马氏链模型及其一些应用毕业论文

数学建模内容摘要：数学作为现代科学的一种工具和手段，要了解什么是数学模型和数学建模，了解数学建模一般方法及步骤。关键词：数学模型、数学建模、实际问题伴随着当今社会的科学技术的飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模也显得尤为重要。数学建模在人们生活中扮演着重要的角色，而且随着计算机技术的发展，数学建模更是在人类的活动中起着重要作用，数学建模也更好的为人类服务。一、数学模型数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构.简单地说:就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述),即用数学式子(如函数,图形,代数方程,微分方程,积分方程,差分方程等)来描述(表述,模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律.随着社会的发展,生物,医学,社会,经济……,各学科,各行业都涌现现出大量的实际课题,急待人们去研究,去解决.但是,社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才,而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益.他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就像在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学.而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科,领域的知识,要用到工作经验和常识.特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机.可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的.你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是"干净的"数学,而是"脏"的数学.其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现.也就是说,你要对复杂的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型.数学模型具有下列特征:数学模型的一个重要特征是高度的抽象性.通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维,从而可以突破实际系统的约束,运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究.数学模型的另一个特征是经济性.用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具,可以节省大量的设备运行和维护费用,用数学模型可以大大加快研究工作的进度,缩短研究周期,特别是在电子计算机得到广泛应用的今天,这个优越性就更为突出.但是,数学模型具有局限性,在简化和抽象过程中必然造成某些失真.所谓"模型就是模型"(而不是原型),即是指该性质.二、数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象,简化,假设,引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模.模型是客观实体有关属性的模拟.陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机,至于它是否真的能飞则无关紧要;然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同,如果飞行性能不佳,外形再象飞机,也不能算是一个好的模型.模型不一定是对实体的一种仿照,也可以是对实体的某些基本属性的抽象,例如,一张地质图并不需要用实物来模拟,它可以用抽象的符号,文字和数字来反映出该地区的地质结构.数学模型也是一种模拟,是用数学符号,数学式子,程序,图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略.数学模型一般并非现实问题的直接翻版,它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析,又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识.这种应用知识从实际课题中抽象,提炼出数学模型的过程就称为数学建模.实际问题中有许多因素,在建立数学模型时你不可能,也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑,只能考虑其中的最主要的因素,舍弃其中的次要因素.数学模型建立起来了,实际问题化成了数学问题,就可以用数学工具,数学方法去解答这个实际问题.如果有现成的数学工具当然好.如果没有现成的数学工具,就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它,这又推动了数学本身的发展.例如,开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律,牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它,但当时已有的数学工具是不够用的,这促使了微积分的发明.求解数学模型,除了用到数学推理以外,通常还要处理大量数据,进行大量计算,这在电子计算机发明之前是很难实现的.因此,很多数学模型,尽管从数学理论上解决了,但由于计算量太大而没法得到有用的结果,还是只有束之高阁.而电子计算机的出现和迅速发展,给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路.而在现在,要真正解决一个实际问题,离了计算机几乎是不行的.数学模型建立起来了,也用数学方法或数值方法求出了解答,是不是就万事大吉了呢 不是.既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,到底反映得好不好,还需要接受检验,如果数学模型建立得不好,没有正确地描述所给的实际问题,数学解答再正确也是没有用的.因此,在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验,看它是否合理,是否可行,等等.如果不符合实际,还应设法找出原因,修改原来的模型,重新求解和检验,直到比较合理可行,才能算是得到了一个解答,可以先付诸实施.但是,十全十美的答案是没有的,已得到的解答仍有改进的余地,可以根据实际情况,或者继续研究和改进;或者暂时告一段落,待将来有新的情况和要求后再作改进. 应用数学知识去研究和和解决实际问题,遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲,可以说数学建模是一切科学研究的基础.没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果,所以,建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一.数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题,解决问题的能力的必备手段之一.三、数学建模的一般方法建立数学模型的方法并没有一定的模式,但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法:1.机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义.(1) 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法. (2) 代数方法--求解离散问题(离散的数据,符号,图形)的主要方法. (3) 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际 问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用. (4) 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式. (5) 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律.2.测试分析方法 测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱"系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型. (1) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.(2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.(3) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.(4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法, 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致可见左图.3.仿真和其他方法(1) 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验.① 离散系统仿真--有一组状态变量.② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图.(2) 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构.(3) 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统.(参见:齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996)四、数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种.1.按照模型的应用领域(或所属学科)分:如人口模型,交通模型,环境模型,生态模型,城镇规划模型,水资源模型,再生资源利用模型,污染模型等.范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学,医学数学,地质数学,数量经济学,数学社会学等.2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分:如初等数学模型,几何模型,微分方程模型,图论模型,马氏链模型,规划论模型等.按第一种方法分类的数学模型教科书中,着重于某一专门领域中用不同方法建立模型,而按第二种方法分类的书里,是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用.在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模.3.按照模型的表现特性又有几种分法:确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的影响.近年来随着数学的发展,又有所谓突变性模型和模糊性模型.静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化.线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的.离散模型和连续模型 指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的.虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的,动态的,非线性的,但是由于确定性,静态,线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模时常先考虑确定性,静态,线性模型.连续模型便于利用微积分方法求解,作理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而定.在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将离散变量视作连续,也是常采用的方法.4.按照建模目的分:有描述模型,分析模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型等.5.按照对模型结构的了解程度分:有所谓白箱模型,灰箱模型,黑箱模型.这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙.白箱主要包括用力学,热学,电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了.灰箱主要指生态,气象,经济,交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做.至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象.有些工程技术问题虽然主要基于物理,化学原理,但由于因素众多,关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理.当然,白,灰,黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展,箱子的"颜色"必然是逐渐由暗变亮的.五、数学建模的一般步骤建模的步骤一般分为下列几步:1.模型准备.首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息.2.模型假设.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面.一般地说,一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解.不同的简化假设会得到不同的模型.假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作.通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合.作假设时既要运用与问题相关的物理,化学,生物,经济等方面的知识,又要充分发挥想象力,洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化,均匀化.经验在这里也常起重要作用.写出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样.3.模型构成.根据所作的假设以及事物之间的联系, 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型.把问题化为数学问题.要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.4.模型求解.利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设.在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解.5.模型分析.对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析,模型对数据的稳定性或灵敏性分析等.6.模型检验.分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改,补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善.7.模型应用.所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善.应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.参考文献：(1)齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996。(2)《数学的实践与认识》,(季刊),中国数学会编辑出版。

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先直白得讲性质： 当前的状态只和上一时刻有关，在上一时刻之前的任何状态都和我无关。我们称其 符合 马尔可夫性质。

下面是理论化的阐述： 设{X(t), t ∈ T}是一个 随机过程 ，E为其状态空间，若对于任意的t1

马尔可夫链 是指具有马尔可夫性质的随机过程。在过程中，在给定当前信息的情况下，过去的信息状态对于预测将来 状态 是无关的。

例子： 在今天这个时间点而言，过去的股价走势对我预测未来的股价是毫无帮助的。 PS：上面马尔可夫链中提到的 状态 ，在本例指的是 股价 。

在马尔可夫链的每一步，系统根据 概率分布 ，可以从一个状态变成另外一个状态，也可以保持当前状态不变。状态的改变叫做 转移 ，状态改变的相关概率叫做 转移概率 。

例子： 当前时间状态下的股价，可以转变成下一时刻的股价，股价的转变即 状态的改变 。这个状态现在可以上升(股价提高)，状态也可以下降。我可以根据当前股票的价格去决定下一刻股价上升、下降、不变的概率。这种股价变动的概率称为 状态转移概率 。

马尔可夫链中的 三元素是 ：状态空间S、转移概率矩阵P、初始概率分布π。

1、状态空间S - 例： S是一个集合，包含所有的状态 S 股价 ={高，中，低} ；

2、初始概率分布π - 例： 股价刚发行的时候有一个初始价格，我们认为初始价格为高的概率为50%，初始价格为中的概率是30%，初始价格为低的概率是20%。我们记股票价格的初始概率分布为：π=(，，)；对应状态：(高、中、低)； 初始概率分布是一个向量 ，如果有n个状态，π是n维向量。

3、转移概率矩阵P - 例： 现在有个股价为中，下一个时刻状态转变的可能性有三种，中→高、中→低、中→中；将三种转变的概率。此外当前时刻也有股票的价格属于低，对应的转变可能包括低→高、低→低、低→中；即每种状态都有可能转变成其他的状态，若一共有n个状态，形成的 转移概率矩阵 应该是n×n阶矩阵。这里需要注意的是，股价从高→低，和低→高的概率是不同的。

设将天气状态分为晴、阴、雨三种状态，假定某天的天气状态只和上一天的天气状态有关，状态使用1(晴)、2(阴)、3(雨)表示，转移概率矩阵P如下：

第n+1天天气状态为j的概率为：

因此，矩阵P即为条件概率转移矩阵。矩阵P的第i行元素表示，在上一个状态为i的时候的分布概率，即每行元素的和必须为1。

隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)是一种统计模型，在语音识别、行为识别、NLP、故障诊断等领域具有高效的性能。

HMM是关于时序的概率模型，描述一个含有未知参数的马尔可夫链所生成的不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成观测随机序列的过程。

HMM是一个双重随机过程---具有一定状态的隐马尔可夫链和随机的观测序列。

HMM随机生成的状态随机序列被称为状态序列；每个状态生成一个观测，由此产生的观测随机序列，被称为观测序列。

思考： z1,z2...,zn是 不可观测的状态，x1,x2,...xn是 可观测到的序列 ；不可观测的状态觉得可观测序列的值(z的取值决定x的取值)；

1、在 z1、z2 不可观测 的情况下，x1和z2独立吗？x1和x2独立吗？

回答： 这个问题可以回顾之前的 贝叶斯网络 来理解。 首先z1，z2都是离散的值，但x1的值可能是离散的也可能是连续的。比如z是天气情况，每天天气的改变是离散的。x是因为天气而改变的一些其他状态，比如x=(地面是否潮湿、路上行人数量、雨伞销售数量...)； 在z1和z2不可观测的情况下，x1和z2不独立，x1和x2也是不独立的。

2、 在 z1、z2可观测 的情况下，x1和z2独立吗？x1和x2独立吗？

回答： 在z1和z2可观测的情况下，因为x1和z2的取值只和z1有关，所以就独立了。同样在给定了z1和z2的情况下，x1和x2也独立。

请回顾贝叶斯网络中的独立性问题来思考这个问题。 04 贝叶斯算法 - 贝叶斯网络

回顾： 一般而言，贝叶斯网络的有向无环图中的节点表示随机变量，可以是可观察到的变量，或隐变量，未知参数等等。连接两个节点之间的箭头代表两个随机变量之间的因果关系(也就是这两个随机变量之间非条件独立)；如果两个节点间以一个单箭头连接在一起，表示其中一个节点是“因”，另外一个节点是“果”，从而两节点之间就会产生一个条件概率值。

PS：每个节点在给定其直接前驱的时候，条件独立于其非后继。

HMM 由隐含状态S、可观测状态O、初始状态概率矩阵π、隐含状态转移概率矩阵A、可观测值转移矩阵B(又称为混淆矩阵，Confusion Matrix)；

π和A决定了状态序列，B决定观测序列，因此HMM可以使用三元符号表示，称为HMM的三元素：

S可以统计历史出现的所有状态； 初始概率分布π，统计S中各个状态各自出现的概率作为我们的初始概率分布π向量值；

S是所有可能的状态集合，O是所有可能的观测集合：

I是长度为T的状态序列，Q是对应的观测序列：

S={下雨，阴天，晴天}；O={地上干，地上湿} I = {晴，雨，雨，阴，晴，阴} Q={干，湿，湿，湿，干，干}

A是隐含状态转移概率矩阵:

其中aij是在时刻t处于状态si的条件下时刻t+1转移到状态sj的概率。 a 晴雨 = 某天是晴天条件下，下一天是雨天的概率。 （某一时刻→下一时刻）

B是可观测值转移概率矩阵:

其中bij是在时刻t处于状态si的条件下生成观测值oj的概率。 b 晴干 = 某天是晴天条件下，某天是地是干的的概率。 （同一时刻）

π是初始状态概率向量:

其中πi是在时刻t=1处于状态si的概率。 π 晴 = 初始第一天是晴天的概率； π 雨 = 初始第一天是雨天的概率；

p(i t | .....) 表示在从 t-1时刻的观测值q t-1 ，一直到第1时刻观测值q1 的条件下，在第t时刻发生状态的概率。

性质1： 最终分析结果发现，在第t时刻发生状态的概率it只和t-1时刻有关。 性质2： 第t时刻的观测值qt只和第t时刻的状态it有关。

假设有三个盒子，编号为1,2,3；每个盒子都装有黑白两种颜色的小球，球的比例。如下：

按照下列规则的方式进行有放回的抽取小球，得到球颜色的观测序列： 1、按照π的概率选择一个盒子，从盒子中随机抽取出一个球，记录颜色后放回盒子中； 2、按照某种条件概率选择新的盒子，重复该操作； 3、最终得到观测序列：“白黑白白黑”

例如： 每次抽盒子按一定的概率来抽，也可以理解成随机抽。 第1次抽了1号盒子①，第2次抽了3号盒子③，第3次抽了2号盒子②.... ； 最终如下： ①→③→②→②→③ 状态值 白→黑→白→白→黑 观测值

1、 状态集合： S={盒子1，盒子2，盒子3} 2、 观测集合： O={白，黑} 3、 状态序列和观测序列的长度 T=5 (我抽了5次) 4、 初始概率分布： π 表示初次抽时，抽到1盒子的概率是，抽到2盒子的概率是，抽到3盒子的概率是。 5、 状态转移概率矩阵 A：a11= 表示当前我抽到1盒子，下次还抽到1盒子的概率是； 6、 观测概率矩阵 B：如最初的图，b11=第一个盒子抽到白球概率，b12=第一个盒子抽到黑球概率;

在给定参数π、A、B的时候，得到观测序列为“白黑白白黑”的概率是多少?

这个时候，我们不知道隐含条件，即不知道状态值：①→③→②→②→③ ； 我们如何根据π、A、B求出测序列为“白黑白白黑”的概率？

02 隐马尔可夫模型 - HMM的三个问题 - 概率计算、学习、预测

大学生数学建模竞赛简介 〔 作者：佚名 转贴自：本站原创 点击数：368 文章录入：admin 〕 1、数模竞赛的起源与历史 数模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。我国大学生数学建模竞赛是由教育部高教司和中国工业与数学学会主办、面向全国高等院校的、每年一届的通讯竞赛。其宗旨是：创新意 识、团队精神、重在参与、公平竞争。1992载在中国创办，自从创办以来，得到了教育部高教司和中国工业与应用数学协会的得力支持和关心，呈现出迅速的发展发展势头，就2003年来说，报名阶段须然受到“非典”影响，但是全国30个省（市、自治区）及香港的637所院校就有5406队参赛，在职业技术学院增加更快，参赛高校由2002年的1067所上升到了2003年的1410所。可以说：数学建模已经成为全国高校规模最大课外科技活动。 2、什么是数学建模 数学建模（Mathematical Modelling）是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示。”从科学，工程，经济，管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。顾名思义，modelling一词在英文中有“塑造艺术”的意思，从而可以理解从不同的侧面，角度去考察问题就会有不尽的数学模型，从而数学建模 的创造又带有一定的艺术的特点。而数学建模最重要的特点是要接受实践的检验，多次修改模型渐趋完善的过程。 3、竞赛的内容 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 4、竞赛的步骤 建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框 框规定出各种模型如何具体建立，这里只是大致归纳一下建模的一般步骤和原则： 1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息． 2）模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。 3）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系把问题化 4）模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。 5）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。 6）模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。 7）模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。5、模型的分类 按模型的应用领域分类 生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型 按是否考虑随机因素分类 确定性模型 随机性模型 按是否考虑模型的变化分类 静态模型 动态模型 按应用离散方法或连续方法 离散模型 连续模型 按建立模型的数学方法分类 几何模型 微分方程模型 图论模型 规划论模型 马氏链模型 按人们对事物发展过程的了解程度分类 白箱模型： 指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。 灰箱模型： 指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。 如气象学、生态学经济学等领域的模型。 黑箱模型： 指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。 6、数学建模应用 今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用。 分析与设计 例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速空气流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。 预报与决策 生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型。使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，是决策模型的例子。 控制与优化 电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。 规划与管理 生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用运筹学模型解决。