把生活中的数学原型生动地展现在课堂上，使学生眼中的数学不再是简单的做数学练习，而是富有情感、贴近生活，具有活力的东西。如我在教学长“方体和正方体的表面积”一课的练习拓展中，我设计了这样一个题目，我们的教室由于使用时间过长，比较成旧，需要重新粉刷，泥工师傅要按平方受取工资，总务处胡老师想要大家帮他算一算：我们教室要粉刷的面积是多少？请同学们明天作个答复。接着我让同学们讨论：要算出这个教室的粉刷面，需要找到那些数据，同学们准备怎么办？然后，让大家课后完成，可以合作。通过老师的点拨，激发了学生的自主探究和动手实践，学生兴趣高涨，积极动脑思考，动手实践，真正地把数学知识用到了生活当中。 总之，我们数学教师要引导学生善于思考生活中的数学，加强知识与实际联系；要做生活中的有心人，力争结合教学内容和学生的生活经验以及已有的知识，尽可能地创设一些生动有趣、贴近生活、富有生活气息的情景和练习，使学生切实体验到“生活离不开数学”，“人人身边有数学”，用数学可以解决生活中的实际问题，从而对数学产生亲切感，和浓厚的学习兴趣，增强学生对数学知识的应用意识，培养学生的自主创新能力和解决问题的能力。我对“数学教学生活化”的点滴尝试 数学中的测量在现实生活中的应用
三角学与天文学 早期三角学不是一门独立的学科,而是依附于天文学,是天文观测结果推算的一种方法,因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、 *** 数学中都有三角学的内容,可大都是天文观测的副产品．测量天体之间的距离不是一件容易的事. 天文学家把需要测量的天体按远近不同分成好几个等级.离我们比较近的天体,它们离我们最远不超过100光年（1光年＝万亿1012公里）,天文学家用三角视差法测量它们的距离.三角视差法是把被测的那个天体置于一个特大三角形的顶点,地球绕太阳公转的轨道直径的两端是这个三角形的另外二个顶点,通过测量地球到那个天体的视角,再用到已知的地球绕太阳公转轨道的直径,依靠三角公式就能推算出那个天体到我们的距离了.稍远一点的天体我们无法用三角视差法测量它和地球之间的距离,因为在地球上再也不能精确地测定它们的视差了. 〔河内天体的距离又称为视差,恒星对日地平均距离（a）的张角叫做恒星的三角视差(p),则较近的恒星的距离D可表示为：sinπ＝a/D〕 若π很小,π以角秒表示,且单位取秒差距(pc),则有：D=1/π 用周年视差法测定恒星距离,有一定的局限性,因为恒星离我们愈远,π就愈小,实际观测中很难测定.三角视差是一切天体距离测量的基础,至今用这种方法测量了约10,000多颗恒星.因此从天文学中又衍生出了三角学,而三角学则为天文研究奠定了基础. 三角学起源于古希腊.为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要,古希腊人已研究球面三角形的边角关系,掌握了球面三角形两边之和大于第三边,球面三角形内角之和大于两个直角,等边对等角等定理.印度人和 *** 人对三角学也有研究和推进,但主要是应用在天文学方面.15、16世纪三角学的研究转入平面三角,以达到测量上应用的目的.16世纪法国数学家韦达系统地研究了平面三角.他出版了应用于三角形的数学定律的书.此后,平面三角从天文学中分离出来,成了一个独立的分支.平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程. 而三角学的发展历程又是十分漫长的． 最早,古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria）著《球面学》,提出了三角学的基础问题和基本概念,特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后,另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》,初步发展了三角学．而在公元499年,印度数学家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira）最早引入正弦概念,并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些 *** 学者进一步探讨了三角学．当然,所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Nasir ed-Din al Tusi,1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学,成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲,最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J•Regiomontanus,1436～1476）． 雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷,前2卷论述平面三角学,后3卷讨论球面三角学,是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表． 雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后,其著作手稿在学者中广为传阅,并最终出版,对16世纪的数学家产生了相当大的影响,也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响． 最先使用三角学一词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（B．Pitiscus,1561～1613）,他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式,它们是作为三角学的主要内容而发展的． 三角测量在中国也很早出现,公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明,例如它的首章记录“周公曰,大哉言数,请问用矩之道.商高曰,平矩以正绳,偃矩以望高,复矩以测深,卧矩以知远.”（商高说的矩就是今天工人用的两边互相垂直的曲尺,商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度）1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章． 16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（G．J．Rhetucus,1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Wittenbery）大学,留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学,1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表,包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表． 17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算,制作三角函数表已不再是很难的事,人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位,在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用． 三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系,一些简单的关系式在古希腊人以及后来的 *** 人中已有研究． 文艺复兴后期,法国数学家韦达（F．Vieta）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表,有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值,还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法,解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外,还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中,使得任意给出某些已知量后,可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形,韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形,给出计算的完整公式及其记忆法则,如余弦定理,1591年韦达又得到多倍角关系式,1593年又用三角方法推导出余弦定理． 1722年英国数学家棣莫弗（A．De Meiver）得到以他的名字命名的三角学定理 ?（cosθ±isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ, 并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（L．Euler）证明了n是任意实数时公式也成立,他还给出另一个著名公式 ?eiθ＝cosθ＋isinθ, 对三角学的发展起到了重要的推动作用． 近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆,并以函数线与半径的比值定义三角函数,他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边,大写拉丁字母A、B、C表示三角形三个角,从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用,成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力,形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论． 如今,人们从更高、更深的角度来认识“三角学”,是由于复数的引入.人们对复数的思考由来已久,例如对方程x2＋1=0的根的思考,但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世纪的事了.之后欧拉建立了著名的欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ,使得三角学中的问题都可以化归为复数来讨论,于是三角学中一大批问题得以轻松地解决.有了复数与欧拉公式,使人们对三角学的已有理论的理解更为深刻,并可以把一些原始的、复杂的处理三角学的方法与工具“抛到一边”. 事实上,三角学是一门实用的数学分支,尽管源自于天文学,但在很多其他学科中都有用. 百年前,希尔伯特在他那著名的讲演中,用以下这段话作为结束语：“数学的有机统一,是这门科学固有的特点,因为它是一切精确自然科学知识的基础,为了圆满实现这个崇高的目标,让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧!”我深信,只要我们从现在开始,学好数学,用好数学,21世纪一定会“给这门科学带来天才的大师”,而且其中肯定有许多来自我们90后! 注：简单的将网上的排了一下序,仍需修改!
基于网络环境下《三角函数的图像和性质》课堂教学的探讨数学论文 摘 要：互联网的出现，教育模式将有革命性的变化，基于网络环境下的教学已成为当今教学改革的核心，也更能够体现新课程标准精神。基于网络环境下的数学教学，有助于突破难点，真正实现分层教学和因材施教，从而提高教学效益。基于网络环境下的数学教学应处理好网络与学生的和谐关系，网络与教师的关系，教师与学生的关系。关键词：教学 数学 网络 新课标传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。 一、基于网络环境下的数学教学的含义 基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。 二、基于网络环境下数学教学与评价的应用 基于网络环境下数学教学与评价有两大优点： 1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。 2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。 二、基于网络环境下数学教学突破教学难点 高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。 如“二次函数即：y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。 三、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化。 传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求， 四、基于网络环境下数学教学应处理好的关系 (1)网络与学生的关系 和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。 (2)网络与教师的关系 基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发挥网络和教师的优势。 (3)教师与学生的关系 教为主导，学为主体，这是在任何教学模式中都应遵循的原则，要体现学生的主体发展与教师的主导相互作用的关系。专题教学网站和网络教学资源库的形成，即将教师从繁杂的重复劳动中解放出来了，但教师的主导作用不是减弱了而是加强了，网络环境下的教学，对教师提出了更高的要求，教师必须挤出大量的时间学习Windows,Authorwear,3Dmax,Flash等方面的知识，还要学会搜索，筛选，创新信息的能力，甚至包括各种电教媒体的操作技能和技巧，只有这样，才能使自己在网络环境下的学科教学中获得自由，掌握主动，充分发挥网络教学的优势，提高我国的教育教学质量。
1超市中的数字问题随着城市的发展和人民生活水平的日益提高，超市走进了人们的生活，他们给我们的生活带来了许多的方便，我们的生活方式也因超市的“闯入”受到了一定的影响。如今平望的经济高速发展，超市接二连三地开张。但超市发展之路是漫长的，超市在经营发展中又受哪些方面的影响呢？为此，我们初二（5）班研究性学习小组决定对平望的四大超市（华润超市，华联超市，世纪华联超市，葡萄园超市）做一次调查一、对影响平望超市经营发展的因素的调查与分析1、个人喜好喜好经常能影响一个人的思想，驱使一个人去做些事情，当然，包括让人不由自主地去哪家超市咯，而且平望的面积不算很大，人口有限，四大超市竞争激烈，超市能够受到广大消费者的欢迎是超市继续经营发展的重要条件。这也是我们关注这个问题的原因。以下是我们对这个问题做的一份调查(调查问卷附后)，结果如 你最常去的超市是（ ）A 华润 B 华联 C 世纪华联 D 葡萄园超市从调查我们看出，华润超市受欢迎程度最高，华联次之，其它两个超市无过大差异。2、商品质量和地理位置众所周知，对超市发展影响最大的莫过于商品质量和地理位置。超市商品质量的好坏，能够直接影响消费者的购物欲。一个黄金地段往往是商家争取的重点，地理因素包括通达度，进出是否方便，能突出超市的存在，还有安全性等。这四大超市相距并不是很远，那么，地理位置对它们是否有影响呢？为此，我们特在问卷调查中列入了此项内容，并把它与其它因数进行了对比。结果如下：你常去该超市（你最喜欢的超市）的原因是（）A 价格便宜 B 离家较近 C 商品质量好 D 服务态度好 E 其它有24%的人选择了B：离家较近，18%的人选择了A：价格便宜，20%的人选择了C：商品质量好，16%的人选择D：服务态度好，还有22%的人认为是其它原因，例如个人喜欢好。可见，人们对消费地点的选择各有不同。数字显示，超市的选址对消费者而言至关重要。因此分布在居民区的超市较受欢迎。“顾客就是上帝”，每个人都希望买到物美价廉的商品，而且如今的竞争已不是简单的价格战了，完全是商品质量的支撑。我们也坚信好的超市在商品质量和服务态度方面是不会懈怠的。3. 超市的经营理念一个超市的经营理念是一个超市对待顾客的宗旨，只有超市把顾客所想的摆在第一位，凡事都以顾客为中心，人们才会想去超市消费，那么超市便会长长久久。所以我们特别对此做了问卷调查。你认为超市应把什么放在第一位 （ ）A．价格 B。质量 C。服务态度 D。商品种类 E。其它结果分析：经调查，多数人把质量放在第一位，说明产品质量对超市经营的影响是很大的。一个超市经营状况的好坏直接取决于商品与服务态度的高低，其中，质量占的比重较大，服务态度次之，这说明永安人民此时钞票的拥有量，正处于一个舒适的状态，而超市的物价水平与之正相适应，暂时达到一个双赢的局面，超市消费水平稳定超市的工作效率1. 当今的社会是跑在商业铁轨上的高速列车，任何效率的停滞，都会影响它的运行，当然，超市作为人们生活中重要的活动场所，在社会生活中扮演的台下的主角，它的效率自然成为人们选择超市的重要指标。所以我们设此问题，以考察超市效率在人们心中的比重大小。你会对效率低的超市产生反感吗 ？ （ ） A． 会 B .不会 C.无所谓结果分析： 95%的人选择了A，在这个信息技术发达的社会，人们无论做什么事都讲求高效率，少时间，好享受，较差的服务对于消费者来说是对自己利益的损害，对商家而言既是不负责任的表现也是对自身形象的损害，更对今后的发展带来不利影响。消费者希望超市的服务能够一体化，更周到，无论是服务的设施还是售后服务都尽力而为，实事求是。二、超市对人民生活的影响 在超市里，你常常会有感于超市里不减的人气，超市成了逛街的好去处，从另一个侧面可以看出平望是一个生活满足而安逸的好地方，大家都在逛超市了。超市里那么多东西，怎么会没有一件你满意的商品？于是，钱就这样不知不觉从人们的口袋里一点一点的流走，无形中带动了消费的发展了。需多谈的，尤其是大型的超市对工作人员数量的要求是巨大的，无疑解决了很大的就业压力，这也是为什么政府对超市经营大力扶持的一个重要原因。但毕竟这类员工从事的都是体力类的劳动，报酬不高，但尚能维持生计，其中不乏初入社会的青年。超市为他们提供了一个基本的生存工作的岗位，每个人都有机会通过自己的努力提高自己的待遇。但这种机遇依然是有限的，毕竟从事零售服务是一件烦琐乏味的事情，故这类员工的心态也可以作为一个值得探讨的问题，更何况他们也是超市的一块招牌，他们工作的好坏，热情与否有时就是超市与顾客间交流的窗口。研究消费心理，少不了对销售心理的探访。有时一个销售人员的一个微笑，一段让人心动的产品介绍会让人有一种购买的蠢蠢欲动，其实有时这种销售人员的素质正是超市的一份无形的品 永安超市的发展模式需改善三、对平望超市经营的建议从宏观上看：平望现在超市发展的关键,需从价格制胜的竞争观念向集价格、文化、服务、品牌等多种因素的复合型竞争理念过渡. 1 、超市类型的多元化，在平望, 每个超市里的货物品种,价格,布局,氛围都应各有千秋。不能所有超市一个样，那样怎么会有吸引力呢？在平望，可以发展一些其它类型的超市，如农业超市，里面主要都是农业用具，机械等等呀，必竟平望还是一个农业城市为基础。2、超市分布区域的边缘化，何必一定要挤在市中心，可以到一些城乡结合部呀，现在的平望人民已经在提高进超市购买东西的习惯了，等到大家都习惯了，那些街道商铺可都要关门啦！在厦门的人都知道，厦门的那些大超市进来以后，现在人们一买东西都是进大超市，除了有时零星的购买，当然只能是在社区里的小卖部了。3、超市的特色（或者说是文化，或者说吸引人的地方），像在大城市里的一些超市，每天都有几种特价商品，这些商品平时是不打折的，只有轮到刚好的日子才有，而每个月超市都会将下个月要打折的商品日期提前公布，甚至将宣传单寄给每一个持会卡的人员。从微观上来看： 超市应该改进寄包的设施，超市的服务态度也应该有所改善，超市需要多增设几台收营台，超市的卫生也应做得更好。总结：我们希望通过这次的活动，可以对生活中的变化有所了解，激发对生活的热爱，对知识的不断追求，对实践能力有一个提高，甚至能对超市的经营发展有一定的帮助。 4古代数学发展史—宋元数学： 宋元数学是中国数学发展的高峰。 北宋王朝统一中国后，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪〔宋、元两代〕，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》〔11世纪中叶〕，刘益的《议古根源》〔12世纪中叶〕，秦九韶的《数书九章》〔1247〕，李冶的《测圆海镜》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕，杨辉的《详解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《杨辉算法》〔1274-1275〕，朱世杰的《算学启蒙》〔1299〕和《四元玉鉴》〔1303〕等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有： 公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄帝九章算法细草》已佚） 公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。 公元1247年，南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。 公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。在《测圆海镜?序》中，李冶批判了轻视科学实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。 公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。 公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（etienne bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年间牛顿（issac newton）才提出内插法的一般公式。 公元十四世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。 另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图（幻方）的研究、小数（十进分数）具体的应用、珠算的出现等等。 这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。
反三角函数公式：arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
一．基础知识自测题：1．sin(arccosx)＝; tg(arcsinx)＝; sin(arctgx)＝.2．sin(arcsin)＝; arccos(cos)＝; arcsin(cos)＝.3．tg{arcsin[cos(arcctg(－))]}＝.4．cos[arctg＋arccos(－)]＝.5．sin[arctg(－)]＝; cos(2arcsin)＋cos(2arccos)＝.6．arcsin[sin(－5)]＋arctg(tg10)＝ 5－π .7．sin(2arctg)＋tg(arcsin)＝.8．cos{arcsin(sinx)＋arccos[cos(x－)]}＝ 0 .二．基本要求：1．对反三角函数施以三角运算，实质是求三角函数值，通常是利用反三角函数的意义，用辅助角表示反三角函数，同时给定角的范围，然后化成三角函数的运算。而对于反三角函数的多层运算，一般由内到外逐层化简；2．求反三角函数的值的实质是求角，应注意求角的三个步骤：①讨论角的范围，确定在这个范围内不同的角有不同的三角函数值；② 求这个角的一个三角函数值；③ 求出相应的角；3．反三角函数的等式证明，一般必须证明两点：①等式两端的角的同名三角函数值相等；② 等式两端的角在所取的三角函数的同一单调区间内；例一．已知函数f (x)＝arcsin(sinx), g(x)＝cos(2arccosx)，求证：f (x)是奇函数，g(x)是偶函数。证明：函数f (x)的定义域是R,f (－x)＝arcsin[sin(－x)]＝arcsin(－sinx)＝－f (x),∴f (x)是奇函数；函数g(x)的定义域是[－1, 1], g(－x)＝cos[2arccos(－x)]＝cos[2(π－arccosx)]＝cos(2arccosx)＝f (x).∴ g(x)是偶函数。例二．求函数y＝arccos(x2－x)的单调递增区间。解：由－1≤x2－x≤1, 解得≤x≤,设u＝x2－x＝(x－)2－, 则当x∈[, ]时, u单调递减，且u∈[－1, 1]时，y＝arccosu单调递减， ∴当x∈[, ]时， y＝f (x)单调递增。例三．计算：(1) tg(arcsin＋arccos); (2) sin(arcctg).解：(1) tg(arcsin＋arccos)＝tg(＋)＝.(2) sin(arcctg)＝sin(·)＝＝.例四．求值：(1) tg[2arcsin(－)－arccos]; (2) sin(2arctg)＋cos(2arctg2).解：(1) arcsin(－)＝－,设arccos＝β,则cosβ＝,β∈(0, ), sinβ＝,tg＝,∴原式＝tg(－－)＝－tg(＋)＝－＝－(8＋5).(2) 设arctg＝α，arctg2＝β, α,β∈(0, ), 且tgα＝, tgβ＝2,因此sin(2arctg)＝sin2α＝＝, cos(2arctg2)＝cos2β＝＝－,∴原式＝－＝－.例五．求值：(1) arcsin[sin(－)]; (2)arccos(cos);(3) arcsin[cos(＋α)]＋arccos[sin(π＋α)], 其中0<α<.解：(1) sin(－)＝－sin＝sin, ∴arcsin[sin(－)]＝arcsin(sin)＝.(2) arccos(cos)＝arccos[cos(π＋)]＝arccoscos＝.(3) ∵0<α<, ∴ cos(＋α)＝－sinα＝sin(－α), sin(π＋α)＝cos(＋α),∴原式＝arcsin[sin(－α)]＋arccos[cos(＋α)]＝－α＋＋α＝.例六．求证：sin{arccos[tg(arcsinx)]}＝.证明：设arcsinx＝α, α∈[－, ], sinα＝x, cosα＝, tgα＝,∴ arccos[tg(arcsinx)]＝arccos, 设arccos＝β, β∈[0, π],cosβ＝, sinβ＝＝,∴ sin{arccos[tg(arcsinx)]}＝.例七．求值：(1) tg[arcsin(－)]; (2) arcsin－arctg.解：（1）设arcsin(－)＝α, α∈(－, 0), 且sinα＝－, ∴ cosα＝,tg[arcsin(－)]＝tg＝＝－.(2) 设arcsin＝α，α∈(0, ),且sinα＝, cosα＝,arctg＝β, β∈(0, ), 且tgβ＝, sinβ＝, cosβ＝,又α－β∈(－, ), ∴ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝,∴α－β＝, 即arcsin－arctg＝.例八．已知arcsin
一反三角函数的三角恒等式：1).sin(arcsinx)=x (|x|≤1)2).cos(arccosx)=x (|x|≤1)3).tan(arctanx)=x (-∞ 反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=∏－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=∏－arccotxarcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=xx∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=xx∈(0，∏),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)