【摘要】本文尝试用数学方法来描述马克思扩大再生产规律。从扩大再生产理论的一些假定出发，研究发现预付资本的增长率与利润率、积累率成正比，两大部类扩大再生产应满足增长速度相等的条件。考虑到利润率趋于下降的规律，建立资本增长存在着上限的logistic模型。最后证明了资本周转与利润率的关系。
【关键词】扩大再生产 资本增长 两大部类
马克思在《资本论》第一卷第七篇以及第二卷第三篇等篇章中，对剩余价值转化为资本进行扩大再生产进行了分析；在第三卷中对利润率趋于下降的规律作出了分析。在此基础上，本文试图建立一个分析预付资本的增长方式的模型。
一、数学表述
马克思在《资本论》中谈到：“要积累，就必须要有一部分剩余产品转化为资本。”假设初始的情况是资本家先投入预付资本K，转化为不变资本C和可变资本V，并得到剩余价值M。
设θ为资本家将一部分剩余价值M转化为追加预付资本ΔK的积累率（剩余价值分为资本和收入的比例），即：
△K=θM（1）
又设资本价值构成为λ=C/V，剩余价值率为m’，则：
K=C+V=（1+λ）V（2）
二、静态分析
假设积累率?兹、资本构成比率λ和剩余价值率m’是不变的，因而利润率r也不变。则由（6）式，预付资本的增长率是不变的。
在离散变量的情况下，上述差分方程可以写成：
Kn=（1+?兹r）Kn-1
它是一个等比数列，从而：Kn=K0（1+θr）n（7）
此处，n表示年份，取值为正整数。
则预付资本将以指数函数的形式增长：
K（t）=K0eθrt（8）
由以上公式，可以得到可变资本V、不变资本C及商品价值W的表达式：
Vn=V0（1+?兹r）n
Cn=C0（1+?兹r）n
Wn=W0（1+?兹r）n
或者
V（t）=V0eθrt
C（t）=C0eθrt
W（t）=W0eθrt
因此，预付资本K、可变资本V、不变资本C和产出W的增长率都等于?兹r。
《资本论》关于扩大再生产分析给出了一个例子，其中第一部类有：
Ⅰ4000C+1000V+1000M=6000
有机构成λ1=4，m’=100%，θ1=50%，可得r1=1/5，增长率为0.1。
三、两大部类的积累和交换
在分析扩大再生产时，马克思提出了再生产的平衡条件和平衡公式：
I（V+M）=IIC+IΔC+IIΔC（9）
设第二部类的不变资本C2有如下函数：
C2=C02（1+θ2r2）n或C（t）=C02eθ2r2t（10）
根据（6）式和连续变量假设，条件（9）可改写为：
（1+m1’-θ1r1λ1）V01eθ1r1t=C2+ΔC2（11）
因此，两个部类的资本增长速度应该是相等的，即：
θ1r1=θ2r2（12）
并且两个部类的不变资本C、可变资本V和商品价值W等将保持固定比例：
四、动态分析
由（6）式可知，影响资本增长速度的因素主要是积累率和利润率，而利润率又是由剩余价值率和资本构成决定的。在静态分析中，假设资本构成是不变的，从而资本的增长率固定。在动态分析中，资本构成是变化的，因而利润率以及资本增长率也是变化的。
“一旦资本主义制度的一般基础奠定下来，在积累过程中就一定会出现一个时刻，那时社会劳动生产率的发展成为积累的最强有力的杠杆”。“社会劳动生产率的水平就表现在一个工人在一定时间内，以同样的劳动力强度使之转化为产品的生产资料的相对量。工人用来进行劳动的生产资料的量，随着工人的劳动生产率的增长而增长”，即资本技术构成的增加。
从上述分析中可知，随着资本增长和资本构成增加，根据第（5）式，利润率将下降。
为此，假设利润率与资本的数量负相关，用一阶线性方程表示
r=α-βK（13）
式中，α和β为常数，K为预付资本数量。
连续变量的情况下，根据第（6）式，并带入第（13）式，可得资本增长率的方程：
五、周转与利润率
连续变量的情况下，预付资本将以指数函数的形式增长，如（8）式所示。其中，r为年利润率，t为资本积累（或周转）年数（t=0，1，2，…）。
如果一年周转一次的话（t=1），则一年之后预付资本为：K1=K0eθr。
如果预付资本在一年之中周转n次（t=n），其利润率为r’，则一年之后：K1=K0eθr’n。
因此，年利润率r应为利润率r’的n倍，即：r=nr’。
六、结论
本文用数学方法来分析马克思再生产理论，并建立了一个模型，该模型表明预付资本的增长率取决于积累率与利润率之积。
在静态条件下求解模型，得到资本增长的方式，并指出两大部类在扩大再生产过程中必须保持相同的增长率。因此利润率高的部类其积累率应低，而利润率低的部类其积累率应高。
考虑到利润率随资本数量增加而趋于下降的规律，通过负的线性方程的简化假设，得出资本增长的Logistic模型。该模型表明，从长远来看，资本增长存在着某种极限。
最后，本文对资本周转与利润率的关系做了数学论证，一年周转n次的资本，其年利润率应为利润率的n倍。
（注：本文入选2007首届中国政治经济学年会教师征文。）
【参考文献】
[1] 马克思：资本论[M].北京：人民出版社，1976.
胡代光、魏埙、宋承先等：评当代西方学者对马克思《资本论》的研究[M].北京：中国经济出版社，1990.
洪远朋：《资本论》教程简编[M].上海：复旦大学出版社，2002.
