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段学复，数学家，数学教育家。长期从事代数学的研究，在有限群的模表示理论、代数李群、有限p群、群论与组合数学的应用等方面取得重要成果。培养了一大批代数学研究人才。自1952年始，任北京大学数学系系主任近40年。段学复，1914年7月29日出生，陕西省华县人。父亲段大贞为清光绪10年（1884年）甲申进士，母亲雷咏霓亦知书达理。10岁之前，段学复一直在家由父亲教语文，认方块字，读经史书籍。“得天下英才而教育之，一乐也”的教育思想对段学复起了较大的影响。与此同时，他还跟一位当时在北京学医科的堂兄学完了初小算术。当时附中的教育质量是很高的，教材先进，要求严格，还开有选修课。以傅种孙先生为代表的数学教学更是使段学复对数学产生了浓厚的兴趣。由于对数学的爱好，1932年高中毕业后段学复考入了清华大学数学系（当时称为“算学系”）。段学复在清华大学的4年中先后听过熊庆来、郑桐荪、杨武之、赵访熊、曾远荣等教授的课。这些老师各有特点，使段学复在分析、代数、几何诸方面都得以打下了坚实的基础。在此期间，段学复还选修了来校讲学的美国麻省理工学院N．维纳（Wiener）教授开设的傅立叶级数与傅立叶积分课，旁听了法兰西学院的J．阿达马（Hadamard）院士讲授的偏微分方程课。这些都使段学复开阔了眼界。体育课老师马约翰是使段学复终生难忘的又一位教师。在马教授的热情鼓励和科学训练下，原来非常瘦弱的段学复在一学期之后居然就能顺利地跑完一英里长的距离。正是由于健康状况大为改善，才使他得以在抗战期间经受住了几千里的长途颠簸。段学复刚入学便认识了华罗庚，从第二年起两人就相当熟了。他们和华罗庚在中文系的一个同乡王兆芹（时风），三个人常常一起吃完晚饭后就在校园里长距离散步，边走边谈，既聊数学，也谈时局。华罗庚对于学习数学的方法和作法，为段学复推荐的课外数学书籍等都对段学复有较大的影响和帮助。当时，日本侵略军正在不断扩大侵华战争。在民族生死存亡的紧要关头，段学复也受到了爱国主义的洗礼。他参加了1935年12月9日和12月16日的两次示威游行以及1936年2月29日晚在清华大学新体育馆的集体灭灯静坐，抗议大批军警闯入校园逮捕学生。1936年夏，段学复获得理学士学位，毕业留校任助教。1937年7月7日，日本侵略军借口所谓芦沟桥事件悍然侵占北平，挑起全面侵华战争。段学复于7月29日傍晚与母亲等三人一起离开北平，一路辗转颠簸，于当年10月来到由北京大学、清华大学和南开大学联合组成的长沙临时大学工作。次年4月6日段学复在西安与中学语文教师雷彬如女士结婚。此后不久，段学复又独自一人去昆明，在西南联合大学－清华大学任教。当年秋天，华罗庚从英国剑桥大学访问归来，成为西南联合大学－清华大学的教授。他讲授的“近世代数”课程以当时问世不久的B．L．范德瓦尔登（vanderWaerden）的《近世代数》第一卷为蓝本，但又做了不少的修改。段学复担任了刻写讲义和批改学生习题的任务。华罗庚还在教师中作过《域论八讲》的系列报告。这些都使段学复的代数学功底提高到一个新水平。另外，华罗庚还主持一个有限群讨论班，参加的有段学复、孙本旺、樊?和徐贤修等。大家轮流报告，素材是P．霍尔（Hall）刚发表不久的重要论文《对P－群理论的贡献》和H．查森豪斯（Zassen－haus）的《群论教程I》。从这时起，华罗庚与段学复开始合作研究p群的计数定理。这也是段学复从事代数学、特别是有限群方面的理论研究和培养人才工作的开端。1939年上半年，段学复考取了留英公费生。由于第二次世界大战爆发和日本侵华战争的扩大，他几经波折才于次年9月到达加拿大，进入多伦多大学。同时入学的还有郭永怀、钱伟长、林家翘等。多伦多大学数学系是当时加拿大最大的数学系，段学复的导师R．布劳尔（Brauer）当时正在创建有限群的模表示论。系里还有G．deB．鲁宾逊（Robinson）和H．S．M．考克斯特（Coxeter）等代数学方面的著名教授。段学复在多伦多选修了四门课程，其中包括布劳尔和鲁宾逊的群论。除此之外，段学复主要是在布劳尔的指导下进行研究，很快就取得了一些关于p群的成果，并于1941年获得硕士学位。此后他于1941年8月进入美国普林斯顿大学数学系攻读博士学位。普林斯顿在当时有世界数学中心之称，著名的代数学家J．H．M．韦德伯恩（Wedderburn）就在该校任教。C．谢瓦莱（Chevalley）则是系里30多岁的年轻助教授，学术上非常活跃。而普林斯顿高等研究院更是汇集了像A．爱因斯坦（Einstein）、H．外尔（Weyl）、J．冯·诺依曼（vonNeumann）等这样一批世界闻名的科学家。在这里，段学复参加了不少课程和讨论班，其中有谢瓦莱的代数几何基础和积分方程，外尔的代数数论和二次型的算术理论，C．L．西格尔（Siegel）的解析数论和超越数论。他还听了S．莱夫谢茨（Lefschetz）的拓扑课和A．丘奇（Church）的逻辑课等。在科研方面，段学复在布劳尔和谢瓦莱的指导下，通过听课、参加讨论班，特别是通过钻研他们已经发表的论文和尚未发表的文稿、书稿，最终与他们合作完成了有限群的模表示理论和李群、代数群两方面的重要工作。1943年段学复获得普林斯顿大学哲学博士学位。这之后，他继续留在该校做了两年的博士后，还到E．阿廷（Artin）处作过4个月的访问学习。在此期间，他曾任数学系研究助理。从1945年9月起，段学复到普林斯顿高等研究院担任外尔的助手，协助他开设很有特色的群论课，并帮助修订其经典名著《典型群》（1939），受到他的熏陶，一直到1946年回国。在国外的这6年是段学复的数学生涯中很重要的一个时期。这6年里，他学习过的课程几乎涉及到了基础数学的各主要领域。而有幸向布劳尔和谢瓦莱这两位大师学习并与之合作，对于段学复的影响更是不言而喻的。抗战胜利以后，段学复婉言辞谢了外尔的挽留，毅然决定回国。他认为：落叶归根，祖国总是要回去的；不管怎样，自己的事业只能在中国！1946年7月段学复回到上海。在上海他见到了即将全家赴美的华罗庚，并与之一起参加了李公朴、闻一多两位烈士的追悼会。与此同时，段学复还会见了当时正在筹建中央研究院数学研究所的陈省身。陈省身聘请段学复作数学研究所的兼任研究员，负责指导新从浙江大学毕业到所的曹锡华。1946年10月段学复回到了阔别9年的清华园，任清华大学数学系教授，从第二年起任代理系主任。在这段时间里，他连续开设了高等代数、高等微积分、近世代数、点集拓扑等课程。1946－1947学年他指导应届毕业生万哲先的毕业论文。1947年上半年，他又指导当时已转到清华大学的曹锡华学习抽象代数和模表示论，并于1948年下半年推荐他赴美到当时在密执根大学任教的布劳尔处作博士研究生。现在曹锡华已经在华东师范大学建立起了活跃的代数群科研集体。在代理系主任期间，段学复聘请了许宝騄、申又枨、庄圻泰等北京大学教授到清华大学兼课，又聘请由英国回来的闵嗣鹤到清华大学任教。1948年12月13日清华园先北平而解放。段学复被任命为数学系主任。在中华人民共和国的新气象鼓舞下，他不顾自己大病初愈的身体，以极大的热情投身到繁重的教学、科研和行政领导工作中去。1950年春天华罗庚从美国回到清华大学，与其同时回国的程民德也应邀到清华大学任教。在全系教师的共同努力下，从1949年到1952年，清华大学数学系为中华人民共和国培养出了一批后来成为各方面骨干的优秀人才，其中在代数学及其相近领域工作的有万哲先、丁石孙、曾肯成、裘光明、王萼芳等人。段学复从1950年至1987年一直担任中国数学会常务理事，1950－1952年参加了中国科学院数学研究所的筹建工作，1952年任北京大学数学力学系主任，1955年被选为中国科学院学部委员。他参加了1956年国家“十二年科学远景规划”等全国科学规划及数学学科规划的制定和名词审定工作，参加了教育部和高教部的科研规划、教学计划的制定以及教材编审工作。1981年上半年段学复主动辞去了北京大学数学系主任的职务。但他的工作担子并没有减轻很多。1981—1984年他担任国务院学位委员会第一届数学评议分组成员兼召集人之一，同时还任北京大学数学系和数学研究所学术委员会主任。他曾任《中国科学》、《科学通报》、《数学学报》、《数学通报》和《数学年刊》编委，《数学进展》主编（1980－1987）、名誉主编。他还是《中国大百科全书》总编委会委员，数学卷执行副主编，数论、代数学分组主编。中国群表示论的奠基人几十年来，段学复先后发表了约30篇学术论文以及一些其他论著。作为一个数学家，段学复的研究领域主要是代数学。他的最早也是最重要的成就是在有限群的模表示论，特别是指标块及其在有限单群和有限线性群构造研究中的应用上。有限群的模表示论研究有限群在特征为素数P的域上的表示，当P能够整除群的阶时，其表示与通常的有限群在特征0的域上的表示有很大的不同，理论更加复杂、深刻。这一理论自1935年由布劳尔创立，到40年代已初具规模。就在这时段学复开始了这方面的研究工作。在布劳尔1942年发表的重要论文《论阶恰含某素数的一次幂的有限群》的指引下，他在同一题目的博士论文（普林斯顿大学，1943年）中，在与布劳尔合作并继续布氏的工作而完成的两篇论文中取得了一些迄今仍有意义的重要成果。它们主要是：（1）得出了其阶为pqbm的某些单群的结构，其中p和q是互不相同的素数，b和m为正整数且满足m≤p－1。（2）证明了L．E．迪克森（Dickson）在其《线性群》一书中所列出的单群表直到阶都是完全的。（3）对于pg'阶的线性群，这里p为素数且（p，g'）=1，当其维数≤（2p十1）/3时，确定了它们的构造。为了得到这些结果，段学复证明了模表示论的一些基本事实，例如他确定了pg'阶群的p块的布劳尔树的重要性质。他证明的三个引理，分别被人们称为“（布劳尔－段－）斯坦顿（Stanton）原则”、“（布劳尔－段）指标块分离原则”和“布劳尔－段定理”。几十年已经过去，但这些成果并未失去它们的光彩。这一方面是由于它们所涉及的问题始终是有限群理论研究的主流，这些工作是后来发展的起点；另一方面也是由于现有的新结果仍然无法绕过或者替代段学复自己以及他和布劳尔合作得到的上述结果。正因为如此，这些结果被详细地写入W．费特（Feit）的表示论名著《有限群的表示理论》，并为群论工作者广泛引用。据不完全统计，在1945年以来的数学论著中，引用段学复的论文的就有30多处。50－60年代，段学复沿着这一研究方向继续工作。这期间他在北京大学组织过两次有限群模表示论讨论班，指导青年教师和研究生。特别是通过1964－1966年的讨论班培养的研究生洪加威、李慧陵，他们决定了一些特殊类型的单群。就在他们有可能取得突破性进展时，“文化大革命”开始了，我国在这个方向的研究被中断。也正是在这个时候，有限单群分类的工作在国际上轰轰烈烈地开始了。“文化大革命”以后，段学复指导学生继续进行这方面的研究工作，其中突出的是博士生张继平。他用表示论和单群分类定理彻底解决了维数小于p的复线性群的结构问题。段学复在代数李群方面也做了出色的工作。复数域上的代数李群是一个复矩阵群，其中的矩阵由其系数所满足的一组代数方程式所决定。这一概念的萌芽早在上个世纪末就已出现，这之后被人们遗忘了50年。但在此期间，E．嘉当（Cartan）和外尔对李群李代数进行了深入的研究。1943年，谢瓦莱首先在其题为《矩阵间的一种新关系》的论文中引进了利用矩阵的张量不变量而得到的矩阵复型的定义，然后又进一步利用矩阵的复型给出了特征为0的域上n维矩阵李（Lie）代数的子代数为代数李代数的定义。这时段学复跟随他学习李群、李代数，并合作发表了论文，概述了谢瓦莱－段学复合作工作的证明线索，而全文则因为两位作者之间的联系一度中断，迟至6年以后才得以发表。在文中他们证明了代数李群的如下基本定理：“每个代数李群的李代数是代数的李代数，而每个复数域上的代数李代数必定是某个代数李群的李代数”。由于有了这个定理，就可以利用李代数的方法把代数李群推广到特征为0的任意域上去。著名数学家A．博雷尔（Borel）曾经指出：40年代中期谢瓦莱和段学复用李代数的方法把代数李群推广到特征零的任意域上，这是1955年线性代数群一般理论诞生的前奏。80年代中，蓝以中曾进行与代数李代数有关的研究。事实上，段学复在这方面最早的一篇论文是《关于幂零矩阵的复型的一个注记》。在这篇论文中，段学复对前述谢瓦莱的第一篇文章里的定理6，给出了一个利用矩阵若尔当（Jordan）标准型的计算的直接而简单得多的证明，并将其加强且推广到特征p≠0的域上。由于P．L．M．叙洛夫（Sylow）定理的成立，p群的研究在有限群理论中具有特殊的意义。早在30年代末霍尔关于p群的重要论文刚发表不久，段学复就开始了这方面的研究。他与华罗庚合作研究了含有指数为p2（p>2）的循环子群的p群，给出了有关的计数定理，并对这种群作了完全分类，其结果用英文发表。在此基础上，华罗庚进行推广，引进了p群的秩（即pn阶群中包含的最大循环子群的指数pn－a中的a）和伪基底的概念，证明了任意奇数阶p群必有伪基底，并证明了循环子群的个数的米勒（Miller）定理的推广等计数定理（见“p群的某些计数定理”）。段学复运用华罗庚的上述结果，通过精细的分析计算，对于奇数阶p群中子群个数的库拉考夫（Kyπaков）定理进行了推广，证明了奇pn阶秩a的p群中pm阶子群的个数N（m）modp3当2a+1≤m≤n时必为1，1十p，1十p十p2或1十p十2p2之一。这方面后来有很多外国尤其是苏联的数学家进行研究，至今仍然吸引着研究者的注意。段学复还对华罗庚的伪基底定理给出了一个更加简明的证明。主要从80年代初起，段学复和王萼芳的学生徐明曜、唐守文等人在上述几篇论文的思想指引下和发展中进行工作，在p群的幂结构和换位子结构之间的联系上取得了研究成果。唐守文继续段学复1939年对于具有循环弗拉蒂尼（Frattini）子群的有限p群的工作，最终给出了这类p群的一个完全分类。段学复在《关于p群的一个定理》中，利用换位元素的运算法则证明了：若p群G包含一个最大交换正规子群A且G/A为循环群，则A/Z≌K，其中Z是G的中心而K是G的换位子群。对于G的上、下中心群列中相应的子群，他也证明了存在相应的同构。这项工作为一些中外学者所引用。布劳尔与段学复还有一些未发表的关于p群的工作，手稿保留至今。电子计算机的出现使组合数学与离散数学得到了蓬勃的发展，而有限群理论与组合数学（包括区组设计、有限几何、图论等）、编码理论以及密码学等等都有着密切的联系。同时，有限群的计算机方法、算法复杂度以及实用软件的研制等工作也由于其理论意义和实用价值，从60年代起得到了迅速的发展。70年代前期，段学复为某科研部门进行了几项应用问题的研究，所给出的方法在实际工作中使计算时效提高了许多倍。他还与其他同志一道开办讲习班，为实际工作部门培养了一批专门人才，受到有关部门的嘉奖。“文化大革命”以后，他进一步在计算群论与组合数学方面开展研究工作，并与王萼芳一起合作培养了王杰等5名这个方向的博士和硕士研究生。1985年，段学复领导的群论科研集体中的王萼芳、石生明、徐明曜三人的“有限群及其表示论与组合数学”科研项目被评为国家教委优秀科技成果，他的《有限群对一类组合问题的应用》获某科研部门科技成果奖。1985年10月9日，段学复荣获中国科学院“从事科学工作50年荣誉奖状”，1989年11月1日荣获中国科学院“学部委员荣誉章”。1990年12月荣获国家科委、国家教委“从事科技工作40年荣誉证书”。毕生为建系、育才而奋斗1952年，为了更好地适应全国解放所带来的各项事业的飞速发展，教育部在较大范围内对所属高等院校的地区分布、专业设置以及教学科研力量的配备等方面作了合理的调整。北京大学新的数学力学系由原来的老北京大学、清华大学以及燕京大学三校的数学系组建而成，段学复受聘为系主任。新中国百业待举，需要大量的各种人才。北京大学任重道远，仅数学力学系每年就要招收近200名大学生，培养约十名研究生。然而，院系调整后的北京大学数学力学系仅有30名左右的教师，只有分析和高等数学两个教研室。不仅缺乏微分方程、概率统计以及计算数学等重要学科方向的教学科研力量，而且由于西方对我国的全面封锁，就连课堂教学用的教材都十分稀少。面对这一艰巨而繁重的任务，年仅38岁的段学复团结全系教职工，特别是1955年以后，在系副主任程民德教授的协助下，支撑体弱多病的身体为筹建新的数学力学系倾注了大量的心血。首先是在学习苏联上下功夫：一是派出去，曾先后有4名教师赴苏学习；二是请进来，有系主任顾问、苏联力学家别洛娃（Белва）到系亲自指导5名力学研究生，且不久之后就在校教务长周培源教授的支持和协助下，成立了全国第一个力学专业。身为系主任的段学复十分重视发挥专家的作用，无论工作多么繁忙也要安排与别洛娃会谈工作，在1953－1954学年中甚至每周一次。值得一提的是，在国内推广重要的教学环节——习题课正是在这个时候开始的。当时到系里讲学的苏联代数学及概率论专家E．Б．邓肯（Дынкин）和波兰数理统计学家菲茨（Fitz），为在国内领先成立概率论教研室作出了贡献。其次是创造条件，充分发挥国内专家的力量，如配合高等教育部于1954年在北京大学数学力学系举办了常微分方程和偏微分方程的讲习班，听讲的有来自全国各地的教师100多人，这为扩大专业队伍进而设置微分方程教研室带了个好头。1955年，北京大学数学力学系又成立了计算数学教研室，为在国内发展这一方向奠定了基础。此后，北京大学数学力学系还与莫斯科大学制备了科学研究合作规划。在教材建设方面，自50年代起，在段学复的亲自参加下，经全系教师的努力，先后译出了A．Г．库洛什（Kypoш）的《高等代数》、A．Я．辛钦（Хинчин）的《数学分析》和B．И．斯米尔诺夫（Cмирнов）的《高等数学教程》等书籍，解决了教学的急需，其中公开出版的也为兄弟院校提供了良好的教材和参考书。就这样，在全系干部和教职员工的共同努力下，从1952年到1966年，北京大学数学力学系为国家培养出了约2000名本科毕业生和数十名研究生，同时在科研方面也取得了很好的成绩。系主任的工作是非常繁忙的，段学复的身体不好，长期患有胃肠溃疡。但就在这种情况下，他的教学和科研工作一直没有停过。他多次开设高等代数、近世代数、李代数等课程，带研究生，指导学生撰写论文。1952－1966年段学复在其他同志的协助下，培养出了许以超、沈光宇、蓝以中、徐明曜、卢才辉等代数方面的本科生和石生明、洪加威、李慧陵等研究生。特别应当指出的是，段学复在1952－1966年间举办了两期有限群模表示论讨论班。第一次是在1954—1955年，他与聂灵沼、万哲先合作撰写讲义，无保留地提出自己所了解的重要研究课题，引导王萼芳研究阶≤27000的有限单群，取得了成果。第二次是受教育部的委托于1964—1966年间举办的。段学复与王萼芳合作编写了讲义，并有陈重穆等外单位教师和本系的研究生参加，开展专题研究、撰写论文。现在陈重穆已经在西南师范大学建立起了活跃的有限群科研集体。1960—1966年段学复还兼任北京电视大学数学系主任，两次参加北京市中学生数学竞赛工作，写文章、作报告，并撰写了《对称》一书，为普通教育和成人教育付出了心血。从1978年起，随着我国学位制度的建立，段学复在其他同志的协助下，集中力量培养出了有限群及其表示论和计算群论与组合数学这两个方向的5名博士和14名硕士研究生，还指导了一名博士后。同时也培养了丘维声等中青年教师和一些外校的进修教师。1988年，他参加编写的《高等代数》获国家教委“全国高等学校优秀教材奖”。段学复曾多次参加国内外学术会议，在大会上做学术报告。1982年他主持中国数学会第一届全国代数学学术交流会，1984年主持北京国际群论讨论会，并主编了会议论文集。直到1988年离休之后，段学复仍然在为我国的数学事业勤奋工作。近年来他承担着国家自然科学基金和国家教委博士点基金的科研项目，培养博士生、指导博士后。同时他仍然用相当大的精力关心和帮助青年教师的成长。段学复的座右铭是“实事求是，认真严谨”。多年的治学经历使他深深体会到，科学是老老实实的学问，任何一点调皮都是不行的。必须勤学多练，打好基础，学深学透，做到能够灵活运用，至少有一两手过得硬的功夫。抓住问题后，要在掌握前人已有的主要工作的基础上，开阔思想，多方探索，锲而不舍，以期一旦贯通，得到成果。他以发现人才、培养人才为乐事，认为：师不必贤于弟子，能培养出胜过老师的学生是为师的最大快乐。段学复曾经多次患病，特别是1959年夏天做的直肠癌切除手术，给他带来了永久性的不便和困难。但他始终保持乐观主义的态度，与疾病做了顽强的斗争，一直坚持工作。
列几个题目引导一下你吧，呵呵，我不是学这能帮助你的也只能这样了。抽象代数中的若干问题[数学专业论文]复变函数积分方法探究[数学专业论文]高阶微分方程解的分布问题[数学专业论文]几类函数的留数定理[数学与应用数学]与复积分有关的几个定理[数学与应用数学]证明等边三角形的几种复数方法[数学与应用数学]浅谈新课标下小学数学应用题的改革对了，要查更多的内容的话，在网站关键字输入“数学”就可以如果对你有帮助，请加分哦。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。 线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易. 一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 我们不仅要准确把握住概念的内涵，也要注意相关概念之间的区别与联系。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。 二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
1)容易验证对x∈I，y∈I则xy∈I的充分必要条件是xy=yx。若I可换，则I是G的子群，但|I|＞3/4|G|，所以I=G，即G是交换群。否则，I有两个元x和y,xy≠yx,这时|C(x)|<=1/2|G|，于是I中至少有4/3│G│-1/2│G│=1/4│G│个元与x不可换。不妨设他们为a1,a2,……,at(t=1/4│G│),则有1/4│G│个元a1x,a2x,……,atx都不属于I，因此|I|<=3/4|G|，矛盾。故G为交换群。2）此时G不可换。显然|C(x)∩I|<=1/2|G|，若|C(x)∩I|<1/2|G|，类似1）可证明|I|<3/4|G|引发矛盾，所以|C(x)∩I|=1/2|G|。由于C(x)∩I包含于C(x)，所以│C(x)│>=1/2│G│， 但C(x)是子群其阶不能大于1/2│G│，所以│C(x)│=|C(x)∩I=1/2│G│。因为C(x)包含于I中，任给y,z∈C(x),yz∈C(x)从而属于I，所以yz=zy,即C(x)是G的一个指数为2的交换子群。
这是一个定理的特例。若G是交换群，a和b都是G中元，o(a)=m,o(b)=n,m和n是正整数，且(m,n)=1,则o(ab)=mn证明：设o(ab)=k,因为(ab)^(mn)=(a^m)^n(b^n)^m=e,故k整除mn(ab)^k=a^kb^k=e,a^k=b^-k,所以o(a^k)=o(b^-k)=o(b^k)即m/(m,k)=n/(n,k)m(n,k)=n(m,k)所以m整除n(m,k),但(m,n)=1,所以m整除(m,k)，推出m整除k，同理n整除k,所以mn整除k因此k=mn.证毕最后注意o(ab)=o(a-1aba)=o(ba)
1a 按子群的定义去证明即可，H为G的子群《===》对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。本题即证明任给x，y∈H1∩H2，有x·y^(-1)∈H1∩H2由于x，y∈H1，所以x·y^(-1)∈H1，同理x·y^(-1)∈H2所以x·y^(-1)∈H1∩H2 ，H1∩H2 是G的子群。1b G为整数加法群Z，H1=<2> ,H2=<3> 即H1为2的倍数，H2为3的倍数 H1和H2为子群，但H1∪H2不为子群，很明显5=2+3不属于H1∪H2 不满足封闭性。2 证明写出来有点长，第一同态定理，建议你看看书，网上有很多中文的近世代数书First homomorphism theoremLet G and H be groups, and let φ: G → H be a homomorphism. Then:The kernel of φ is a normal subgroup of G,The image of φ is a subgroup of H, andThe image of φ is isomorphic to the quotient group G / ker(φ).In particular, if φ is surjective then H is isomorphic to G / ker(φ).证明建议你看看就是证明Q对Z的商群的元素只有有限阶。很简单 ，Q中任何一个元素可以写成 m/n 其中m和n 是整数那么任给 r= m/n+Z ∈Q/Z 有nr=n(m/n+Z)=m+Z=Z=0+Z 即nr为Q/Z中单位元，r的阶为n，有限阶证明H是G的子群且其指标【G：H】=2，证明H为G的正规子群H是正规子群的定义是 任给g属于G，h属于H,有 g乘H乘g的逆=H【G:H】=2,则|G/H|=2,设G/H={H,aH} ,则G=H∪aH，其中a不属于H因为H在G中的指数为2,所以Ha,aH都是G的不同于H的子群,所以必有Ha=aH成立. 所以aH(a的逆)=H若g属于H，显然g乘H乘g的逆=H 若g属于aH，g=ab 其中b属于H ，呢么 g乘H乘g的逆=abH(b的逆)(a的逆)=aH(a的逆)=H素数阶群一定是循环群。设p为素数,|G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,只有单位元e的阶为1，自然G中必有阶为p的元素设a的阶=p,如此a^p=e且e、a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G是不同的p个元素注意|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)}=, G是由生成元a生成的循环群.
按照教育部颁布的文件，自2021年1月1日起，每年会对本科毕业论文实行随机抽查，重点抽查对象为本科毕业毕业论文，若抽查发现有抄袭、伪造、代写等学术不端行为，论文作者的学士学位将被取消。我相信会多人对抽检还是有很多疑问的，比如论文抽查是什么？论文抽查所有的论文吗？paperfree论文查重小编给大家讲解。 一，什么是论文抽查？ “论文抽样调查”是指教育部为杜绝抄袭、代写等学术不端现象，在上一学年度以随机抽取方式复审授予学士学位的论文。所抽查的论文应包括本地区所有本科层次普通高校及其本科专业，原则上抽查所占比例不低于2％。通过硕士、博士抽样检查其创新科研能力，本科毕业论文抽检主要考察学生的学术素养。 二、论文抽查主要检查哪些内容？ 论文抽查主要检查的内容包括论文选题、逻辑、研究方案和计划、开题报告、学术规范等。文章共分初评和复评两个环节，初评由三位专家来进行，如果有两位专家认为论文不合格，则判定有问题。如果专家认为不合格就可以复评，如果复评不及格将被视为存在问题的论文，如果只有一篇不符合要求的文章，允许学生修改。但经核实，毕业论文确有抄袭、篡改、代写等学术不端行为的，将取消其学位授予，并取消学位证书。
知道。根据《博士硕士学位论文抽检办法》规定，我国将从上一学年度全国授予博士、硕士学位的论文中分别抽检10%和5%，结果将反馈学位授予单位，博士抽检本人是知道的。博士论文是由攻读博士学位的研究生所撰写的学术论文。它要求作者在博士生导师的指导下，选择自己能够把握和驾驭的潜在的研究方向，开辟新的研究领域。
不一定，但是博士的抽检率是很高的，因此千万不要抱有侥幸心理
在12月中旬到22年1月左右。根据论文查重系统显示，国家2021博士论文抽检时间是会分批次的，第一批大概是在12月中旬到22年1月左右。论文抽检是指省级教育行政部门以随机抽样为主，重点抽样为辅，对各高校毕业生论文进行检查的一种措施。
博士研究生阶段的学习，使我对物理有了更深刻的了解，也使我对自己有了重新的认知。我认为，这段学习生涯，是我人生的一次重要旅行。在这次旅行即将结束的时刻，回忆途中的点点滴滴，我深深感觉到，没有他人对我的帮助，我甚至都没有勇气开启这段难忘的航行，更不用说克服重重困难，一路走来了。 在这里，我首先要感谢我的导师xxx研究员。在我即将踏上这次旅行的.时候，先生作为指路人，以高瞻远瞩的目光给我指明了前进的方向，让我在前进的途中具备了明确的目标感;先生还一丝不苟地给我标记了旅途中可能存在的陷阱，让我时刻保持警惕，坚持正确的方向。几年之中，先生一直在彼岸，我在途中，时至今日，我勉强能靠岸，欣喜之余，对先生的辛勤付出，殷切希望，以及关心爱护表示最真诚的感谢。 我要感谢师兄xxx博士，我们俩在这次旅途中乘坐了同一条舰船，大部分时间都是他掌舵，我们一起克服困难，披荆斩棘，一路向前。这次旅途中，我们俩有喜有忧，成功过，失败过，但无论如何，这种最诚挚的友谊将会对我未来的学习和工作输入无限的正能量。 我还要感谢师兄xxx博士，本论文的许多工作都得益于他对电子实验室的贡献，没有他的辛勤劳动，很多工作无法进行下去。 我还要感谢师兄xxx博士。xx在我懵懂的时候，给我宝贵的意见和建议，让我变的笃定，继续努力。xx对我的生活提供了无私的帮助，使我能够安心学习，勇往直前。 我还要感谢xxx工程师和xxx研实员，她们俩对电子实验室的建设付出了很多汗水。 感谢xxx副研究员，xxx副研究员，xxx副研究员，xx副研究员，xx研究员，xxx，xxx，xxx，xxx和原子分子动力学组的每一个人，他们都对我的进步提供了帮助。 感谢人教处的xx老师，xxx老师和xxx老师在我学习期间提供的耐心帮助。 感谢我的父母，亲戚和朋友，他们的支持和宽容是我专心学习，并完成学业的有力保障。 最后，我要向所有鼓励，关心和帮助过我的人表示忠心的感谢。
致谢类言语交际的过程，在一定的条件下，致谢者选择特定的话语形式实现“表达感谢”的过程。本文是我为大家整理的博士生 毕业 论文致谢，仅供参考。
博士生毕业论文致谢篇一：
本课题是在我的导师李会庆研究员的精心指导和悉心关怀下完成的。导师严谨的科研思路、实事求是的治学态度、渊博的学识、敬业的精神、对科研工作敏锐的洞察能力是我毕生学习的楷模。在此，对导师三年来对我学术上的精心指导与生活上的关怀表示最崇高的敬意和最衷心的感谢。
衷心感谢山东大学公共卫生学院赵仲堂院长、王永杰副书记、姜希宏副书记、李士葆老师等在业务与生活等方面给予的关心与帮助。感谢姜宝法教授、王束玫教授、贾存显老师、王洁贞教授等在我学习上提供的帮助。
感谢山东省医学科学院生物中心高雪芹老师、黄海燕老师等在我实验中给予我的无私帮助。
感谢山东大学齐鲁医院化验室邢杰大夫和山东省医学科学院皮肤病防治所检验科的李娜大夫等在标本采集中提供的帮助与支持。
感谢章丘计划生育服务站、诸城计划生育服务站、岱岳计划生育服务站和无棣计划生育服务站的领导与有关人员在现场调查与标本采集过程中提供的大力支持与帮助。
感谢山东省医学科学院基础所流行病研究室的刁玉涛老师在科研工作中提供的支持与帮助。
感谢师兄弟、师姐妹王志萍博士、郑国华博士、陈会波博士、周英智博士、杨艳芳博士、房学强博士、郑薇硕士和黄克锋硕士在我学习与生活上的关心与帮助。
感谢我的家人对我学习和生活上的全力支持和关怀。
最后感谢在我学习、生活及论文完成过程中给予过我关心和帮助的所有老师和同学。
博士生毕业论文致谢篇二：
首先，衷心地感谢我的导师赵仲堂教授。当我面对科学的高峰有些彷徨时，是导师在鼓励我，“攻坚莫畏难，只怕肯登攀”;当我在科学的殿堂中步履蹒跚时，是导师在指点我，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”;当我埋头于书本执迷不悟时，是导师在明示我，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”;当我在实际工作中遇到困难时，是导师在引导我，“壁立千仞无欲则刚，海纳百川有容乃大”。我的导师，学识渊博，对专业孜孜以求，精益求精。百忙之余仍然读书不辍，不断探求;为人师表，率先垂范;传道授业，呕心沥血。如果说我从导师那里学会了怎样做好学问，那么首先应该说我从导师那里领略了真正的学术精神，导师严谨的治学态度和坚韧的探索精神将使我终生受益。
衷心地感谢李士雪、王志玉、徐凌中、姜宝法、王束玫、彭绩、方鹏骞、卢祖洵、李立明、曾光等教授的鼎力支持，以及王陇德、姚志彬、江捍平、张丹、钟育新、陈广源、王立新、刘松暖、陈金喜、钟天伦等领导，在我工作和学习中，时常能感受到他们对我的关心和帮助。
衷心地感谢山东大学公共卫生学院的全体老师。当我在千里之外迷茫、徘徊时，是他们慷慨地为我敞开了大门，把我领进了一个深奥而又迷人的殿堂。感谢亲爱的师兄弟们，感谢他们在科研工作中给予的大力帮助!
衷心地感谢深圳市卫生局、宝安区卫生局及各系统、各部门的领导、同事和朋友们在我平时工作及完成论文过程中对我的支持与帮助。
最后，衷心地感谢宝安区委、区政府、区人大、区政协、区编委等各级领导及区人事局、区计划局、区财政局等部门、社会各界对我区公共卫生事业的重视和支持!衷心地感谢宝安区公共卫生系统的各位同仁以卓越的执行力作出的突出贡献!
博士生毕业论文致谢篇三：
值此论文完成之际，衷心感谢我的导师李会庆研究员三年来呕心沥血的培养。
三年来，在课题设计、现场调查、实验室工作、论文撰写等各个方面，导师给予了悉心指导和无私帮助。导师敏锐的洞察力、渊博的学识、严谨的治学态度及忘我的奉献精神，是我永远学习的楷模。
衷心感谢山东大学公共卫生学院赵仲堂院长、谢克勤教授、王志玉教授、王洁贞教授、王束玫教授、王志萍教授、姜宝法教授、徐凌中教授、贾存显老师在学习、研究等方面给予的帮助指导和支持。
衷心感谢李士保老师在生活、学习等方面给予的帮助。
衷心感谢山东省诸城市计划生育服务站丁树奇站长、赵民书记及全体工作人员在现场调查、患者追踪、样品保存、运输等方面所做的大量工作。
衷心感谢我的同学刘洪庆、郑文贵、李林贵、周英智、杨艳芳、郑国华等在学习、生活、实验室工作等方面给予的帮助。
衷心感谢山东省医学科学院施胜芳老师、刁玉涛同志在学习、研究等方面给予的帮助。 衷心感谢潍坊市妇幼保健院妇科周兰英医师在提供Cyto Thin 宫颈取样专用毛刷、缓冲液、预实验所用样本等方面给予的帮助。
衷心感谢山东省皮肤病防治研究所郭教授、潍坊医学院病理学教研室郭文君、刘汝清老师、整形医院唐胜建主任在标本超低温存放、宫颈细胞学检测等方面提供的帮助。
衷心感谢山东大学附属齐鲁医院妇科王立杰大夫在提供HPV 阳性标本方面给予的帮助。
博士生毕业论文致谢篇四
三年紧张而又充实的博士生活即将结束，在硕士毕业论文完成之际，我要向所有支持、关心、帮助过我的人们表示最诚挚的谢意!
由衷地感谢尊敬的导师___教授的谆谆教诲。三年来，__老师在学习、工作、生活方面给予了我无微不至的关怀，为我提供一切可能的机会进行学习和锻炼，可以说我的每一步成长，每一点成绩都凝聚着__老师的心血。__老师严谨的治学态度，扎实深厚的学识功底，敏锐的洞察力，果断的工作作风，都是我终生学习的榜样。本论文是在__老师的精心指导下完成的。在论文的选题、实验的进展以及 文章 的修改等环节，__老师的言传身教使我受益匪浅。谨向__老师致以深深的谢意!
本课题在实施中，得到了山东省立医院两腺科___主任及本教研室所有老师和同学热情的帮助与支持，还要感谢病毒所的___老师和毒理所的___老师以及实验管理中心的___老师，他们的支持使我深受感动和启发，在此谨表示最衷心的感谢!
博士生毕业论文致谢篇五
博士阶段的学习即将结束，在将近三年的学习生涯里，曾经得到过许许多多老师、同学和同事的热情关怀和无私帮助，在此谨向他们表示最衷心的感谢和最诚挚的谢意!
首先，我要向我的导师___教授致以衷心的感谢!___老师治学严谨，学识渊博，待人诚恳，胸襟坦荡，他高屋建瓴的学术眼光、兢兢业业的工作精神，为我树立了榜样。三年来，学习上谢老师对我严格要求，精心指导，并很早就向我提出论文写作的指导意见，帮助确定论文的主题，从论文的主题、内容、到整体的结构都给予了细致、有效的指导。在写作过程中，谢老师不惜休息时间，细致、耐心的提出宝贵的修改意见，是论文得以顺利完成。他对我孜孜不倦的耐心教诲和无微不至的关怀令我难以忘怀，受益非浅。
在专业课程学习和论文工作开展期间，还得到___、___、___等老师的精心指导和大力帮助，在此表示衷心感谢，另外在实验和论文撰写过程中还得到___、___、___等同学的支持和帮助，在此一并表示真诚的谢意!
最后，感谢我的父母以及所有这三年学习过程在物质和精神上给予我帮助的亲人和朋友们!
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硕士毕业后论文抽检检查的方式如下：
在上一学年度以随机抽取方式复审授予学士学位的论文。所抽查的论文应包括本地区所有本科层次普通高校及其本科专业，原则上抽查所占比例不低于2%。通过硕士、博士抽样检查其创新科研能力，本科毕业论文抽检主要考查学生的学术素养。
论文抽查主要检查的内容包括论文选题、逻辑、研究方案和计划、开题报告、学术规范等。经核实，毕业论文确有抄袭、篡改、代写等学术不端行为的，将取消其学位授予，并取消学位证书。论文简介：
论文，古典文学中意为交谈辞章或交流思想，现多指进行各个学术领域的研究和描述学术研究成果的文章，
论文一般由题名、作者、摘要、关键词、正文、参考文献和附录等部分组成。它既是探讨问题进行学术研究的一种手段，又是描述学术研究成果进行学术交流的一种工具。
按照教育部颁布的文件，自2021年1月1日起，每年会对本科毕业论文实行随机抽查，重点抽查对象为本科毕业毕业论文，若抽查发现有抄袭、伪造、代写等学术不端行为，论文作者的学士学位将被取消。
抽检办法：
一般对于硕士论文的抽检，每个学校的要求都是不一样的，有的学校可能会在所有学生之中随机抽取20%左右的学生论文再次进行检测，这就是抽检。但是对于论文抽检的标准其实是没有特定的标准的，具体有什么标准还是得看自己的学校是怎么规定的，而且如果是自己的论文查重通过了，最终的论文抽检抽到了自己，没有通过的话，那么对自己也是有一定影响的。
硕士毕业学位论文抽检每年进行一次，抽检范围为上一学年度授予博士、硕士学位的论文，硕士学位论文的抽检比例为5%左右。每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，专家按照不同学位类型的要求对论文提出评议意见。学位论文抽检专家评议意见以适当方式公开。
毕业后论文抽检不合格的处理：
1、在毕业之后进行抽检的话，一定是学校将论文的原件给查重系统进行查重。那么学校在拿到查重结果的时候，会及时的通知你修改毕业论文。进行修改之后的毕业论文进行上传至学校即可。
2、继续等待毕业论文的查重结果，如果毕业论文查重结果达到了学校的要求即可通过查重。如果还是没有通过则需要继续修改毕业论文，但是在毕业后抽检的论文部分学校只有三次降重的机会。
毕业前论文抽检不合格的处理：
1、在毕业之前，首先毕业论文还没有存入学校的档案，这个时候你就可以根据自己的论文指导老师或者辅导员对论文意见进行修改。
2、直到毕业论文通过查重为止，其实在开始撰写论文之前，我们需要确定好一个框架给老师看，让老师给出一点个人的意见，这样对论文重复率有所帮助。
论文抽检的标准：
其实在抽检的时候也不是所有的人都会被抽检上，学校和查重系统一般按照百分之三到百分之五的比例进行抽检，根据学生的数量确定好抽检的数量即可。
毕业后论文抽检检查的主要内容包括选题、逻辑、研究方法、写作安排、格式规范等。不同程度的主要检查内容不同。
本科毕业论文的抽样检查主要考察学生的学术素养，而硕士论文和博士论文的抽样检查主要考察他们的创新能力和科研能力。论文抽查包括初评和复评两个环节。初步评估由三名专家进行。如果三位专家一致认为学生的论文没有问题，初评就会顺利通过。
否则，该论文将继续参与重新评估，并由另外两名专家进行审查。如果重新评估仍然失败，将被视为有问题的论文。一旦有问题的文章被查实有抄袭、代写、篡改等学术不端行为，论文作者的学位将被取消，学位证书也将被取消。
所以，为了顺利毕业，写论文的时候一定要认真写，保证原创性，否则，即使有幸通过了学校的检查，没能通过毕业后论文抽检也是白搭。
实际上，论文查重的时间都是不同的，虽然毕业季3月到6月，大家集中进行论文查重的时间也是这段时间但并不是说只有这段时间才能进行论文查重，这段时间只是论文查重的高峰期而已，在其他时间也可以进行论文查重，所以论文查重。在12月中旬到22年1月左右根据论文查重系统显示，国家2021博士论文抽检时间是会分批次的，第一批大概是在12月中旬到22年1月左右论文抽检是指省级教育行政部门以随机抽样为主，重点抽样为辅，对各高校毕业生论文进行检查的。一般三天内出结果通常情况下是在三天内就会出论文检测查重结果，每年的3月到6月是论文查重的一个高峰期，学校论文查重入口是需要接纳大量的论文稿件，所以说论文查重的时间在这一段时间会显著拉长，正常情况下三天内会出查重结果。