设M为n×n的幂零矩阵。满足M ^q= 0的最小整数q小于或等于n。 在代数封闭域上，矩阵M是幂零的，当且仅当它的所有特征值为零。因此，M的行列式和迹数都为零，所以幂零矩阵不是可逆的。 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵，则A B是幂零矩阵，当且仅当det(A + tB)与t无关。这是因为： 其中是A B的特征值。 M的特征多项式为λ。 每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。 每一个奇异矩阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。若M为实对称矩阵，则M=0。
首先所有特征值都是零。0=A^nx=A(A^{n-1})x=……=A^{n-1}Ax,可以看出特征子空间的关系。
幂零矩阵是一个n×n的方块矩阵M，满足以下等式：
M^q=0
考虑以下的矩阵：
这是一个4×4的幂零矩阵的例子（实际上，这种形式的矩阵称为转移矩阵）。注意非零的超对角线。这个矩阵的特征为：
超对角线不断向右上角“移动”，直到完全消失，得到零矩阵。
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霍爾因斯基
