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毕业论文采用Tex软件，一段时间学习摸索后，我将一些简单操作记录下来，方便以后直接调用。 一、加入各种宏包命令， 基本的字体，格式设置 以上两部分默认设置，直接复制粘贴即可，无需修改。若要修改，包含纸张大小，字体大小 第一行中，可将“a4paper” 进行修改“a5paper”....，一般情况用的都是a4纸大小。其次，文档类别可“cctbook” 改为“book,report,article,letter”等。我们书写数学论文通常用“article”，但我的论文不是，奇怪。 字体尺寸大小通常有三种设置，“10pt,11pt,12pt”三、开始书写内容 以 \begin{document} 开始注意：又开始就有结束 \end{document} 1. 空白页设置命令 \newpage \mbox{} 2. 文字与符号之间的间距设置 字符前面加“~”符号，后面加空格，稍有区别 3. 开始第一章内容 \chapter{内容} 开始第一小节内容 \section{内容} \subsection{内容} 4.设置页眉 \fancyhead[CE,CO]{ \pushziti \heiti\zihao{5} 顶点较少的图中的超欧拉图 \popziti } \fancyhead[CO,CO]{\pushziti \songti\zihao{5} 第一章\quad 绪论\popziti} 5. 设置页码 \newpage \setcounter{page}{页数} 6. 定理、引理、命题、推论等的标注 举例定理： \begin{theorem} \end{theorem} 7. 调用6 \label{给6起名字} \ref{定理名字} 8.引用 \cite{给文献起名字} 9.文章中所有符号前后加$ $. 如果是$$ $$,则表示公式居中 10.既有文字，也有公式，如何居中 解释： $$ 符号~\mbox{内容}. $$ 举例 ： $$ G~\mbox{不是超欧拉图}, \qquad(1) $$ 11. 公式较长,如何居中 \begin{align*} 公式 \end{align*} 有符号有公式，居中 $$ G~\mbox{不是超欧拉图}, $$ 注意：去掉*号，表示公式后面无序号 举例 ：\begin{align*} 2F(G)+4 &=\sum_{j\ge2}4d_j-\sum_{j\ge2}jd_j\\ &=\sum_{j\ge2}(4-j)d_j\\ &=2d_2+d_3+\sum_{j\ge5}(4-j)d_j. \end{align*} 12. 写定理跟着的两个小定理的排序 \begin{theorem} 内容 \begin{itemize} \item[(1)] 内容 \item[(2)] 内容 \end{itemize} \end{theorem} 13. 用tikz画图 \begin{center} \begin{tikzpicture} \end{tikzpicture} \end{center} 14. 黑体书写 {}\heiti 内容} 15. 插入参考文献 \begin{thebibliography}{编号样本} \bibitem{文献名字} 文献条目 \end{thebibliography} 16.冒号 \lq \lq \rq \rq 17. 公式标号置于尾部 \eqno{(1)} 18. 字体设置 fs（仿宋）、kai（楷体）、hei（黑体）、li（隶书）、you（幼圆） 19.居中命令 \begin{center} 第一行\\ 第二行\\ \end{center} 20.插入图形 \thispagestyle{empty} 保证是空白页 {\leftskip 5cm 必须有，但不明白啥意思 \begin {center} \includegraphics [height=\textwidth]{} [放大缩小，图片名称及图片格式“.eps”] \end {center}}
欧拉对七桥问题的思考给我们的启示如下：
要善于思考。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
问题初期
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
问题后期进展
1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？
1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。
在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。
若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。
即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。
七桥问题
有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。
由此我们得到:欧拉回路关系
由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：
1. 图形必须是连通的。
2. 图中的“奇点”个数是0或2。
我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此来判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
七桥问题和欧拉定理
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。
欧拉函数ψ( N) 是数论中重要的函数, 由18 世纪数学界最杰出的人物之一欧拉提出, 内容如下: 小于自然数N 并与N 互质( 除1 以外无其他公因子) 的自然数的个数称为欧拉函数ψ( N) 。该函数在很多领域有广泛的应用, 如在数论中证明歌德巴赫猜想, 在离散数学中求循环群的生成员, 在计算机网络安全中的RSA 体制等。实现欧拉函数ψ( N) 通常有3 种算法, 每种算法都有它的优缺点, 只要证明是正确的( 该论文的3 种算法都是正确的, 证明省略, 可参考相关书籍, ) 就可以用来证明或者反驳推论和猜想, 得到更多的正确推论。在求欧拉函数时, 当N→∞时, 人工计算是不现实的, 利用计算机计算可以减轻工作量, 计算结果正确而且运行速度快。另外, 利用计算机软件模拟那些比较复杂、运算量大的概念时( 如RSA 体制) , 可以给使用者带来许多方便。给我一个邮箱，我给你发过去！！
密码学论文写作范例论文
随着网络空间竞争与对抗的日益尖锐复杂，安全问题以前所未有的深度与广度向传统领域延伸。随着移动互联网、下一代互联网、物联网、云计算、命名数据网、大数据等为代表的新型网络形态及网络服务的兴起，安全需求方式已经由通信双方都是单用户向至少有一方是多用户的方式转变。如果你想深入了解这方面的知识，可以看看以下密码学论文。
题目：数学在密码学中的应用浅析
摘要：密码学作为一门交叉学科，涉及学科广泛，其中应用数学占很大比例，其地位在密码学中也越来越重要，本文简单介绍密码学中涉及数学理论和方法计算的各种算法基本理论及应用，并将密码学的发展史分为现代密码学和传统密码学，列举二者具有代表性的明文加密方法，并分别对其中一种方法进行加密思想的概括和阐述。
关键词：密码学 应用数学 应用
随着信息时代的高速发展，信息的安全越来越重要，小到个人信息，大到国家安全。信息安全主要是将计算机系统和信息交流网络中的各种信息进行数学化的计算和处理，保护信息安全，而密码学在其中正是处于完成这些功能的技术核心。在初期的学习当中，高等数学、线性代数、概率论等都是必须要学习的基础学科，但是涉及密码学的实际操作，数论和近世代数的'数学知识仍然会有不同程度的涉及和应用，本文在这一基础上，讨论密码学中一些基本理论的应用。
一、密码学的含义及特点
密码学是由于保密通信所需从而发展起来的一门科学，其保密通讯的接受过程如下： 初始发送者将原始信息 （ 明文） 进行一定方式转换 （ 加密） 然后发送，接受者收到加密信息，进行还原解读 （ 脱密） ,完成保密传输信息的所有过程，但是由于传输过程是经由有线电或无线电进行信息传输，易被窃取者在信息传输过程中窃取加密信息，在算法未知的情况下恢复信息原文，称为破译。
保密信息破译的好坏程度取决于破译者的技术及经验和加密算法的好坏。实际运用的保密通信由两个重要方面构成： 第一是已知明文，对原始信息进行加密处理，达到安全传输性的效果； 第二是对截获的加密信息进行信息破译，获取有用信息。二者分别称为密码编码学和密码分析学，二者互逆，互相反映，特性又有所差别。
密码体制在密码发展史上是指加密算法和实现传输的设备，主要有五种典型密码体制，分别为： 文学替换密码体制、机械密码体制、序列密码体制、分组密码体制、公开密钥密码体制，其中密码学研究目前较为活跃的是上世纪70年代中期出现的公开密钥密码体制。
二、传统密码应用密码体制
在1949年香农的《保密系统的通信理论》发表之前，密码传输主要通过简单置换和代换字符实现，这样简单的加密形式一般属于传统密码的范畴。
置换密码通过改变明文排列顺序达到加密效果，而代换密码则涉及模运算、模逆元、欧拉函数在仿射密码当中的基本理论运用。
传统密码应用以仿射密码和Hill密码为代表，本文由于篇幅所限，就以运用线性代数思想对明文进行加密处理的Hill密码为例，简述其加密思想。
Hill密码，即希尔密码，在1929年由数学家Lester Hill在杂志《American Mathematical Monthly》
上发表文章首次提出，其基本的应用思想是运用线性代换将连续出现的n个明文字母替换为同等数目的密文字母，替换密钥是变换矩阵，只需要对加密信息做一次同样的逆变换即可。
三、现代密码应用
香农在1949年发表的《保密系统的通信理论》上将密码学的发展分为传统密码学与现代密码学，这篇论文也标志着现代密码学的兴起。
香农在这篇论文中首次将信息论引入密码学的研究当中，其中，概率统计和熵的概念对于信息源、密钥源、传输的密文和密码系统的安全性作出数学描述和定量分析，进而提出相关的密码体制的应用模型。
他的论述成果为现代密码学的发展及进行信息破译的密码分析学奠定理论基础，现代的对称密码学以及公钥密码体制思想对于香农的这一理论和数论均有不同程度的涉及。
现代密码应用的代表是以字节处理为主的AES算法、以欧拉函数为应用基础的RSA公钥算法以及运用非确定性方案选择随机数进行数字签名并验证其有效性的El Gamal签名体制，本文以AES算法为例，简述现代密码应用的基本思想。
AES算法的处理单位是计算机单位字节，用128位输入明文，然后输入密钥K将明文分为16字节，整体操作进行十轮之后，第一轮到第九轮的轮函数一样，包括字节代换、行位移、列混合和轮密钥加四个操作，最后一轮迭代不执行列混合。
而且值得一提的是在字节代换中所运用到的S盒置换是运用近世代数的相关知识完成加密计算的。
四、结语
本文通过明确密码学在不同发展阶段的加密及运作情况，然后主要介绍密码学中数学方法及理论，包括数论、概率论的应用理论。
随着现代密码学的活跃发展，数学基础作为信息加密工具与密码学联系越来越密切，密码学实际操作的各个步骤都与数学理论联系甚密，数学密码已经成为现代密码学的主流学科。
当然，本文论述的数学理论与密码学的应用还只是二者关系皮毛，也希望看到有关专家对这一问题作出更深层次的论述，以促进应用数学理论与密码学发展之间更深层次的沟通与发展。
数学研究性学习报告 (妙趣横生的数学)一：数学史上的三次危机。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 罗素悖论与第三次数学危机。 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……” 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。二：经典数学问题：七桥问题 著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。 有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。 当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。 Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。 后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成. 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。 接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！ 1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。 数学的世界奥妙无穷，大家尽情驰骋吧！附录：永远的大师—欧拉欧拉(Euler，1707－1783)，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。 欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。 欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心 研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，於19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作。并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利 ，成为物理学教授。在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府 的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何 及其他数学领域均有开创性的发现。 1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学着作，直至生命的最后一刻。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770)都成为数学中的经典着作。 欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生 与发展奠定了基础。 欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出ξ函数在偶数点的值： 。他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示。 此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值，，其值近似为 ... 在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学。当中，在常微分方程方面，他 完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是 偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。 在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给 出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年，他出版了《关於曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为 z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x，y的偏导数 ，这些符号至今仍通用。此外，在该着作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。 欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积 分等等。在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式。欧拉还给出了费马小定 理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支。欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积。而且还解决了着名的柯尼斯 堡七桥问题。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
如果要说起中国数学从小学到大学知识点的最大贡献者，相比非欧拉莫属。
欧拉是天生奇才，对，他不仅仅是在数学方面的奇才，是所有领域都能精通。他的人生就连小说都不敢这么写，实在是太过于逆天。
9岁，他就把牛顿的《自然哲学的数学原理》看完了，13岁就考入巴塞尔大学一开始是主修哲学和法律，这在当时轰动了数学界，欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。
在读大学的欧拉觉得主修哲学和法律太容易了、太轻松了。一口气又修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。
课余还研究音乐、物理、建筑啥的。这样他依然觉得自己过得非常清闲，在大学仅仅用了两年时间，他总共学习了6个专业，然后考取硕士，读了1年硕士就考取了博士，博士毕业论文写的是物理论文......
19岁的时候就想申请巴塞尔大学物理系教授，对，没有错，就是19岁，结果被拒绝了，你又不是物理专业出来的，物理学的好就想当教授吗？
然而巴塞尔大学不要，俄罗斯圣彼得堡皇家科学院成功捡漏，让欧拉去当物理系教授，欧拉去了俄罗斯，对俄罗斯学术界影响很大，他为苏联的莫斯学派奠定了基础，而莫斯科学派是苏联崛起的核心支撑力量。
欧拉20岁的时候就参加巴黎科学院奖金的奖赏大赛，就拿了一个第二，当时第一名的是科学界的大佬“造船工程之父”皮埃尔·布格。但是这样欧拉依然不服气，接下来12年，奖赏大赛的冠军都被欧拉拿了。
我感觉每次参加比赛的时候，裁判肯定说：“欧拉来了，冠军就不用比了，接下来各位一起争夺亚军吧。欧拉，要不然你就直接拿着奖杯回家吧，省的耽误功夫。”
27岁的时候，他发明了一系列对人类影响深远的符号——圆周率的符号π、函数符号f(x)、以及三角学符号sin、cos、tg，还有符号Σ等等都是他发明的。
在41岁的时候，他出版了《无穷分析引论》，这部书被称为分析学的化身，《无穷分析引论(上)》在数学史上地位显赫，是对数学发展影响最大的七部名著之一。
他将这些符号进行统一整理，使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，又把三角函数与指数函联结起来。
欧拉第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。他在这本书里给出的函数定义是:“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。
可以说，我们高中用到的一大半数学符号，还有我们学习到的指数函数、三角函数等，都和欧拉有关。
然而，这只是人家做的一点点微博贡献。祸害了小学生、中学生。大学生我就能放过吗？从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式，欧拉可以说在数学每个领域都留下了足迹，给无数大学生都贡献了超级多的知识点。
欧拉实际上支配了18世纪的数学；对于当时新数学分支微积分，他推导出了很多结果。很多数学的分枝，也是由欧拉所创或因而有了极大的进展，就算是我们现在的信息时代，依然受到他的惠泽，在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。
当然欧拉不仅祸害数学系的大学生，32岁的时候，很久没有跨界的他，心里痒痒的，于是出版了一部音乐理论著作，顺便创建了刚体力学、流体力学，当然了，人间还是弹性系统稳定性理论开创人。
然而，或许是因为太过于BUG了，欧拉31岁右眼失明，59岁双眼全部失明。
作为科学史上做多产的人，科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。
这还是在他双目失明，家里遭遇大火之后遗留下的成果，1771年，64岁的欧拉因为彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然人被救出来了，但是所有研究成果都被付之一炬。
然而过目不忘的欧拉表示，没有关系，全部记在脑子里了，欧拉的脑子有多厉害呢？他的记忆力甚至达到了过目不忘的程度，他可以背诵出年轻时候看过的维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，这本书有多厚呢，人民出版社翻译的中文版共有300多页，并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。。
虽然双目失明，但是心算能力惊人。欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位。眼瞎的欧拉只依靠心算就找出来错误。
所以在大火之后，欧拉有相当一部分的都在重新整理被大火烧毁的成果，他来口述，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录，依靠书记员的帮助下，欧拉在多个领域的研究其实变得更加高产了。在1775年，他平均每周就完成一篇数学论文。一方面要重新整理烧毁的成果，一方面又在出新成果，这简直不是人。。。
然而即使欧拉奋战了13年，依然才整理出来一小部分被烧毁的成果。数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。
欧拉是最为全才的一位，被誉为是超越达芬奇的全才，无论是人为还是自然科学，欧拉都取得了许多伟大的成就。
特别是他提出的欧拉公式，这个公式十分简单，却被誉为宇宙第一公式，这个公式影响了整个数学的发展，三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论、几何都受到这个公式的影响，就连物理也收到了这个公式的影响，机械波论、电磁学、波动光学以及引发了电子学革命的量子力学的理论基础也蕴含其中。
高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”
数学家欧拉的故事：
18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 。欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。
欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。
如他引入了Γ函数和B函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。
他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。
欧拉将数学分析方法用于力学，在力学各个领域中都有突出贡献；他是刚体动力学和流体力学的奠基者，弹性系统销定性理论的开创人。
在1736年出版的两卷集《力学或运动科学的分析解说》中，他考虑了自由质点和受约束质点的运动微分方程及其解。欧拉在书中把力学解释为“运动的科学”，不包括“平衡的科学”即静力学。
参考资料来源：百度百科-莱昂哈德·欧拉
数学家欧拉的故事：
小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。
其实，天上的星星数不清，是无限的。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”
欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到天幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”
老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。
在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，小欧拉没有与教会和上帝“保持一致”，学校便开除了他。但是，在小欧拉心中，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？
他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。
然而也有说法是，欧拉一生虔诚、笃信上帝，并不能容许任何诋毁上帝的言论在他面前发表。
有一个广泛流传的传说：欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战当时造访宫廷的无神论者德尼·狄德罗：“先生，eiπ+1=0，所以上帝存在，请回答！”
不懂数学的德尼完全不知怎么应对，只好投降。当然这个传说有可能是虚构的，因为狄德罗也是一位有作为的数学家。
虽然身为牧师的父亲执意让欧拉攻读神学，以便将来接他的班。但是幸运的是，欧拉并没有走父亲的为他安排的路。
扩展资料：
欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位。1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。
他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。
在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1766年他又回到了圣彼得堡。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。
他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书外，他的全集有74卷。
数学家欧拉的成就：
几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式……欧拉还是数学史上最多产的数学家，他一生写下886种书籍论文，平均每年写出800多页。
彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年。他的著作《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》是18世纪欧洲标准的微积分教科书。欧拉还创造了一批数学符号，如f(x)、Σ、i、e等等，使得数学更容易表述、推广。并且，欧拉把数学应用到数学以外的很多领域。
参考资料来源：百度百科-莱昂哈德·欧拉
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。下文是我为大家整理的关于大学数学史论文的范文，欢迎大家阅读参考!
数学史的教育功能
摘要数学史作为数学学科中的一部分，它不仅揭示了数学知识发展的来源，也揭示了数学学科对于人们发展科学文化知识的巨大作用。数学史的教学已经成为了目前学校教育工作中的一部分，利用数学史的教学可以引导学生们提高对数学学科学习的兴趣，培养创新思维，从了解数学史的根源开始，主动发现数学学科中的奥秘。针对这一系列问题，本文从四大方面分析了数学史对于数学教育工作中的功能体现，从而引起数学教育工作者的高度重视。
关键词数学史教育功能创新思维功能体现
1 数学史的教育功能之一 ——提高学生们学习数学的兴趣
兴趣是最好的老师，有了兴趣学生才会对数学冰冷的美丽产生出火热的激情。然而，为了提高学生们学习数学的兴趣，不仅仅是鼓励和题海战术这么简单，我们应该采取引导与教育相结合的方式，青少年时期正是疑问多、想法多的阶段，我们应该抓住学生们的这一特点，从解除疑问的角度来引导学生们接受和爱好数学的学习。让学生们在了解数学史的基础上，深刻记忆数学定义、定理的模型与应用。
例如：数学老师在课堂上讲授无理数的概念时，若只是将无理数的概念硬性地传授给学生，学生们似乎已经记住了无理数的特征，也能够正确判断哪些数是无理数，哪些数不是无理数，然而，这只是课堂中的短暂记忆，无法给学生们留下深刻的印象，无法在学生们的脑子里留下长久的烙印。因此，我们可以从介绍无理数的历史发展入手，将生动的无理数来源的历史背景讲授给学生们，引起学生们学习无理数的兴趣，加深对这一知识点的记忆。
2 数学史的教育功能之二——培养学生们的数学应用意识
数学的主要功能是应用科学，数学是一种工具，是所有学科中最具前瞻性和科学性的自然科学，从数学知识的本身来看是十分枯燥乏味的，表面来看，学生们在课堂中所接受的是已经由大量科学家所发现和证明了的科学结晶，这些结果的产生是具有强大科学依据的，每一个结晶诞生的背后都有一个久远的历史故事，它不仅验证了科学的可靠性，同时也说明了世界奥秘的可知性。二十一世纪的青少年是与新时代接轨的一代，在学习的过程中只是了解学科的表面是不够的，我们要从数学史的教育抓起，深入探讨数学学科的伟大，从根本上培养学生们的数学应用意识，加大学习数学知识的深度与广度。
例如：我国古代名著 《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，从上面看有三十五头，从下面看有九十四足，问笼子里鸡有几只?兔有几只?这道题对学生来说是十分有趣的，既让他们掌握了方程的基本思想，又让他们感觉到学习的新知识的价值所在;
又例如：在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：有一个边长为一丈的正方形水池，在池中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺，若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深?芦苇有多长?这是一道作为《探索勾股定理》的习题，通过练习，同学们可以在熟练应用勾股定理的同时，体会到勾股定理在实际问题中的应用。
再例如：公元三世纪我国数学家赵爽证明了勾股定理的弦图。老师在课堂上对于这种验证方法的介绍，可以通过数学知识重组再创造，分析当年数学家赵爽的探索过程，使其证明思路逐渐展现在如今的课堂中，帮助学生们理解与掌握勾股定理的内容与应用。
从以上例子中可以看出，数学史的诸多命题历史悠久，具有说服力和兴趣性，我们在利用数学史知识讲授数学课程的时候，既能够为学生们介绍大量的数学历史故事，让学生们深入了解数学中各种定理、模型的来源，加深对其的记忆，又能够扩大学生们的知识面，让学生们了解到数学(下转第189页)(上接第139页)学科的科学性和前瞻性，从认识历史、认识科学家、认识世界的角度学习科学文化知识是现如今加强学生们素质教育的关键。
3 数学史的教育功能之三——提高学生们的数学素养
对于任何一门学科的学习，都应该拥有这门学科的学习精神，数学是一门体现人类文明发展史的学科，它融汇了人类智慧的结晶，在历史悠久的中国，有着成千上万的科学家前仆后继，为数学学科的发展作出了卓越的贡献。数学史作为数学学科中的一部分，是如今提高学生们的素质、普及数学科学知识、增强个人科学素养的关键学科。老师应该在传授数学知识的同时，将数学的发展、科学家的成就、每一项成果的来之不易一并传授给学生们，让学生们认识到数学知识的可贵、数学知识的力量、数学知识的魅力。例如：在浙教版《义务教育课程标准实验教科书-数学》的六册书的阅读材料中，介绍了法国的笛卡尔、费马;中国的杨辉;德国的卢道夫等不少历史上的数学家及其重要成果。提高了学生们的学习兴趣，扩大了学生们的知识面，从实际案例中启发学生们学习科学文化知识的重要性。从而提高了学生们的数学素养。
4 数学史的教育功能之四——培养学生们对世界观的正确认知
从数学悠久的历史来看，中国从古至今涌现出了一批优秀的数学家，刘徽、祖冲之、祖咂、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，他们的数学成就流传至今，为中国的科学事业奠定了坚实的基础，为后代人对认识世界、改造世界的观念提供了强有力的科学依据。数学是一门自然科学，是上千万科学家智慧的结晶，是科学的真理体现，是对大千世界正确的认识，它是客观存在的科学，是唯物主义的认证。因此，作为数学教育工作者，有责任、有义务在传授知识的同时，培养学生们正确的世界观、人生观、价值观，相信科学，杜绝唯心主义，摆脱迷信思想，利用数学史的介绍勉励学生们对科学文化知识的正确认知，对世界观的正确理解。
总之，数学史在数学教学中的渗透，从提高学生们学习数学的兴趣，培养学生们的数学应用意识，提高学生们的数学素养，培养学生们对世界观的正确认知这四个方面来看是十分重要的。将数学的抽象运算方法融入到数学史的介绍当中，开阔学生们的思路，增强学生们科学知识结构的形成，是目前提高青少年素质教育的关键。我们要加大力度完善数学教学的模式，增加数学史教学的课程安排，有效实施文化教育与素质教育的适当结合，从而提高数学教学的整体质量。
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数学史在大学数学教学中的意义与价值
摘 要： 如今，越来越多的教育工作者对数学史教育在数学教学中的多方面作用给予了充分认可。本文结合大学数学教学的特点，着重探讨了数学史在大学数学教学中的意义与价值。
关键词： 数学史 高等数学 教学改革
1.数学史
数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，以及其与社会政治、经济和一般文化的联系的一门科学，蕴涵了丰富的数学思想的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学的发展绝不是一帆风顺的，数学的发展在不同的历史阶段，受到政治、宗教等各种社会因素的干扰。历史上无理量的发现，微积分和非欧几何的创立，乃至费马大定理的证明，等等，无一不是数学家们经历了曲折艰难最终探索出来的。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
2.数学史在大学数学教学中的意义与价值
我国的数学教学一直注重形式化的演绎数学思维的训练，而忽视了培养学生对数学作为一门科学的思想体系、文化内涵和美学价值的认识。但由于受传统教学课时和内容上的安排的影响，大学数学的教学往往存在课时少，内容多的矛盾。广大教师为了完成教学任务，达到“会考试”的效果，往往在课堂上只注重数学知识的传授，而忽视了数学的思想性和趣味性。目前数学史的教育价值也早已被一些学者所认识。2005年在中国召开了“第一届数学史与数学教育会议”，由此看出，充分发掘数学史在数学教学中的作用越来越受到重视。要发展数学史教育首先要提高人们对数学史教育重要性的认识，虽然目前学术界对数学史教育在数学教学的功效引起一定的重视，但这并不够。数学并不是一些枯燥定理的堆砌，而是人类文明、人类文化高度发展的结晶。
数学家庞加莱说：“若欲预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。”数学史是人类文明给后人留下的路标，具有独特的教育功能。数学史的学习在大学数学教学中的意义与价值主要体现在以下几个方面。
(1)数学史是数学文化的最佳载体
传统的数学教学一般只涉及数学的两个层面：数学的概念、命题，数学的思想和方法。现如今，数学作为一种文化现象，早已是常识，那么，我们就应该用较为宽泛的眼光来看数学或数学文化。数学作为人类创造的文化之一，它并不是超文化的。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势。数学文化除了数学知识本身，还包括数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神，等等。数学史正是数学文化教育的最佳载体。
(2)数学史是激发兴趣的有效途径
几乎所有学科都强调激发学生学习兴趣的重要性，而数学学科尤为突出，在著名数学家成才规律的探索中，中外学者不约而同地将“对数学浓厚的兴趣”列为第一位要素。在教学过程中，要善于激发学生对数学学科的兴趣，正如爱因斯坦所言：“兴趣是最好的老师。”大学阶段的学生无论是逻辑思维能力还是自控能力都已经基本发展成熟，且大学阶段的数学知识内容已经非常注重体系的严密性和完整性，学习方式也从中学时期的“要我学”变成“我要学”，学习兴趣显得尤为重要。
纵观数学发展史，许多数学名家并非一开始就是从事数学研究的，很多人是因偶然的机会而对数学产生了兴趣，才走上了专业化发展道路。解析几何的创始人笛卡尔，从小游手好闲，偶遇一次街头数学问题悬赏解答，强烈的兴趣使他对数学入了迷，那年他已经近二十岁了。
数学史上的许多经典问题，仍然吸引了一代又一代数学学习者投入其中，如欧拉研究过的七桥问题，我国的七巧板游戏等，都是激发学生学习兴趣的良好素材，在教学中要有意识地发掘其教育价值。
(3)数学史是理解数学的必由之路
数学课程通常给出的是一个系统的逻辑论述,好像从这一结论到那一个定理是很自然的事情，其实历史的发展并非一帆风顺，通过数学史的学习可以使同学们认识到，一个学科的发展是从点滴积累开始的，有的甚至需要几百年时间。比如我们熟悉的四色原理从产生到最终解决花了三百多年，在解决问题过程中，衍生出了众多应用数学的分支，从不同侧面影响着社会生活。
从数学史看，数学成果的流传主要是数学思想方法的流传，所以我们在学习知识的过程中，只有了解数学研究的历史背景，分析前人的方法，才能透过现象看本质，得到有益的启示，激发出思想的火花，并真正学会“像数学家那样思考”。
(4)数学史是思想教育的良好素材
数学史在课本中的反映是经过提炼的，自然淡化了发展中艰苦漫长的历程。通过数学史的学习，同学们会获得学习的勇气，不会因为学习中的挫折而沮丧。中外数学家刻苦钻研，严谨创新和为了科学事业而勇于献身的例子比比皆是，在解决数学史上的三大危机时，许多数学家甚至为此付出了生命，这些都是极好的思想教育的材料。
欧拉终身为数学奋斗，所有的领域都留下欧拉研究的痕迹，长期的劳累使他双目失明，在此以后的17年，仍忘我地献身于数学研究。牛顿出身于农民家庭,1661年考入剑桥大学。1665年，伦敦地区流行鼠疫，剑桥大学暂时关闭。牛顿回到了家乡，在乡村幽居了两年，终日思考各种问题、探索大自然的奥秘。他平生的三大发明――微积分、万有引力、光谱分析都萌发于此。后来牛顿在追忆这段峥嵘的青春岁月时，深有感触地说：“我的成功当归功于精力的探索。”“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”学生听了数学家的事迹，必然会备受鼓舞，从而认识到只有经过自己奋斗，才能取得成就。通过这些数学史实和事例能够帮助学生树立超越世界数学先进水平的胆识，培养学生的科学态度和优良品质。
3.结语
数学史是人类的认识史、发明史和创造史，其中蕴涵着可供后人借鉴的巨大思想财富，广大教育工作者已经认识到它的重要作用。数学史可以将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎，通过挖掘历史上数学家解决问题的真谛学生不仅可以学到具体的现成的数学知识，而且可以学到“科学的方法”，更深刻地领略数学文化。在大学数学教学中融入数学史对强化课堂效果是一种很行之有效的做法，会起到良好的作用。最后引用19世纪英国数学家格莱舍的一句话作为结语:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一种科目比数学的损失更大。”
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欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界做出贡献,更把数学推至几乎整个物理的领域.此外,他是数学史上最多产的数学家,写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本,《无穷小分析引论》,《微分学原理》,以及《积分学原理》都成为数学中的经典著作.除了教科书外,欧拉平均以每年800页的速度写出创造性论文.他去世后,人们整理出他的研究成果多达74卷. 欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域,为微分几何及分析学的一些重要分支,如无穷级数、微分方程等的产生与发展奠定了基础. 欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目.他计算出了ξ函数在偶数点的值,他证明了a2k是有理数,而且可以伯努利数来表示.此外,他对调和级数亦有所研究,并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为…… 在18世纪中叶,欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中,创立了微分方程这门学科.其中在常微分方程方面,他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题,对于非齐次方程,他提出了一种降低方程阶的解法；在偏微分方程方面,欧拉将二维物体振动的问题,归结出了一、二、三维波动方程的解法.欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文. 在微分几何方面,欧拉引入了空间曲线的参数方程,给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式.在1766年,他出版了《关于曲面上曲线的研究》,这是欧拉对微分几何最重要的贡献,更是微分几何发展史上一个里程碑.他将曲面表为z=f(x,y),并引入一系列标准符号以表示z对x,y的偏导数,这些符号至今仍通用.此外,在该著作中,他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式. 欧拉在分析学上的贡献不胜枚举,如他引入了G函数和B函数,这证明了椭圆积分的加法定理,以及最早引入二重积分等等. 在代数学方面,他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积,即a+bi的形式.欧拉还给出了费马小定理的三个证明,并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n),他研究数论的一系列成果使得数论成为数学中的一个独立分支.欧拉又用解析方法讨论数论问题,发现了ξ函数所满足的函数方程,并引入欧拉乘积.而且还解决了著名的哥尼斯堡七桥问题,创立了拓扑学. 欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分支中都能经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.
通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过三步求解线性微分（或）积分方程。 拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
看了好多帖子，都没有详细简明的推导过程，所以在这里写一下（前提了解导数的极限定义和图像的结构）： 然后按照结果中每个点的权值变成卷积核：
证明的依据是行列式任意两列互换，行列式值变号，也就是说，行列式中将任意两列互换，互换了几次，则行列式变为原来的（-1）的几次方倍。在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。
将一个矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n个元素的余子式的和。
行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n行 n列，它的拉普拉斯展开一共有 2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。
它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。
拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上。
说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。
“正义”是柏拉图构建其城邦理想的出发点和归宿，而哲学家统治则是这一构想的核心。以下是我整理分享的关于柏拉图的哲学思想论文的相关 文章 ，欢迎阅读!
柏拉图“哲学王”思想的理论审视
摘 要：“正义”是柏拉图构建其城邦理想的出发点和归宿，而哲学家统治则是这一构想的核心。在《理想国》一书中，柏拉图以“三要素说”与“理念论”论证了“哲学王”对于实现正义的必要性，并通过对造就哲学家与使哲学家成为统治者可能性的分析，论证了哲学王统治的可能性。哲学王思想是柏拉图在当时“天下失序”的大背景下，重构统治秩序的一种尝试，哲学王思想为人类发展提供了一个新的、多维的视角，突出了由专家治理国家的重要性，同时哲学王所彰显的道德统治，是把人的精神生活纳入政治的视野之中，这给我们诸多启示。
关键词：哲学王;柏拉图;理想国
中图分类号：B1 文献标志码：A 文章编号：1002-2589(2013)22-0068-02
柏拉图所处的时代，雅典正逐渐被一种“天下失序”的氛围所笼罩，“理想国”正是他试图重构秩序，实现正义的一种努力。“哲学王”是理想国得以构建的核心，在柏拉图看来，无论是个人还是国家，只有实现了哲学家的统治，才能真正地实现正义。那么，哲学家的统治是如何可能的呢，即柏拉图是怎样论证这一思想的，同时站在今天的角度我们又应如何审视这一思想呢?
一、三要素说与理念论：柏拉图对“哲学王”必要性的论证
“正义”是柏拉图构建其“理想国”的出发点和归宿，而在柏拉图时代的希腊，人们普遍持有的是一种有机体国家观，即把国家当作一个整体，国家中的成员作为它的组成部分，地位低于整体，“个人没有被视为独立的自我，而被视为秩序的一部分，不是要追求孤立自我的幸福，而是要履行秩序中的特定职责”[1]。柏拉图也是如此，他所追求的不仅仅是个人德性意义上的正义，更是整个城邦的正义。
以此为基础，柏拉图开始了他心目中理想城邦的构建。城邦诞生于分工原则的基础上：城邦中每个人仅从事一项最符合自己禀赋的工作。基于这一原则创立的城邦中的成员分为三个等级：统治者，其责任是让每个人都能够得到最适合他天性的工作，以保障每个人的幸福;护卫者，其责任是国家的防卫工作;生产者，负责经济。其中，统治者的美德是智慧，护卫者的美德是勇敢，而护卫者与生产者自愿服从统治者的领导，便是节制的美德。柏拉图认为，如果城邦中每个人依自己的美德行事，那么这就是正义的城邦。而与城邦相对应，每个人的灵魂也分为三个部分：理智、激情和欲望。理智追求真理，因而能够知道什么对整体与每一部分是好的，能被称为智慧;激情能够遵循理性的指导，知道什么是真正应该畏惧的，而不受娱乐、痛苦影响，就能够被称为是勇敢的;当一个人的欲望没有丝毫不情愿地接受理性的统领，那他就被称为是节制的。而当一个人能够运用理性，妥善管理灵魂中的其他部分，他就实现了个人的正义。柏拉图认为，只有哲学家具有理性和最高的智慧，能够实现个人的正义;而只有当哲学家成为整个城邦的统治者时，城邦的成员才能发挥各自的功能，实现城邦的正义。
除了“三要素说”，柏拉图还借助理念论来说明哲学家成为统治者的必要性。他将世界分为可见世界和可知世界，可见世界是以具体事物为认知对象的世界，而可知世界是以理念为认知对象的世界。柏拉图又进一步区分了知识与意见的差别：意见是对事物表象的认识，并不能指向事物的本质;而知识则是理念形成的认识，是对事物本质的正确认识，“知识天然地与有相关，知识就是知道有和有者的存在状况。”[2]220治理城邦同样是一门知识，所以哲学家成为统治者的必要性也在于：统治者必须具有关于统治的知识，而只有哲学家才能够把握知识，因此，只有在他们的统治下城邦才可能实现正义。
此外，柏拉图还认为统治者必须是一个道德高尚的人，而勇敢、无私、节制等美德正是作为一个哲学家所具有的。
二、造就哲学家与使哲学家成为统治者：柏拉图对“哲学王”可能性的论证
哲学家有必要进行统治并不意味着哲学家必然的统治，在柏拉图看来，其间至少还缺少两个步骤：第一，城邦中要存在哲学家;第二，哲学家要能够成为统治者。实现了这两部，“哲学王”的理想才有望实现。
(一)造就哲学家
要实现哲学家的统治，有哲学家存在是必然前提。柏拉图从主客观两个方面分析了如何造就一个哲学家。
主观方面，成为一个哲学家首先需要一定的天赋，柏拉图说道：“一个人如果不是天赋具有良好的记忆，敏于理解，豁达大度，温文尔雅， 爱好 和亲近真理、正义、勇敢和节制，他是不能很好地从事哲学学习的。”[2]233只有天赋并不够，他还要进行一系列的学习，首先是数学、几何、天文，进而是辩证法。柏拉图相信这些极其精确的学科乃是唯一适合于被用作哲学研究入门或者导论性质的课程，借由这些课程的学习，哲学家能够对他的研究对象――理念――获得同样精确的认识。
同时，一个哲学家要健康成长，还需要有一个良好的客观环境。柏拉图认为，“要不是碰巧生活在一个合适的国家里，一个哲学家是不可能有最大成就的，因为只有在一个合适的国家里，哲学家本人才能够得到合适的成长”[2]248，但他所了解的现有环境却并不能提供适宜哲学存在的土壤。具体来讲，首先是来自公众的舆论压力，年轻人很难顶住公众指责和赞美的洪流而坚持自己的看法。其次是利益的驱动，由于很早就显现出它的卓尔不群，具有哲学天赋的青年周围往往会围绕一群谄媚之徒，使他妄自尊大，骄奢自满;而即使他接受忠言，能够走向哲学之路，他周围的人也会由于认为哲学对他们无用而进行百般阻挠。最后，是伪哲学家败坏了哲学的名声，使具有哲学天赋的青年对哲学失去了兴趣。因而，哲学家成长的困难不仅在于对天赋和 教育 的高要求，还在于恶劣的环境使哲学家堕落变质。
尽管哲学家的造就是困难的，恶劣的环境又扼杀了他们中的一些，但是柏拉图认为仍然有微乎其微的少数人有可能成为哲学家，他们或是因为出众的天赋，蔑视其他技艺，或是有良好的教育背景却因为流放而避免了腐蚀，或是身体羸弱远离政治，甚至可能是由于神迹的恩典。
(二)哲学家如何成为统治者 实现哲学家的第二个必要步骤是使哲学家成为统治者。但现实的情况是，在城邦中产生一个哲学家已经是如此的艰难，与之相比，哲学家要成为统治者更是难上加难。柏拉图认为，造成这种局面的责任并不在于哲学家，而在于世人，这就如同“船长求水手们受他管制或者智者趋赴富人门庭一样，都是不自然的”[2]236，真正的统治者不应该要求被统治者接受自己的统治，而是应该有要求被管制的人去请求统治者的统治。
而之所以会变为现在这种情况，柏拉图一方面认为，这是由于人不了解真正的哲学和哲学家，进而对他们产生了误解，这往往使“配得上哲学的人离弃了哲学”，而伪哲学家们同时又进一步加强了人们的这种误解。
哲学家不受重视的一个更深层次的原因，柏拉图以一个洞穴的比喻做了说明。如前所述，柏拉图认为只有哲学家才能把握理念，即事物的本质与真理。普通人只拥有意见，他们不能理解真理，甚至认为真理是荒谬的。因此，哲学家沦为了无用的所在;更进一步讲，由于哲学家掌握的真理对现状起到的是一种颠覆的作用，他们有可能被公众敌视而身处危险的境地。所以，哲学家往往最终选择了沉默，“看别人干尽不法，但求自己的能终生不沾上不正义和罪恶，最后怀着善良的愿望和美好的期待而逝世，也就心满意足了。”[2]248
此外，哲学家要成为统治者还面临着它自身的障碍。因为已经习惯了光明生活的灵魂是不想再被黑暗所迷误的，“那些已经达到这一高度的人不愿意做那些琐碎俗事，他们的心灵永远渴望逗留在高处的真实之境”[2]276。
虽然哲学家在城邦中的处境是艰难的，其自身也缺乏成为统治者的意愿，但柏拉图仍然认为他们是有可能成为统治者的。对于大众，可以凭借教育将人性朝着正确的方向型塑，说服大众，使他们接受哲学家的统治，甚至，如果有必要，谎言也是一种可行的手段。“如果公民受到了良好的教育，那么他们就很容易懂见他们所遭遇的各种困难，并且很容易应对突然出现的紧急情况”[3]。而对于哲学家自身来说，柏拉图也认为哲学家们虽然不愿，但仍然会再回到“洞穴中”。他无法坐视自己的同胞身处“洞穴”中而置之不理，因而“自由地选择了不自由”，利用自己的道德和智慧让他的人民过上幸福的生活。所以，哲学家从政不仅是一项道德义务，更是偿还人情的要求。
综上所述，柏拉图为我们阐释了实现“哲学王”理想的两个必要步骤。尽管实现他们困难重重，但柏拉图仍然认为是有希望的
三、短评：对柏拉图“哲学王”思想的理论审视
哲学王思想是柏拉图在当时“天下失序”的大背景下，重构统治秩序的一种尝试，虽然最终连柏拉图自己也承认这一设想是不可能实现的，但时至今日，他的思想对我们来说仍有许多积极的意义。
首先，“哲学王”思想为人类发展提供了一个新的、多维的视角。桑德尔曾指出，理想国能否实现只是一个次要问题，如果柏拉图真的认为理想国能够实现，那只能说明他不仅仅是过于理想主义，甚至可以说是政治上的无知。显然事实并非如此，柏拉图的真正用意在于阐明一种国家的本质，指出一种应然的国家状态，为现实的政治发展提供崭新的视角和前进动力，而不是提出一个有待实现的乌托邦的设计方案。
其次，“哲学王”思想突出了由专家治理国家的重要性。哲学家进行统治是因为他能够掌握治理国家的技术，而寡头制、僭主制、民主制之所以是不正义的制度，正是由于这些国家并不由“专家”治理，而是依据统治者的欲望。同样，回顾整个人类历史，我们可以发现因为缺乏恰当的统治技术和能力而造成的动荡比比皆是，而现代工业社会的政治在复杂度、广泛性和专业性等方面更是大大超越了历史上的任何时期。正如韦伯指出的，对于政治家这种职业，只有那些对于政治事务有着浓厚兴趣，同时具有较高政治理性和政治能力的专家才能驾驭，这点对今天的中国尤其有警示意义。
最后，“哲学王”主张的道德统治，把人的精神生活纳入政治的视野之中，这给我们诸多启示。柏拉图继承了他老师苏格拉底“美德即知识”的命题。他认为哲学家是最有美德的人，也只有他能够挖掘潜在于每一个人灵魂中的美德，哲学家的统治实际上也是一种道德的统治。虽然这种统治在现实中不可能实现，但我们不能对其这样评价，正如上帝同样不存在于现实生活中我们却不能否定其意义一样。博尔曼认为，在西方社会的 文化 正面临着一种“精神崩溃的危险”，而造成这种局面的重要原因就是道德信仰的缺失。同样在今天的中国，层出不穷的各种社会问题往往都与道德的缺失有关，“哲学王”思想虽然不能给我们提供直接的出路，但其中的闪光点，如始终将人的精神生活纳入政治的视野下，仍然可以给予我们多样的启发。
参考文献：
[1]巴克.希腊政治理论――柏拉图及其前人[M].长春：吉林人民出版社，2003：247.
[2]柏拉图.理想国[M].北京：商务印书馆，2009.
[3]萨拜因.政治学说史(上)[M].上海：上海人民出版社，2008：93.
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正义是柏拉图《理想国》贯穿始终的主题，他的正义论，从个人的、经验的、具体的正义人手，上升到国家正义，最后进入到理念的正义境界。以下是我精心整理的的相关资料，希望对你有帮助!
浅析柏拉图“哲学王”的理想人格
古希腊哲学家苏格拉底以其光辉的一生彰显了自己的伟大人格，在面对死刑的审判时，他很从容，他用自己的死去唤醒那些仍然安于生存于“洞穴”之中的人们。苏格拉底又是幸运的，他的学生柏拉图一生的学术以及政治生涯，都继承并且发展了其师的哲学理想、政治理想，他致力于追求理想的人格，追求有理想社会的国家，企图改变希腊城邦体制的危机，为正义的人们寻求幸福的生活方式。柏拉图在《理想国》中写道，理想的城邦具有智慧、勇敢、节制以及正义四种美德，统治者具有智慧，武士具有勇敢的美德，全体公民具有节制的品质，每个人“各就其职，各尽所能”，这样的城邦就是正义的城邦。
一、城邦和人
列奥·施特劳斯在《城邦与人》这部著作的绪论中写道：“政治哲学的主题是城邦与人，古典政治哲学有一个清晰的主题就是城邦与人。”如何实现城邦的统一，如何实现一个平衡的、和谐的城邦秩序，是整个古希腊城邦时期的政治主题。
自古希腊城邦制度诞生起，这一历史性的政治课题就一直困扰著许多伟大的理论家和实践者，生长于古希腊政治动荡时期的柏拉图的政治哲学也离不开城邦与人这个主题，因为他的哲学总是与政治联络在一起的。中年时期的柏拉图目睹其师苏格拉底被处死，企图改变希腊城邦制度的危机，构建一个和谐至善的城邦。在这种城邦新秩序下，一个和谐、统一的城邦政治共同体取代了分裂、对抗的城邦，从而永久地实现了城邦的至善存在。在这个城邦中，柏拉图以和谐为根本的政治尺度，为城邦设定出一系列的标准，使得城邦的整体与城邦中的个体两层面都可能形成和谐的秩序。城邦里的人分为三个等级：统治者、武士以及从事农工商的被统治者，和当时希腊的奴隶制度一样，在柏拉图眼中，奴隶是不被当作人来看待的。三个等级有不同的品质和身份。老天在铸造他们的时候，在不同人的身上分别加入了黄金、白银和铁、铜。他们各是统治者、辅助者和农民以及其他技工，“但是他们又由于同属一类，虽则父子天赋相承，有时不免金父生银子，银父生金子，错综变化，不一而足……所以统治者要极端注意在后代灵魂深处所混合的究竟是哪一种金属。如果他们的孩子心灵里混入了一些废铜烂铁，他们决不能稍存姑息，应当把他们放到恰如其分的位置上去，安置于农民工人之间：如果农民工人的后辈中间发现其天赋有金有银者，他们就要重视他，把他们提升到护卫者或辅助者中间去。须知，神谕曾经说过‘铜铁当道，国破家亡’。”柏拉图认为，由于人的禀赋不同，因此要有社会分工，以便在城邦中每个人可以“各就其职，各尽所能”。
二、城邦的正义
正义是柏拉图《理想国》贯穿始终的主题，他的正义论，从个人的、经验的、具体的正义人手，上升到国家正义，最后进入到理念的正义境界。柏拉图构建了一个理想的城邦，或者说是他心中的正义国家。
在柏拉图看来，人之所以要组成城邦国家，唯一的理由就是因为每个人单靠自己是不可能达到自足的，因此城邦可以被看成是一个相互需要的体系，一种保障人人都过上幸福生活的制度。正义首先就是“每个人必须在国家里执行一种最适合他天性的职务”。其次正义在于各阶级之间的和谐相处。社会的各阶层按照自己的天赋所决定的地位和职责从事自己的活动，使各阶层之间和谐相处，井然有序。理想城邦中三部分人，哲学王、军人和劳动者，分别按他的理智、意志和情欲而派生的智慧、勇敢和节制的品德，合理分工，履行各自的管理国家、保卫国家和从事生产的职责，相互合作，各司其职，各守秩序。他认为社会分工的自然天赋是和谐、合理安排，因为统治者是金子制造的，军人是用银子制造的，而平民是用铜和铁制造的。
正义是所有阶级都需要的美德，既在个人中又在国家中存在。他反对正义是相对的，认为正义的基础是理性，对于个人来说，灵魂由理性、 *** 和欲望三部分组成，个人要达到正义必须让理性统治灵魂从而借助 *** 抑制欲望;对于国家来说，理想国由统治者、军人和生产者组成，统治者的美德是智慧，军人的美德是勇敢，全体公民的美德是节制，城邦的第四种美德就是正义，如果各等级都拥有了属于自己的美德，城邦就是正义的。柏拉图极力强调每个公民的“各就其位，各尽所能”，极力反对相互僭越，即不同等级的人，尤其是低等级的人企图取代高等级的人的地位，他认为这样国家的秩序会被破坏，正义将不复存在。他说：“如果一个人天生是一个手艺人或者一个生意人，但是由于有财富，或者能控制选举，或者身强力壮，或者有其他这类的有利条件而又受到蛊惑怂恿，企图爬上军人等级，或者一个军人企图他们不配的立法者和护国者等级，或者这几种人相互交换工具和地位，或者一个人同时执行所有这些职务，我看你也会觉得这种交换和干涉意味着国家的毁灭吧。”“现有的这三种人互相干涉互相代替对于国家是有最大害处的，因此可以正确地把这称为最坏的事情。”
三、德行教育
《理想国》的最终理想是培养“哲学王”，只有哲学王作为城邦的统治者，国家才会和谐，国家的正义才会有所保障。“除非哲学家成为我们这些国家的国王，或者我们目前称之为国王和统治者的那些人物，能严肃认真地追求智慧，使政治权力与聪明才智合而为一;那些得此失彼，不能兼有的庸庸碌碌之徒，必须排除出去。否则的话，我亲爱的格劳孑L，对国家甚至我想对全人类都将祸害无穷，永无宁日。”
培养哲学王的方式就是教育。柏拉图认为国家与个人的正义具有同构性，“我们也可以假定个人在自己的灵魂里具有和城邦里所发现的同样的那几种组成部分，并且有理由希望个人因这些与国家里的相同的组成部分的‘情感’而得到相同的名称。”一个人的灵魂包含理性、 *** 和欲望三个要素。一个有德行的人应该使理性居主导地位，统帅 *** ，控制欲望，这也是人的灵魂的最佳状态。
在他看来，个人与城邦相似，“在国家里存在的东西在每一个人的灵魂里也存在着，且数目相同。”柏拉图通过音乐教育和体育教育使理智和 *** 得到协调，体育训练身体，音乐训练精神。在幼年时期，注重音乐教育是非常重要的，“一个儿童从小受了好的教育，节奏与和谐浸入了他的心灵深处，在那里牢牢地生了根，它就会变得温文有礼……一个受过适当教育的儿童，对于人工作品或自然物的特点也最敏感，因而对丑恶的东西会非常反感，对优美的东西会非常赞赏，感受其鼓舞，从中吸取营养，使自己的心灵成长得既美且善。”音乐教育的主要功能是训练人的精神，激发人的理性，调节 *** ，控制欲望，培养节制的美德，从而达到灵魂的和谐。“这两者理智和 *** 既受到这样的教养、教育并被训练了真正起自己本份的作用，它们就会去领导欲望——它占每个人灵魂的最大部分，并且本性是最贪得财富的——它们就会监视着它，以免它会因充满了所谓的肉体快乐而变大变强不再恪守本份，企图去控制支配那些它所不应该控制支配的部分，从而毁了人的整个生命。”
音乐教育之后便是体育教育，国家的护卫者必须一生接受严格的身体训练，“朴质的体育锻炼产生身体的健康”。音乐教育与体育教育两者相互补充，缺一不可，“护卫者需要两种品质兼而有之”。“似乎有两种技术——音乐和体育我要说这是某一位神赐给我们人类的——服务于人的两个部分一爱智部分和 *** 部分。这不是为了心灵和身体虽然顺便附带也为了心灵和身体，而是为了使爱智和 *** 这两部分张弛得宜配合适当，达到和谐。”护卫者教育结束后，公民是二十岁的青年。启动哲学王教育的时机已经成熟。培养哲学王的难度最大，持续时间也最久。
哲学王教育由哲学学习和政治实践组成，时间各为十五年。哲学学习又分为两个阶段：第一阶段的四门课程作为哲学学习的预备，时间为十年;第二阶段则用五年的时间学习辩证法，进行纯粹的哲学训练。顺利通过的学员要在随后的十五年内参与管理城邦的多种事务，培养政治技能，成为真正的哲学王。哲学家爱智慧者，并且爱智慧的全部，哲学家专注于真理，即对事物本身的认识，对事物理念的把握，对正义、美、善的把握。
哲学家热爱真理，追求真理，追寻心灵的和谐，并不在乎肉体的快乐。哲学家由于对事物理念的把握，由于其对正义、美、善的把握，理所当然的便应该成为城邦的统治者。柏拉图的教育通过改变人性，通过改变内部事实性从而达到价值与事实的统一，这是《理想国》的政治目标。
四、结语
柏拉图生活的时代恰遇雅典在伯罗奔尼撒战争中遭遇失败，民主政治遭遇危机，希腊城邦走向衰落，其师苏格拉底遭遇审判被判以死刑，他目睹了这一切并因此想极力改变这种混乱状态，他想化解政治与哲学之间的矛盾，哲学王的思想便应运而生了。
哲学王是理想城邦公民教育的产物，而其他型别的统治者则是失当教育的产物，这也是政体蜕变的根本原因。此外，柏拉图在《理想国》企图化解政治与哲学冲突的努力，充分揭示出政治与哲学的复杂关系。在他看来，哲学与政治的对立，无益于双方。若不化解这一对立，不仅正义城邦永不可及，哲学亦不免于玷污。也只有城邦的支援，哲学才能发展;失去了哲学的指导，城邦就无法长治久安。柏拉图化解哲学与政治的冲突、实现两者的完美结合正是通过教育以改变人性来完成的。
“哲学王”应该怎么治理国家，又该制定怎样的法律才能治理好国家?“哲学王”通过沉思和回忆，从而制定善的政策和法律，治理国家，管理军队，使社会正义和平，每个人都行正义之事，将自己的最美好的德性展示出来。回忆的最高境界就是回忆“善的理念”，在“理念”的世界里，最高理念是“善的理念”，是其他理念世界的最高根据，因此也被称为“理念之理念”，以理念世界最高的存在而君临一切。“哲学王”的目标就是回忆“善的理念”，从而以“善的理念”管理国家。
波普尔说：“柏拉图著作的影响无论好坏是不可估量的。可以说，西方思想不是柏拉图哲学的，就是反柏拉图哲学的，但很少是非柏拉图哲学的。”柏拉图的思想对西方思想界产生了极大的影响，其“哲学王”理想人格的构建对于当今中国社会的建设也具有启发意义。首先，柏拉图的和谐思想对于我国构建和谐社会具有启发意义。
中国自改革开放以来，经济建设取得了巨大的成就，但同时也出现了很多问题，官员 *** 、个人道德素质低下等问题严重困扰著国家的发展进步。对于个人来讲，和谐在于灵魂的理智、 *** 、欲望各个部分互不僭越，自身之内秩序井然。如果每个公民能做到守法，节制，整个社会便有了和谐的基础。其次，“哲学王”的培养对于中国官员的培养具有启迪意义。对儿童实行音乐教育培养节制和谐的品质，从小培养优越的品质，体育教育培养健康的身体，两者相辅相成，缺一不可，从而提高整体国民素质。总的来说，《理想国》的“哲学王”思想虽然有其局限性，但是其理想人格的培养可以对中国儿童教育的发展有所启发，其统治者理想人格的培养可以对中国民主政治建设以及官员道德水平的提高有所启迪。
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