图论论文的研究方法

本文首发于 2017-11-14 19:07 原地址： 区块链当中一个重要分支就是密码学。而密码学当中涉及到相当的数学知识。密码学和数学的关系可谓深之又深，甚至可以说信息安全的很大基石就是数学（密码学是信息安全中的一部分）。图论（Graph Theory）是数学的一个分支，属于应用数学，其以图为研究对象。 区块链当中一个重要分支就是密码学。而密码学当中涉及到相当的数学知识，比如：数论、初等数学、代数学、组合数学以及概率论等。若没有一点数学基础的话，密码学的研究将是进行不通的。密码学和数学的关系可谓深之又深，甚至可以说信息安全的很大基石就是数学（密码学是信息安全中的一部分）。学习和掌握一些数学知识是必要的，在此我主要分享一些有关于密码学的数学知识。 图论 （Graph Theory）是数学的一个分支，属于 应用数学 ，其以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定的关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。图论的概念和结果来源非常广泛，既有来自生产实践的问题，也有来自理论研究的问题。历史上参与研究图论问题的人既有著名的数学家也有普通的业余爱好者。 谈到图论不得不提的就是著名的 哥尼斯堡七桥问题 。在贯穿古普鲁士哥尼斯堡城的普瑞格尔河上有七座桥连接两岸及河中的两个小岛，当地居民都很喜欢去岛上游玩，但有一个问题困扰着当地居民了很长的时间。在1736年，该市的一位市民向大数学家 欧拉 （Euler）提出了此问题。该问题是，从家里出发，七座桥每座桥都恰好通过一次，然后再回到家里，是否可以办到。事实上，当地居民以前曾反反复复试验了多次，不论怎么样行走，都不能成功的实现每座桥恰好只经过一次，但却没有人严格证明过。 欧拉将两岸分别用B和C两点进行表示，两岛分别用A和D来表示，A、B、C、D各点的位置并不重要，仅当两块陆地之间有桥时，把每座桥用连接对应点的一条边代替，每条边的曲直长短也不重要，于是欧拉将上图的实际场景抽象为下图，并且将此图形称为 图 （graph）。为了解决这个具体的问题，欧拉提出了判定一般图存在这种走法的充要条件，并给出了必要性证明，开创了图论（ 一维拓扑 ）的研究。这个结果发表于1736年，其把问题归结为一笔画问题，证明了从家里出发，七座桥每座桥都恰好通过一次，然后再回到家里，是不可以办到的。此论文被公认为第一篇图论文章，欧拉本人也被尊崇为图论和拓扑学之父。欧拉在解决此问题的同时给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（连接到一点的数目如果是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成必须中间点均是偶点，也就是说来去必须有对应，奇点只可能在两端，因此任何图如果要一笔画成，奇点要么没有要么在两端） 当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏。图论诞生后并未及时获得足够的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了图论200年的成果，是图论发展的第一座里程碑。此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成长为数学科学的一个独立的重要学科。而且其分支很多，例如图论、算法图论、极值图论、代数图论、随机数图论、模糊图论、超图论等。特别值得一说的是，由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以应用图论方法予以解决。当然， 图论也是计算机科学最重要的基础之一 。 注：一笔画        1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以将任意一偶点作为起点，最后一定可以以此点为终点画完此图。        2）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须将一个奇点作为起点，而另一个奇点将为终点。 3）其它情况的图都不能一笔画出。 // 奇点数除以二便可以算出此图需要几笔才能画成。 注： 欧拉通过对七桥问题的研究，不仅解决了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们将之称为 欧拉定理 。对于一个连通图，通常把某点出发        一笔画所经过的路线叫 欧拉路 ，同时将一笔画成又回到出发点的欧拉路称为 欧拉回路 ，而具有欧拉回路的图被称为 欧拉图 。 于中阳 Mercina-zy

定性分析和定量分析相结合的综合决策方法。

1提出时间编辑七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。存在问题七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此著名数学家欧拉的画像上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。接下来，欧拉运用图中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！2最终成果编辑问题初期问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。问题后期进展1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。七桥问题有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。由此我们得到:欧拉回路关系由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：1. 图形必须是连通的。2. 途中的“奇点”个数是0或2。我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此来判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。七桥问题和欧拉定理欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。此题被人教版小学数学第十二册书收录.在95页。此题也被人教版初中第一册收录．在121页。一笔画■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)