欧拉图毕业论文

毕业论文采用Tex软件，一段时间学习摸索后，我将一些简单操作记录下来，方便以后直接调用。 一、加入各种宏包命令， 基本的字体，格式设置 以上两部分默认设置，直接复制粘贴即可，无需修改。若要修改，包含纸张大小，字体大小 第一行中，可将“a4paper” 进行修改“a5paper”....，一般情况用的都是a4纸大小。其次，文档类别可“cctbook” 改为“book,report,article,letter”等。我们书写数学论文通常用“article”，但我的论文不是，奇怪。 字体尺寸大小通常有三种设置，“10pt,11pt,12pt”三、开始书写内容 以 \begin{document} 开始注意：又开始就有结束 \end{document} 1. 空白页设置命令 \newpage \mbox{} 2. 文字与符号之间的间距设置 字符前面加“~”符号，后面加空格，稍有区别 3. 开始第一章内容 \chapter{内容} 开始第一小节内容 \section{内容} \subsection{内容} 4.设置页眉 \fancyhead[CE,CO]{ \pushziti \heiti\zihao{5} 顶点较少的图中的超欧拉图 \popziti } \fancyhead[CO,CO]{\pushziti \songti\zihao{5} 第一章\quad  绪论\popziti} 5. 设置页码 \newpage \setcounter{page}{页数} 6. 定理、引理、命题、推论等的标注 举例定理：     \begin{theorem}      \end{theorem} 7. 调用6 \label{给6起名字}           \ref{定理名字} 8.引用 \cite{给文献起名字} 9.文章中所有符号前后加$  $.   如果是$$    $$,则表示公式居中 10.既有文字，也有公式，如何居中 解释： $$  符号~\mbox{内容}.    $$ 举例 ：   $$     G~\mbox{不是超欧拉图}, \qquad(1)    $$ 11. 公式较长,如何居中 \begin{align*}     公式       \end{align*} 有符号有公式，居中 $$     G~\mbox{不是超欧拉图},             $$ 注意：去掉*号，表示公式后面无序号 举例   ：\begin{align*} 2F(G)+4 &=\sum_{j\ge2}4d_j-\sum_{j\ge2}jd_j\\ &=\sum_{j\ge2}(4-j)d_j\\ &=2d_2+d_3+\sum_{j\ge5}(4-j)d_j. \end{align*} 12. 写定理跟着的两个小定理的排序 \begin{theorem}   内容 \begin{itemize} \item[(1)]   内容 \item[(2)]    内容 \end{itemize} \end{theorem} 13. 用tikz画图 \begin{center} \begin{tikzpicture} \end{tikzpicture} \end{center} 14. 黑体书写 {}\heiti   内容} 15. 插入参考文献 \begin{thebibliography}{编号样本} \bibitem{文献名字}    文献条目 \end{thebibliography} 16.冒号 \lq \lq      \rq  \rq 17. 公式标号置于尾部 \eqno{(1)} 18. 字体设置 fs（仿宋）、kai（楷体）、hei（黑体）、li（隶书）、you（幼圆） 19.居中命令 \begin{center} 第一行\\ 第二行\\ \end{center} 20.插入图形 \thispagestyle{empty}      保证是空白页 {\leftskip 5cm             必须有，但不明白啥意思 \begin {center} \includegraphics [height=\textwidth]{}   [放大缩小，图片名称及图片格式“.eps”] \end {center}}

欧拉对七桥问题的思考给我们的启示如下：

要善于思考。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。

问题初期

问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

问题后期进展

1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？

1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。

在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。

若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。

即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。

七桥问题

有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。

由此我们得到:欧拉回路关系

由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：

1. 图形必须是连通的。

2. 图中的“奇点”个数是0或2。

我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此来判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。

1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。

七桥问题和欧拉定理

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。