波动方程毕业论文

微观世界中的轮盘赌——量子论如果说光在空间的传播是相对论的关键，那么光的发射和吸收则带来了量子论的革命。我们知道物体加热时会放出辐射，科学家们想知道这是为什么。为了研究的方便，他们假设了一种本身不发光、能吸收所有照射其上的光线的完美辐射体，称为“黑体”。研究过程中，科学家发现按麦克斯韦电磁波理论计算出的黑体光谱紫外部分的能量是无限的，显然发生了谬误，这被“紫外线灾难。”1900年，德国物理学家普朗克提出了物质中振动原子的新模型。他从物质的分子结构理论中借用不连续性的概念，提出了辐射的量子论。他认为各种频率的电磁波，包括光只能以各自确定分量的能量从振子射出，这种能量微粒称为量子，光的量子称为光量子，简称光子。根据这个模型计算出的黑体光谱与实际观测到的相一致。这揭开了物理学上崭新的一页。量子论不仅很自然地解释了灼热体辐射能量按波长分布的规律，而且以全新的方式提出了光与物质相互作用的整个问题。量子论不仅给光学，也给整个物理学提供了新的概念，故通常把它的诞生视为近代物理学的起点。量子假说与物理学界几百年来信奉的“自然界无跳跃”直接矛盾，因此量子理论出现后，许多物理学家不予接受。普朗克本人也十分动摇，后悔当初的大胆举动，甚至放弃了量子论继续用能量的连续变化来解决辐射的问题。但是，历史已经将量子论推上了物理学新纪元的开路先锋的位置，量子论的发展已是锐不可挡第一个意识到量子概念的普遍意义并将其运用到其它问题上的是爱因斯坦。他建立了光量子理论解释光电效应中出现的新现象。光量子论的提出使光的性质的历史争论进入了一个新的阶段。自牛顿以来，光的微粒说和波动说此起彼伏，爱因斯坦的理论重新肯定了微粒说和波动说对于描述光的行为的意义，它们均反映了光的本质的一个侧面：光有时表现出波动性，有时表现出粒子性，但它既非经典的粒子也非经典的波，这就是光的波粒二重性。主要由于爱因斯坦的工作，使量子论在提出之后的最初十年里得以进一步发展。在1911年，卢瑟福提出了原子的行星模型，即电子围绕一个位于原子中心的微小但质量很大的核，即原子核的周围运动。在此后的20年中，物理学的大量研究集中在原子的外围电子结构上。这项工作创立了微观世界的新理论，量子物理，并为量子理论应用于宏观物体奠定了基础。但是原子中心微小的原子核仍然是个谜。原子核是微观世界中的重要层次，量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一，是探索原子核奥秘所不可缺少的工具。在原子量子理论被提出后不久，物理学家开始探讨原子中微小的质量核－原子核。在原子中，正电原子核在静态条件下吸引负电子。但是什么使原子核本身能聚合在一起呢？原子核包含带正电质子和不带电的中子，两者之间存在巨大的排斥力，而且质子彼此排斥（不带电的中子没有这种排斥力）。使原子核聚合在一起，并且克服侄子间排斥力的是一种新的强大的力，它只在原子核内部起作用。原子弹的巨大能量就来自这种强大的核力。原子核和核力性质的研究对20世纪产生了巨大的影响，放射现象、同位素、核反应、裂变、聚变、原子能、核武器和核药物都是核物理学的副产品。丹麦物理学家玻尔首次将量子假设应用到原子中，并对原子光谱的不连续性作出了解释。他认为，电子只在一些特定的圆轨道上绕核运行。在这些轨道上运行时并不发射能量，只当它从一个较高能量的轨道向一个较低轨道跃迁时才发射辐射，反之吸收辐射。这个理论不仅在卢瑟福模型的基础上解决了原子的稳定性问题，而且用于氢原子时与光谱分析所得的实验结果完全符合，因此引起了物理学界的震动。玻尔指导了19世纪20到年代的物理学家理解量子理论听起来自相矛盾的基本结构，他实际上既是这种理论的“助产师”又是护士。玻尔的量子化原子结构明显违背古典理论，同样招致了许多科学家的不满。但它在解释光谱分布的经验规律方面意外地成功，使它获得了很高的声誉。不过玻尔的理论只能用于解决氢原子这样比较简单的情形，对于多电子的原子光谱便无法解释。旧量子论面临着危机，但不久就被突破。在这方面首先取得突破的是法国物理学家德布罗意。他在大学时专业学的是历史，但他的哥哥是研究X射线的著名物理学家。受他的影响，德布罗意大学毕业后改学物理，与兄长一起研究X射线的波动性和粒子性的问题。经过长期思考，德布罗意突然意识到爱因斯坦的光量子理论应该推广到一切物质粒子，特别是光子。1923年9月到10月，他连续发表了三篇论文，提出了电子也是一种波的理论，并引入了“驻波”的概念描述电子在原子中呈非辐射的静止状态。驻波与在湖面上或线上移动的行波相对，吉它琴弦上的振动就是一种驻波。这样就可以用波函数的形式描绘出电子的位置。不过它给出的不是我们熟悉的确定的量，而是统计上的“分布概率”，它很好地反映了电子在空间的分布和运行状况。德布罗意还预言电子束在穿过小孔时也会发生衍射现象。1924年，他写出博士论文“关于量子理论的研究”，更系统地阐述了物质波理论，爱因斯坦对此十分赞赏。不出几年，实验物理学家真的观测到了电子的衍射现象，证实了德布罗意的物质波的存在。沿着物质波概念继续前进并创立了波动力学的是奥地利物理学家薛定谔。他从爱因斯坦的一篇论文中得知了德布罗意的物质波概念后立刻接受了这个观点。他提出，粒子不过是波动辐射上的泡沫。1925年，他推出了一个相对论的波动方程，但与实验结果不完全吻合。1926年，他改而处理非相对论的电子问题，得出的波动方程在实验中得到了证实。1925年，德国青年物理学家海森伯格写出了一篇名为《关于运动学和力学关系的量子论重新解释》的论文，创立了解决量子波动理论的矩阵方法。玻尔理论中的电子轨道、运行周期这样古典的然而是不可测量的概念被辐射频率和强度所代替。经过海森伯格和英国一位年轻的科学家狄喇克的共同努力，矩阵力学逐渐成为一个概念完整、逻辑自洽的理论体系。波动力学与矩阵力学各自的支持者们一度争论不休，指责对方的理论有缺陷。到了1926年，薛定谔发现这两种理论在数学上是等价的，双方才消除了敌意。从此这两大理论合称量子力学，而薛定谔的波动方程由于更易于掌握而成为量子力学的基本方程。海森伯格不确定原则是量子论中最重要的原则之一。它指出，不可能同时精确地测量出粒子的动量和位置，因为在测量过程中仪器会对测量过程产生干扰，测量其动量就会改变其位置，反之亦然。量子理论跨越了牛顿力学中的死角。在解释事物的宏观行为时，只有量子理论能处理原子和分子现象中的细节。但是，这一新理论所产生的似是而非的矛盾说法比光的波粒二重性还要多。牛顿力学以确定性和决定性来回答问题，量子理论则用可能性和统计数据来回答。传统物理学精确地告诉我们火星在哪里，而量子理论让我们就原子中电子的位置进行一场赌博。海森伯格不确定性使人类对微观世界的认识受到了绝对的限制，并告诉我们要想丝毫不影响结果，我们就无法进行测量。量子力学的奠基人之一薛定谔在1935年就意识到了量子力学中不确定性的问题，并假设了一个著名的猫思维实验：“一只猫关在一钢盒内，盒中有下述极残忍的装置（必须保证此装置不受猫的直接干扰）：在盖革计数器中有一小块辐射物质，它非常小，或许在1小时中只有一个原子衰变。在相同的几率下或许没有一个原子衰变。如果发生衰变，计数管便放电并通过继电器释放一个锤，击碎一个小小的氰化物瓶。如果人们使这整个系统自在1个小时，那么人们会说，如果在此期间没有原子衰变，这猫就是活的。第一次原子衰变必定会毒杀了这只猫。”常识告诉我们那只猫是非死即活的，两者必居其一。可是按照量子力学的规则，盒内整个系统处于两种态的叠加之中，一态中有活猫，另一态中有死猫。但是有谁在现实生活中见过一个又活又死的猫呢？猫应该知道自己是活还是死，然而量子理论告诉我们，这个不幸的动物处于一种悬而未决的死活状态中，直到某人窥视盒内看个究竟为止。此时，它要么变得生气勃勃，要么立刻死亡。如果把猫换成一个人，那么详谬变得更尖锐了，因为这样一来，监禁在盒内的那位朋友会自始至终地意识到他是健康与否。如果实验员打开盒子，发现他仍然是活的，那时他可以问他的朋友，在此观察前他感觉如何，显然这位朋友会回答在所有的时间中他绝对活着。可这跟量子力学是相矛盾的，因为量子理论认为在盒内的东西被观察之前那位朋友仍处在活死迭加状态中。玻尔敏锐地意识到它正表征了经典概念的局限性，因此以此为基础提出“互补原则”，认为在量子领域总是存在互相排斥的两种经典特征，正是它们的互补构成了量子力学的基本特征。玻尔的互补原则被称为正统的哥本哈根解释，但爱因斯坦一直不同意。他始终认为统计性的量子力学是不完备的，而互补原理是一种绥靖哲学，因而一再提出假说和实验责难量子论，但玻尔总能给出自洽的回答，为量子论辩护。爱因斯坦与玻尔的论战持续了半个世纪，直到他们两人去世也没有完结。薛定谔猫实验告诉我们，在原子领域中实在的佯谬性质与日常生活和经验是不相关的，量子幽灵以某种方式局限于原子的阴影似的微观世界之中。如果遵循量子理论的逻辑到达其最终结论，则大部分的物理宇宙似乎要消失于阴影似的幻想之中。爱因斯坦决不愿意接受这种逻辑结论。他反问：没有人注视时月亮是否实在？科学是一项不带个人色彩的客观的事业，将观察者作为物理实在的一个关键要素的思想看来与整个科学精神相矛盾。如果没有一个“外在的”具体世界供我们实验与测量，全部科学不就退化为追逐想象的一个游戏了吗量子理论革命性的特点，一开始就引起了关于它的正确性及其解释内容的激烈争论，在20世纪中这个争论一直进行着。自然法则从根本上将是否具有随机性？在我们的观察中是否存在实体？我们又是否受到了观察的现象的影响？爱因斯坦率先从几个方面对量子理论提出质疑。他不承认自然法则是随机的。他不相信“上帝在和世界玩骰子”。在和玻尔的一系列著名的论战中，爱因斯坦又一次提出了批判，试图结实量子理论潜在的漏洞、错误和缺点。玻尔则巧妙地挫败了爱因斯坦的所有攻击。在1935年的一篇论文中，爱因斯坦提出了一个新证据：断言量子理论无法对自然界进行完全的描述。根据爱因斯坦的说法，一些无法被量子理论预见的物理现象应该能被观测到。这一挑战最终导致阿斯派特做了一系列著名的试验，准备用这些试验解决这一争论。阿斯派特的实验详尽地证明了量子理论的正确性。阿斯派特认为，量子理论能够预见但无法解释一些奇妙的现象，爱因斯坦断言这一点是不可能的。由此似乎信息传播地比光速还快－很明显地违背了相对论和因果律。阿斯派特的实验结论仍有争议，但它们已促成了关于量子论的更多的奇谈怪论由玻尔和海森伯格发展起来的理论和哥本哈根派的观点，尽管仍有争论，却逐渐在大多数物理学家中得到认可。按照该学派的观点，自然规律既非客观的，也非确定的。观察者无法描述独立于他们之外的现实。就象不确定律和测不准定律告诉我们的一样，观察者只能受到观察结果的影响。按自然规律得出的实验性预见总是统计性的而非确定性的。没有定规可寻，它仅仅是一种可能性的分布。电子在不同的两个实验中表现出的波动性和粒子性这一表面上的矛盾是互补性原理的有关例子。量子理论能够正确地、连续地预测电子的波动性或粒子性，却不能同时对两者进行预测。按照玻尔的观点，这一矛盾是我们在对电子性质的不断探索中，在我们的大脑中产生的，它不是量子理论的一部分。而且，从自然界中只能得到量子理论提供的有限的、统计性的信息。量子理论是完备的：该理论未能告诉我们的东西或许是有趣的猜想或隐喻。但这些东西既不可观测，也不可测量，因而与科学无关。哥本哈根解释未能满足爱因斯坦关于一个完全客观的和决定性的物理定律应该是什么样的要求。几年后，他通过一系列思维推理实验向玻尔发起挑战。这些实验计划用来证明在量子理论中的预测中存在着不一致和错误。爱因斯坦用两难论或量子理论中的矛盾向玻尔发难。玻尔把问题稍微思考几天，然后就能提出解决办法。爱因斯坦男买内过分地看重了一些东西或者忽略了某些效应。有一次，具有讽刺意味的是爱因斯坦忘记了考虑他自己提出的广义相对论。最终，爱因斯坦承认了量子理论的主观一致性，但他仍固执地坚持一个致命的批判：EPR思维实验。1935年，爱因斯坦和两个同事普多斯基和罗森合作写了一篇驳斥量子理论完备性的论文，在物理学家和科学思想家中间广为流传。该论文以三个人姓氏的第一个字母合称EPR论文。他们假设有两个电子：电子1和电子2发生碰撞。由于它们带有相同的电荷，这种碰撞是弹性的，符合能量守衡定律，碰撞后两电子的动量和运动方向是相关的。因而，如果测出了电子1的位置，就能推知电子2的位置。假设在碰撞发生后精确测量电子1的位置，然后测量其动量。由于每次只测量了一个量，测量的结果应该是准确的。由于电子1、2之间的相关性，虽然我们没有测量电子2，即没有干扰过它，但仍然可以精确推测电子2的位置和动量。换句话说，我们经过一次测量得知了电子的位置和动量，而量子理论说这是不可能的，关于这一点量子理论没有预见到。爱因斯坦及其同事由此证明：量子理论是不完备的。玻尔经过一段时间的思考，反驳说EPR实验非但没有证否量子理论，而且还证明了量子理论的互补性原理。他指出，测量仪器、电子1和电子2共同组成了一个系统，这是一个不可分割的整体。在测量电子1的位置的过程中会影响电子2的动量。因此对电子1的测量不能说明电子2的位置和动量，一次测量不能代替两次测量。这两个结果是互补的和不兼容的，我们既不能说系统中一个部分受到另一个部分的影响，也不能试图把两个不同实验结果互相联系起来。EPR实验假定了客观性和因果关系的存在而得出结论认为量子理论是不完备的，事实上这种客观性和因果性只是一种推想和臆测。尽管人们对量子理论的含义还不太清楚，但它在实践中获得的成就却是令人吃惊的。尤其在凝聚态物质——固态和液态的科学研究中更为明显。用量子理论来解释原子如何键合成分子，以此来理解物质的这些状态是再基本不过的。键合不仅是形成石墨和氮气等一般化合物的主要原因，而且也是形成许多金属和宝石的对称性晶体结构的主要原因。用量子理论来研究这些晶体，可以解释很多现象，例如为什么银是电和热的良导体却不透光，金刚石不是电和热的良导体却透光？而实际中更为重要的是量子理论很好地解释了处于导体和绝缘体之间的半导体的原理，为晶体管的出现奠定了基础。1948年，美国科学家约翰·巴丁、威廉·肖克利和瓦尔特·布拉顿根据量子理论发明了晶体管。它用很小的电流和功率就能有效地工作，而且可以将尺寸做得很小，从而迅速取代了笨重、昂贵的真空管，开创了全新的信息时代，这三位科学家也因此获得了1956年的诺贝尔物理学奖。另外，量子理论在宏观上还应用于激光器的发明以及对超导电性的解释。而且量子论在工业领域的应用前景也十分美好。科学家认为，量子力学理论将对电子工业产生重大影响，是物理学一个尚未开发而又具有广阔前景的新领域。目前半导体的微型化已接近极限，如果再小下去，微电子技术的理论就会显得无能为力，必须依靠量子结构理论。科学家们预言，利用量子力学理论，到2010年左右，人们能够使蚀刻在半导体上的线条的宽度小到十分之一微米（一微米等于千分之一毫米）以下。在这样窄小的电路中穿行的电信号将只是少数几个电子，增加一个或减少一个电子都会造成很大的差异美国威斯康星大学材料科学家马克斯·拉加利等人根据量子力学理论已制造了一些可容纳单个电子的被称为“量子点”的微小结构。这种量子点非常微小，一个针尖上可容纳几十亿个。研究人员用量子点制造可由单个电子的运动来控制开和关状态的晶体管。他们还通过对量子点进行巧妙的排列，使这种排列有可能用作微小而功率强大的计算机的心脏。此外，美国得克萨斯仪器公司、国际商用机器公司、惠普公司和摩托罗拉公司等都对这种由一个个分子组成的微小结构感兴趣，支持对这一领域的研究，并认为这一领域所取得的进展“必定会获得极大的回报”。科学家对量子结构的研究的主要目标是要控制非常小的电子群的运动即通过“量子约束”以使其不与量子效应冲突。量子点就有可能实现这个目标。量子点由直径小于20纳米的一团团物质构成，或者约相当于60个硅原子排成一串的长度。利用这种量子约束的方法，人们有可能制造用于很多光盘播放机中的小而高效的激光器。这种量子阱激光器由两层其他材料夹着一层超薄的半导体材料制成。处在中间的电子被圈在一个量子平原上，电子只能在两维空间中移动。这样向电子注入能量就变得容易些，结果就是用较少的能量就能使电子产生较多的激光。美国电话电报公司贝尔实验室的研究人员正在对量子进行更深入的研究。他们设法把量子平原减少一维，制造以量子线为基础的激光器，这种激光器可以大大减少通信线路上所需要的中继器。美国南卡罗来纳大学詹姆斯·图尔斯的化学实验室用单个有机分子已制成量子结构。采用他们的方法可使人们将数以十亿计分子大小的装置挤在一平方毫米的面积上。一平方毫米可容纳的晶体管数可能是目前的个人计算机晶体管数的1万倍。纽约州立大学的物理学家康斯坦丁·利哈廖夫已用量子存储点制成了一个存储芯片模型。从理论上讲，他的设计可把1万亿比特的数据存储在大约与现今使用的芯片大小相当的芯片上，而容量是目前芯片储量的1·5万倍。有很多研究小组已制出了利哈廖夫模型装置所必需的单电子晶体管，有的还制成了在室温条件下工作的单电子晶体管。科学家们认为，电子工业在应用量子力学理论方面还有很多问题有待解决。因此大多数科学家正在努力研究全新的方法，而不是仿照目前的计算机设计量子装置。宏观世界的定律保持着顽固的可验证性，而微观世界的定律具有随机性。我们对抛射物和彗星的动态描述具有明显的视觉特征，而对原子的描述不具有这种特征，桌子、凳子、房屋这样的世界似乎一直处于我们的观察中，而电子和原子的实际的或物理性状态没有缓解这一矛盾。如果说这些解释起了些作用的话，那就是他们加大了这两个世界之间的差距。对大多数物理学家来说，这一矛盾解决与否并无大碍，他们仅仅关心他们自己的工作，过分忽视了哲学上的争议和存在的冲突。毕竟，物理工作是精确地预测自然现象并使我们控制这些现象，哲学是不相关的东西。广义相对论在大尺度空间、量子理论在微观世界中各自取得了辉煌的成功。基本粒子遵循量子论的法则，而宇宙学遵循广义相对论的法则，很难想象它们之间会出现大的分歧。很多科学家希望能将这两者结合起来，开创一门将从宏观到微观的所有物理学法则统一在一起的新理论。但迄今为止所有谋求统一的努力都遭到失败，原因是这两门20世纪物理学的重大学科完全矛盾。是否能找到一种比现有的这两种理论都好的新理论，使这两种理论都变得过时，正如它们流行之前的种种理论遇到的情况那样呢？

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对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：波动方程{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_\mathrm = \frac{\omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。\nabla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。波动方程：

从宏观上讲，弹性模量表征了材料在一定的应力作用下发生弹性变形的难易程度，弹性模量越大发生变形越难。从原子间相互作用力角度来看，弹性模量则表征了原子间结合力强弱的程度，弹性模量越大，意味着原子间结合力也越大。如，由分子组成的材料，原子先通过分子内结合力（如离子键、共价键）组成分子，分子再通过分子间结合力（如极性共价键）组合成物质。通常情况下，分子间的结合力要比分子内结合力小的多。材料在发生弹性变形时，可认为是分子间距被拉大/压缩，分子间结合力随之改变所产生的结果。对于金属原子，由于其最外层与原子核的结合力较弱，很容易脱离原子核的束缚而变成自由电子。当一群金属原子聚集时，所有金属原子的最外层电子、甚至是次外层电子都有可能脱离原子核的束缚，变成自由电子，这些电子为所有的原子所共有，形成电子云。失去电子的原子变成离子，而离子就沉浸在电子云中。金属离子与公有化电子的静电作用结合而成金属键，形成金属材料。从微观粒子的结合强度来看，金属键等价于分子内作用力，其结合强度要远高于分子间结合力（如极性共价键），因此金属材料（如钢）相比于分子材料（如塑料）更难以发生弹性变形。我们可通过图3所示为双原子受力模型来理解原子间的结合力。当双原子被压缩时，原子之间将产生抵抗压缩的排斥力；双原子被拉伸时，将产生抵抗拉伸的吸引力。一般认为，原子间的引力是正离子（失去电子的原子核）和自由电子之间的库伦引力产生的，斥力是由正离子和正离子、电子和电子之间的斥力产生的。