抽象代数论文题目

1)容易验证对x∈I，y∈I则xy∈I的充分必要条件是xy=yx。若I可换，则I是G的子群，但|I|＞3/4|G|，所以I=G，即G是交换群。否则，I有两个元x和y,xy≠yx,这时|C(x)|<=1/2|G|，于是I中至少有4/3│G│-1/2│G│=1/4│G│个元与x不可换。不妨设他们为a1,a2,……,at(t=1/4│G│),则有1/4│G│个元a1x,a2x,……,atx都不属于I，因此|I|<=3/4|G|，矛盾。故G为交换群。2）此时G不可换。显然|C(x)∩I|<=1/2|G|，若|C(x)∩I|<1/2|G|，类似1）可证明|I|<3/4|G|引发矛盾，所以|C(x)∩I|=1/2|G|。由于C(x)∩I包含于C(x)，所以│C(x)│>=1/2│G│， 但C(x)是子群其阶不能大于1/2│G│，所以│C(x)│=|C(x)∩I=1/2│G│。因为C(x)包含于I中，任给y,z∈C(x),yz∈C(x)从而属于I，所以yz=zy,即C(x)是G的一个指数为2的交换子群。

这是一个定理的特例。若G是交换群，a和b都是G中元，o(a)=m,o(b)=n,m和n是正整数，且(m,n)=1,则o(ab)=mn证明：设o(ab)=k,因为(ab)^(mn)=(a^m)^n(b^n)^m=e,故k整除mn(ab)^k=a^kb^k=e,a^k=b^-k,所以o(a^k)=o(b^-k)=o(b^k)即m/(m,k)=n/(n,k)m(n,k)=n(m,k)所以m整除n(m,k),但(m,n)=1,所以m整除(m,k)，推出m整除k，同理n整除k,所以mn整除k因此k=mn.证毕最后注意o(ab)=o(a-1aba)=o(ba)

1a 按子群的定义去证明即可，H为G的子群《===》对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。本题即证明任给x，y∈H1∩H2，有x·y^(-1)∈H1∩H2由于x，y∈H1，所以x·y^(-1)∈H1，同理x·y^(-1)∈H2所以x·y^(-1)∈H1∩H2 ，H1∩H2 是G的子群。1b G为整数加法群Z，H1=<2> ,H2=<3> 即H1为2的倍数，H2为3的倍数 H1和H2为子群，但H1∪H2不为子群，很明显5=2+3不属于H1∪H2 不满足封闭性。2 证明写出来有点长，第一同态定理，建议你看看书，网上有很多中文的近世代数书First homomorphism theoremLet G and H be groups, and let φ: G → H be a homomorphism. Then:The kernel of φ is a normal subgroup of G,The image of φ is a subgroup of H, andThe image of φ is isomorphic to the quotient group G / ker(φ).In particular, if φ is surjective then H is isomorphic to G / ker(φ).证明建议你看看就是证明Q对Z的商群的元素只有有限阶。很简单 ，Q中任何一个元素可以写成 m/n 其中m和n 是整数那么任给 r= m/n+Z ∈Q/Z 有nr=n(m/n+Z)=m+Z=Z=0+Z 即nr为Q/Z中单位元，r的阶为n，有限阶证明H是G的子群且其指标【G：H】=2，证明H为G的正规子群H是正规子群的定义是 任给g属于G，h属于H,有 g乘H乘g的逆=H【G:H】=2,则|G/H|=2,设G/H={H,aH} ,则G=H∪aH，其中a不属于H因为H在G中的指数为2,所以Ha,aH都是G的不同于H的子群,所以必有Ha=aH成立. 所以aH(a的逆)=H若g属于H，显然g乘H乘g的逆=H 若g属于aH，g=ab 其中b属于H ，呢么 g乘H乘g的逆=abH(b的逆)(a的逆)=aH(a的逆)=H素数阶群一定是循环群。设p为素数,|G|=p,由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,a的阶要么是1要么是p,只有单位元e的阶为1，自然G中必有阶为p的元素设a的阶=p,如此a^p=e且e、a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G是不同的p个元素注意|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)}=, G是由生成元a生成的循环群.