月野小兔纸
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你先告诉我你所说是下面的哪个（2已知，关键是另一个），然后我再考虑1.(连续性,dedekind)实轴的切割不产生新的点。2.(连续性,bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界。3.(连续性)单调有界数列必收敛。4.(连续性,cantor)闭区间套非空。5.(紧性,weierstrass)有界数列必有收敛子列。6.(紧性,heine-borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖7.(完备性,cauchy)实轴上的基本序列收敛。顺便提一句，连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价，所以不要混用。1楼看来真是全忘了，这个是数学分析的基础，不是实分析，虽然没必要去区分这两者。ok.就证这两个。2=>5:若数列a_n落在区间[-m,m]上，考察集合a={x:[-m-2,x]包含a_n的最多有限项}那么a非空(至少包含-m-1)且上有界(m是一个上界)，必存在上确界，记u=supa。在(u,u+1)中取a_n的一项a_k_1。在(u,u+1/m)中取a_n一项a_k_m，使得k_m>k_{m-1}，由a的定义，这样的项肯定存在。这样找到了a_n的一个子列a_k_m，容易用极限的定义说明a_k_m收敛到u。5=>2:设x是实数集的非空上有界子集，y是它的上界全体。(此构造同样适用于1=>2，并且是直接得结论)若x有最大值，那么supx=maxx，即上确界存在。以下讨论x没有最大值的情况。在x中任取一点记为a_0，在y中任取一点记为b_0。取c_n=(a_n+b_n)/2，若x中存在比c_n大的元素a，那么a_{n+1}=a，b_{n+1}=b_n；否则a_{n+1}=a_n，b_{n+1}=c_n。于是b_n是一个有界数列(a_0<=b_n<=b_0)，必有收敛子列b_k_n->u。(注意，这里最关键的是u的存在性)然后利用极限的保序性质(因为极限存在，只要用极限的定义就可以说明)，对x的任意元素a，a<=b_k_n得到a<=u，于是u是x的一个上界。任取e>0，由于0
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1、确界存在定理；2、单调有界数列收敛定理；3、闭区间套定理；4、有限覆盖定理；5、聚点定理；6、Cauchy收敛原理；
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这六大定理分别为：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理，还有一个柯西收敛准则。
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。
引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。
扩展资料
实数系的公理系统
设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:
对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：
1、（交换律） 对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。
2、（结合律） 对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3、（分配律） 对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。
4、（单位元） 存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。
5、（逆元） 对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。
参考资料:百度百科——实数公理
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