关于根式方程的解法毕业论文

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根式方程的解法有两种，平行法和分开法。无理方程就是根号下含有未知数（被开方数是含有未知数）的方程，无理方程又叫根式方程。有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程。解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程。方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。

先将带根号的项换到等号一侧，然后两遍同时平方，解完后要记得把根号下出现负数的情况得出的解去掉

根式方程解题思路是去根号化为有理方程。通常是方程两边平方去根号。对于含有两个二次根式的方程，通常需两次实施两边平方。两边平方所得方程与原方程往往不同解，常会产生增根，这就需要检验，这也是最易忽视的地方。

简单等于r-3-(r-2根号6） 等于r-3-r+2根号6等于2根号6-1

1.判别式法；2.直接求根法；3.利用根与系数的关系

16 世纪，在意大利数学家塔塔利亚（Tartaglia）、卡尔达诺(Cardano)、费拉利(Ferrari)等人的努力下，用根式求解三次方程与四次方程的方法终获解决。这样，利用代数符号，无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求出它的一般解。于是，数学家们开始寻找一元五次方程的公式解法。虽屡遭挫折，但人们相信，五次方程的解就隐藏在某个角落。在随后三百多年，破解五次方程成了数学中最迷人的挑战之一，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石。可是毫无例外，他们都失败了。五次及以上方程的根式解虽然没有找到，人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的是法国数学家拉格朗日（Lagrange）。1770 年，拉格朗日发表了《关于代数方程解的思考》，他讨论了人们所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次的方程是不可能发生的。拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而，经过顽强的努力之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好像是在向人类的智慧挑战”。一元五次方程不能用根式求解的第一个证明出现在意大利人鲁菲尼严格的证明：如果方程的次数 n≥5,并且系数a1,a2,…… ,an 看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根。这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就被阿贝尔“否定”的解决了。阿贝尔证明了一般一元五次方程不能用根式解，也举例说有的方程能用根式解。问题是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底怎么来判断呢？阿贝尔没有给出证明。换句话说，阿贝尔没有完全解决一元五次方程的求根问题，遗憾的是，对于什么样的特殊方程能用根式解，他还未及得到的答案就因病去世了。一元五次方程的可解性理论，19 世纪法国天才数学家伽罗瓦(Galois)完成1830 年初，伽罗瓦向法国科学院提交一篇关于五次方程的论文，去竞争一项数学大奖。虽然论文中没有提供五次方程的解法，但却展示了伽罗瓦的数学天分，就连柯西（Cauchy）都认为很可能得奖。这篇文章交给科学院秘书傅立叶(Fourier)评审，不料傅立叶未及写出评审报告就去世了，此文下落不明。伽罗瓦也因参加学生闹事，被学校开除。不过，伽罗瓦仍然对数学倾注了极大的热情，他写出了将成为他最著名的论文“关于方程可用根式求解的条件”，于 1831 年 1月送交科学院。这是伽罗瓦希望被数学界承认的最后机会，但是三、四个月过了，仍然杳无音讯。这位受挫的数学天才参加了国民卫队，去保卫共和。结果两次被捕，第一次无罪释放，而第二次被判了六个月的监禁。获得假释不久，他陷入了与一位女人有关的恋情，于 1832 年 5 月 30 日清晨决斗身亡—他才 21 岁。法国数学家刘维尔（Liouville）阅读了伽罗瓦的论文后，惊喜地发现伽罗瓦在论文中给出了代数方程可解性的最终判定，而且独创了一个崭新的数学概念：群。伽罗瓦工作的核心部分是可解性判别准则：当且仅当多项式方程的群是可解群（伽罗瓦群），这个方程可用代数的方法求解。这一准则可用以下过程来简单描述。第一步，确定方程的伽罗瓦群。多项式方程的 n 个根构成一个置换群，也叫做伽罗瓦群 G。第二步，选取伽罗瓦群 G 的极大正规子群 G1，然后再选取 G1 的极大正规子群 G2，如此下去，最后一个必然是{I}。(注：子群 K 与母群 G 中任意元素可交 换，K 叫做正规子群)第三步，构造合成指数列。设 G, G1, G2,…., Gr ,I 的各个群的阶数（即群的 元素个数）分别为：g, g1, g2 , …., gr ,1；那末每个正规子群在它前面子群中的指定理，有限群 G 的子群的阶是 G 的阶的因子，故合成指数列一定是整数。）第四步, 伽罗瓦可解性理论：一个可解群是一个群，它的合成指数列中各个数全为素数。据此可以列出 2 次到 7 次方程的合成指数列： 方程的次数 合成指数列 2 2 3 2, 3 4 2, 3, 2, 2 5 2, 60 6 2, 36 7 2, 2520 由上表格可以看出，当方程的次数大于 4 时，它的合成指数列中的项不全为素数。那么根据伽罗瓦可解性定理，该方程所对应的伽罗瓦群不是可解群，因而由伽罗瓦可解性判定准则可知五次及以上方程没有根式解。“五次方程”引出了华罗庚1926 年 7 卷 10 期的上海《学艺》杂志上发表了一篇苏家驹的论文《代数的五次方程式之解法》，前文已述，这个问题已经由阿贝尔、伽罗瓦证明是不可解的，所以“苏文”与阿贝尔、伽罗瓦的理论相矛盾，必定是有错。华罗庚在阅读了苏家驹的文章之后，写信给《学艺》杂志指出“苏文”的错误。而《学艺》在1929 年 5 月出版的 9 卷 7 期上只刊载了一则简短的“更正声明”，承认“苏文”有误。华罗庚对《学艺》这种半遮半掩的做法并不满意，他把质疑苏家驹论点的文章寄呈《科学》编辑部。不久，1930 年 12 月出版的《科学》15 卷 2 期上以“来件”的方式发表了《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》。华罗庚在论文的开头写道：五次方程经 Abel,Galois 之证明后，一般算学者均认为不可以代数解矣，而《学艺》7卷 10 号载有苏君之《代数的五次方程式之解法》一文，罗欣读之而研究之，于去年冬也仿得‘代数的六次方程式之解法’矣，罗对此欣喜异常，意为果能成立则于算学史中亦可占一席之地，惟自思若不将 Abel 言论驳倒，终不能完全此种理论，故罗沉思于 Abel 之论中，阅一月，见其条理精严，无懈可击，后经本社编辑员之暗示，遂从事于苏君解法确否之工作，与6 月中遂得其不能成立之理由。罗安敢自秘，特公之于世，尙祈示正焉。这段简短文字透露出两个重要信息，一是华罗庚曾经撰写了一篇“代数的六次方程式之解法”，但在精心研读阿贝尔的论文后，确信其“条理精严，无懈可击”；二是，在杂志社编辑的启发下，转向查考苏文，进而发现苏文中的“破绽”。有意思的是，华罗庚所说“本社编辑员”是《学艺》社的？还是“《科学》社的？由于华文刊登在《科学》，这段话又在文章的“篇首”，所以这个“本社”应当是《科学》杂志编辑部。其实，华罗庚与《科学》杂志已有姻缘。华罗庚的第一篇论文《Sturm 氏定理的研究》，就发表 1929 年 12 月出版的《科学》14 卷 14 期上。《科学》编辑部重视文章的质量，并不在乎作者的身份。华罗庚此文章只是对求代数方程实根数的 Sturm 定理做了简化，虽算不上重要发现，但有新意，还是被编辑部接受了。因此，正是《科学》不拘一格，以质选文，才使一位自学青年展露头角。熊庆来教授正是读了《科学》杂志这篇文章，发现了华罗庚。