
第一次数学危机编辑简介从某种意义上来讲,现代意义下的数学(也就是作为演绎系统的纯粹数学)来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”,在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”,认为数学的知识是可靠的、准确的,而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得,并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯的数是指整数,他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式,但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达,也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来,就否定了毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。引起不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说,这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的,为此,他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实,而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样,这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击,换句话说,如果希帕索斯发现的无理数真的存在,那么古希腊的数学理论体系就完全崩溃了。这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战,于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系,这不能不说是数学思想上一次巨大革命,这也是第一次数学危机的自然产物。回顾以前的各种数学,无非都是“算”,也就是提供算法。即使在古希腊,数学也是从实际出发,应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食,利用影子距离计算金字塔高度,测量船只离岸距离等等,都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学,并没有经历过这样的危机和革命,所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路,形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。危机产物古典逻辑与欧氏几何学亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的,他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念,把定义与存在区分,由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外,定义必须用已存在的定义过的东西来定义,所以必定有些最原始的定义,如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。亚里士多德还指出公理的必要性,因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设,认为公理是一切科学所公有的真理,而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究,得出三段论法,并把它表达成一个公理系统,这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科,而且对数学证明的发展也有良好的影响。亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的“无穷大”和实在的“无穷大”加以区别。他认为正整数是潜在无穷的,因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的,时间在延长上是潜在无穷的,在细分上也是潜在无穷的。欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出,欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识,构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义,五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评,比如对于点、线、面的定义是不严格的:“点是没有部分的对象”,“线是没有宽度的长度(线指曲线)”,“面是只有长度和宽度的对象”。显然,这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。另外,他的公理五是“整体大于部分”,没有涉及无穷量的问题。在他的证明中,原来的公理也不够用,须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此,近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。诞生非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病,毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家,把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时,大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断,物质世界必然是欧几里得式的,欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。既然是完美的,大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件,唯独平行公设不够简明,像是一条定理。欧几里得的平行公设是:每当一条直线与另外两条直线相交,在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时,这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。在《几何原本》中,证明前28个命题并没有用到这个公设,这很自然引起人们考虑:这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出,也就是说,平行公设可能是多余的。之后的二千多年,许许多多人曾试图证明这点,有些人开始以为成功了,但是经过仔细检查发现:所有的证明都使用了一些其他的假设,而这些假设又可以从平行公设推出来,所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。到了十八世纪,有人开始想用反证法来证明,即假设平行公设不成立,企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论,比如“有两条线在无穷远点处相交,而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来,这些结论不合情理,因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚,也很难说是导出矛盾,所以不能说由此证明了平行公设。从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立,需要在某种程度上解放思想。首先,要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事,并且这种不可能性是可以加以证实的;其次,要选取与平行公设相矛盾的其他公设,也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学,欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学,也就是说,它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头,但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。这个过程是漫长的,其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学,尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何,也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。应该指出,非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾,只有这样才能说新几何学成立,才能说明第五公设独立于别的公理公设,这是一个起码的要求。当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾,如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通,也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西,公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释,这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。对于罗巴切夫斯基几何学,最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型;德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性,而且有的可以推广到更一般非欧几何,即黎曼创立的椭圆几何学,另外还可以推广到高维空间上。因此,从十九世纪六十年代末到八十年代初,大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性,但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派,如数理逻辑的缔造者弗雷格,至死不肯承认非欧几何学,不过这已无关大局了。非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题,从十九世纪八十年代起,几何学的公理化成为大家关注的目标,并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。3第二次数学危机编辑简介早在古代,人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西,并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外,并没有无理数的概念,连有理数的运算也没有,可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣,尤其是芝诺提出的四个著名的悖论:第一个悖论是说运动不存在,理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路,而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去,它必须通过无限多个点,这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时,他必须首先到达乌龟的起点,然后用第一个悖论的逻辑,乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”,因为在某一时间间隔,飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上,因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论,内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。希腊人虽然没有明确的极限概念,但他们在处理面积体积的问题时,却有严格的逼近步骤,这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法,证明了许多重要而难证的定理。新问题到了十六、十七世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力,终于在十七世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科,这也就是数学分析的开端。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于:1,把各种问题的解法统一成一种方法,微分法和积分法;2,有明确的计算微分法的步骤;3.微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用范围的广泛性,微积分成为了解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例,瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量,还是什么东西,这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论,从而引发了第二次数学危机。十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题,因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说,现在是“把房子盖得更高些,而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是繁琐。但也正是因此,微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击,其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。建立基础十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算,而不管基础的可靠与否,其中特别是:没有清楚的无穷小概念,因此导数、微分、积分等概念不清楚;对无穷大的概念也不清楚;发散级数求和的任意性;符号使用的不严格性;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。一直到十九世纪二十年代,一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始,最终由魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在,而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始,认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,并定义了导数和积分;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上,维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义,并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上,从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。同时,魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子,充分说明了直观及几何的思考不可靠,而必须诉诸严格的概念及推理。由此,第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生,并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题,而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。4第三次数学危机编辑简介经过第一、二次数学危机,人们把数学基础理论的无矛盾性,归结为集合论的无矛盾性,集合论已成为整个现代数学的逻辑基础,数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的,数学的严格性的目标快要达到了,数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。法国著名数学家庞加莱(1854—1912)于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道:“现在可以说,(数学)绝对的严密性是已经达到了”。然而,事隔不到两年,英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素(1872—1970)即宣布了一条惊人的消息:集合论是自相矛盾的,并不存在什么绝对的严密性!史称“罗素悖论”。1918年,罗素把这个悖论通俗化,称为“理发师悖论”。罗素悖论的发现,无异于晴天劈雳,把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论,深入到集合论的理论基础之中,从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波,形成了数学史上的第三次危机。产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。如产生罗素悖论的原因,就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。再次产物数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。为了解决第三次数学危机,数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同,所遵循的途径不同,所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派,这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔(1881—1966)为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展,把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。为了排除集合论悖论,罗素提出了类型论,策梅罗提出了第一个集合论公理系统,后经弗伦克尔加以修改和补充,得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系,以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化,得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。希尔伯特还建立了元数学。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。美国杰出数学家哥德尔于20世纪30年代提出了不完全性定理。他指出:一个包含逻辑和初等数论的形式系统,如果是协调的,则是不完全的,亦即无矛盾性不可能在本系统内确立;如果初等算术系统是协调的,则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性,从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们,任何想要为数学找到绝对可靠的基础,从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的,哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、集合论的基石,是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过:“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑,它是一个里程碑,在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。时至今日,第三次数学危机还不能说已从根本上消除了,因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而,人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料,在这个过程中还将产生许多新的重要成果。参考来源:望采纳~~~
文献综述是对某一方面的专题搜集大量情报资料后经综合分析而写成的一种学术论文,它是科学文献的一种。文献综述是反映当前某一领域中某分支学科或重要专题的最新进展、学术见解和建议的它往往能反映出有关问题的新动态、新趋势、新水平、新原理和新技术等等。文献综述与“读书报告”、“文献复习”、“研究进展”等有相似的地方,它们都是从某一方面的专题研究论文或报告中归纳出来的。但是,文献综述既不象“读书报告”、“文献复习”那样,单纯把一级文献客观地归纳报告,也不象“研究进展”那样只讲科学进程,其特点是“综”,“综”是要求对文献资料进行综合分析、归纳整理,使材料更精练明确、更有逻辑层次;“述”就是要求对综合整理后的文献进行比较专门的、全面的、深入的、系统的论述。总之,文献综述是作者对某一方面问题的历史背景、前人工作、争论焦点、研究现状和发展前景等内容进行评论的科学性论文。格式与写法文献综述的格式与一般研究性论文的格式有所不同。这是因为研究性的论文注重研究的方法和结果,特别是阳性结果,而文献综述要求向读者介绍与主题有关的详细资料、动态、进展、展望以及对以上方面的评述。因此文献综述的格式相对多样,但总的来说,一般都包含以下四部分:即前言、主题、总结和参考文献。撰写文献综述时可按这四部分拟写提纲,再根据提纲进行撰写。前言部分,主要是说明写作的目的,介绍有关的概念及定义以及综述的范围,扼要说明有关主题的现状或争论焦点,使读者对全文要叙述的问题有一个初步的轮廓。主题部分,是综述的主体,其写法多样,没有固定的格式。可按年代顺序综述,也可按不同的问题进行综述,还可按不同的观点进行比较综述,不管用那一种格式综述,都要将所搜集到的文献资料归纳、整理及分析比较,阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述,主题部分应特别注意代表性强、具有科学性和创造性的文献引用和评述。总结部分,与研究性论文的小结有些类似,将全文主题进行扼要总结,对所综述的主题有研究的作者,最好能提出自己的见解。参考文献虽然放在文末,但却是文献综述的重要组成部分。因为它不仅表示对被引用文献作者的尊重及引用文献的依据,而且为读者深入探讨有关问题提供了文献查找线索。因此,应认真对待。参考文献的编排应条目清楚,查找方便,内容准确无误。
数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下面我给你分享三次数学危机论文,欢迎阅读。
摘要:本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除,针对它们的本质浅谈自己的认识,实际导致这三次危机原因在与人的认识。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解,随着无理数的发现,把第一次数学危机度过了。第二次数学危机是人们对无穷小的误解,微积分的出现产生了一种新的方法,即分析方法,分析方法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现,给数学界以极大的震动,导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径,在数学界逻辑界进行了不懈的探讨,提出了一系列解决方案,并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
关键词:危机;万物皆数;无穷小;分析方法;集合
一、前言
数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科,但在数学的发展史中,却经历了三次危机,人们为了使数学向前发展,从而引入一些新的东西使问题化解,在第一次危机中导致无理数的产生;第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后,无穷小量的刻画问题,最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发生在19世纪末,罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波,最后是将集合论建立在一组公理之上,以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产生与发展,并给出了自己对这三次危机的看法,最后得出确定性丧失的结论。
二、数学史上的第一次“危机”
第一次数学危机是发生在公元前580-568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛,忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究,他们认为“万物旨数”。所谓数就是指整数,他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理,信条是:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比,即世界上只存在整数与分数,除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期。上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的,绝对的权威受到了严重的挑战:一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数,按照他们的观点,这种长度不是数!另一方面,他们不承认自己的观点有问题,这就陷入了极大的矛盾之中,这是第一次数学危机。
三、第二次数学危机
第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料,阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素,直到很多年后。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地――微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中,第一步用了无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零,去掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪,柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决。
四、数学史上的第三次危机
1.悖论的产生及意义
(1)什么是悖论
悖论来自希腊语,意思是“多想一想”。这个次的意义比较丰富,它包括一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题,即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立;反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出原命题成立。如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论,他们震撼了逻辑学和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
(2)悖论产生的意义
疏忽学悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。虽然暂时引起人们的思想混乱,对正常的科学研究可能会形成一定的冲击,但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾,对于揭露原有理论的缺陷或局限性,对于这一步深入理解,任何和评价原有科学理念,对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义,同时也为科学研究提供新的课题和研究方向。
2.第三次数学危机的产生与解决
(1)第三次数学危机的产生
第三次数学危机发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾。
罗素在该悖论中所定义的集合R,被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是集合,若R含有自身作为元素,就有R R,那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己,这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素,又要R与R是相同的,这显然是不可能的。因此,任何集合都必须遵循R R的基本原则,否则就是不合法的集合。这样看来,罗素悖论中所定义的一切R R的集合,就应该是一切合法集合的集合,也就是所有集合的集合,这就是同类事物包含所有的同类事物,必会引出最大的这类事物。归根结底,R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了,实质上,罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
(2)第三次数学危机的解决
罗素的悖论产生后,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓zF公理系统),这场数学危机到此缓和下来。
现在,我们通过离散数学的学习,知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论,集合是先定义了全集I,空集,在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论,使现代数学得以发展。
三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基,他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫,我我想以后也许会有第四次数学危机,但数学家也会把它化解掉,只有出现危机,才能使我们的数学研究达到更高的境界。
数学的产生和发展,始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中,任何一个新概念的引入,都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景,只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关知识,充分发挥和利用数学史的教育价值,使学生通过了解数学史,而更加全面更加深刻地理解数学、感悟数学。
一、集合论的诞生
一般认为,集合论诞生于1873年底。1873年11月29日,康托尔(,1845-1918)在给戴德金(JuliusWilhelmRichardDedekind,1831—1916)的信中提问“正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?”这是一个导致集合论产生的大问题。几天后,康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果,“实数是不可数集”,并将这一结果以标题为《关于全体实代数数集合的一个性质》的论文发表在德国《克莱尔数学杂志》上,这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”,在其系列论文中,他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合运算等,康托尔的这篇文章标志着集合论的诞生。
二、集合论成为现代数学大厦的基础
康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论,他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合,让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。它的概念和方法渗透到了代数、拓扑和分析等许多数学分支,甚至渗透到物理学等其他自然学科,为这些学科提供了奠基的方法。几乎可以说,没有集合论的观点,很难对现代数学获得一个深刻的理解。
集合论诞生的前后20年里,经历千辛万苦,但最终获得了世界的承认,到了20世纪初,集合论已经得到数学家们的普遍赞同,大家一致认为,一切数学成果都可以建立在集合论的基础之上了,简言之,借助集合论的概念,便可以建立起整个数学大厦,就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱(JulesHenriPoincaré,1854-1912)也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布:“借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦。今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了。”然而,好景不长,一个震惊数学界的消息传出,集合论是有漏洞的!如果是这样,则意味着数学大厦的基础出现了漏洞,对数学界来说,这将是多么可怕啊!
三、罗素(BertrandRussell,1872-1970)悖论导致第三次数学危机
1903年,英国数学家罗素在《数学原理》一书上给出一个悖论,很清楚地表现出集合论的矛盾,从而动摇了整个数学的基础,导致了数学危机的产生,史称“第三次数学危机”。
罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R,现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的定义,因此R不属于自身,即R不属于R。另一方面,如果R不属于R,则R不满足R的定义,因此R应属于自身,即R属于R,这样,不论任何情况都存在矛盾,这就是有名的罗素悖论(也称理发师悖论)。
罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础,也波及到了逻辑领域,德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时,收到了罗素关于这一悖论的信,他立刻发现,自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟,他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样,罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。
四、消除悖论,化解危机
罗素悖论的存在,明确地表示集合论的某些地方是有毛病的,由于20世纪的数学是建立在集合论上的,因此,许多数学家开始致力于消除矛盾,化解危机。数学家纷纷提出自己的解决方案,希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。
在20世纪初,大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛(Zermelo,ErnstFriedrichFerdinand,1871~1953)提出的公理化集合论,把原来直观的集合概念建立在严格的公理基础上,对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾,从而避免悖论的出现,这就是集合论发展的第二阶段:公理化集合。
解铃还须系铃人,在此之前,危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这个矛盾,又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂,而策梅洛则把这个方法加以简化,提出了“决定性公理(外延公理)、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选择公理和无穷公理”,通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合,从而消除了罗素悖论产生的条件。后来,策梅洛的公理系统又经其他人,特别是弗兰克尔()和斯科伦()的修正和补充,成为现代标准的“策梅洛——弗兰克尔公理系统(简称ZF系统)”,这样,数学又回到严谨和无矛盾的领域,而且更促使一门新的数学分支——《基础数学》迅速发展。
五、危机的启示
从康托尔集合论的提出至今,时间已经过去了一百多年,数学又发生了巨大的变化,而这一切都与康托尔的开拓性工作密不可分,也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决,我们可以看到,数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的,期间要经历无数的挫折和失败,但是只要坚持,终会走向成功。
矛盾的消除,危机的化解,往往给数学带来新的内容,新的变化,甚至革命性的变革,这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因(FelixChristianKlein1849-1925)在《数学——确定性丧失》中说:“与未来的数学相关的不确定性和可疑,将取代过去的确定性和自满,虽然这次悖论已经找到解释,危机也已化解,但是更多的还是未知,因为只要仔细分析,矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现,这种发现不应该被认为是‘危机’,而应该感到,下一个突破的机会来到了。”
参考文献:
1.《普通高中课程标准实验教科书——数学必修1》教师教学用,人民教育出版社
2.胡作玄,《第三次数学危机》
中华人民共和国的诞生,为中国数千年的文明史揭开了新的篇章,我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象,以下是我搜集的一篇关于三次数学危机探讨的论文范文,供大家阅读参考,
从我国数学的发展看三次数学危机。
1 引言
数学中有大大小小的许多矛盾,比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾,例如有穷与无穷,连续与离散,乃至存在与构造,逻辑与直观,具体对象与抽象对象,概念与计算等等。在整个数学发展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史,斗争的结果就是数学领域的发展。
2 三次数学危机
第一次数学危机发生在古希腊,源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。毕达哥拉斯认为,事物的本质是由数构成的,并以数为基础,构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来,数就是整数或整数之比。但这一信条后来遇到了困难。因为有些数是不可公度的。这一矛盾,导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产,并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。这在当时产生的震动太大了,因此历史上称之为第一次数学危机。
17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论,被称为第二次数学危机[2].在17世纪晚期,形成了微积分学。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分,有明确的计算步骤,微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷,导致了无穷小悖论[4].当时牛顿等人不能自圆其说,而且,其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问,由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成第二次数学危机.
19世纪末分析严格化的最高成就--集合论,似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称:现在我们可以说,完全的严格性已经达到了![5]但就在第二年,一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了,英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望,引起了关于数学基础的新争论。他把关于集合论的一个着名悖论用故事通俗地表述出来。
它和其它一些集合论悖论一样,对数学发展的影响是十分深刻、巨大的,甚至可以说是动摇了整个数学的基础,并导致了第三次数学危机。
3 从我国数学的发展看三次数学危机
中华人民共和国的诞生,为中国数千年的文明史揭开了新的篇章,我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象,这是我们国家社会主义建设的需要,也是我们党和国家非常重视科学技术的结果,
数学论文《从我国数学的发展看三次数学危机。中国科学院于1950年开始筹建数学研究所,1952年正式成立。全国各高等院校普遍设置了数学系,《数学学报》和《数学通报》复刊。1958年~1960年的大跃进时期,在极左思潮影响下,数学基础理论研究受到很大冲击,积极的一面是明确了向世界先进水平看齐的奋斗目标,也重视理论联系实际,线性规划得到大力推广并创造了切实可行的图上作业法,运筹学由此在我国发展起来。在发展我国高科技过程中,例如1965年9月17日,我国科学工作者在世界上首次用人工方法合成结晶牛胰岛素。
我们不能不承认,数学对于现实生活的影晌正在与日俱增。许多学科都在悄悄地经历着一场数学化的进程。现在,已经没有哪个领域能够抵御得住数学方法的渗透。因此,对于数学,特别是现代数学加以普及,使得数学和数学家的工作能对现实生活产生应有的积极影响,这已成为人们日益重视的课题。
4 总结
综上所述三次数学危机对数学的发展影响是巨大的。第一次数学危机中产生的欧几里德几何对树立天文学的发展起了很大的推动作用,第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化,使古希腊的数学基础转向几何。第二次数学危机中波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西指出无穷小量和无穷大量都是变量,并且定义了导数和积分;狄利克雷给出了函数的现代定义;美国数理逻辑学家罗宾逊又利用无穷小量引进超实数的概念,建立了非标准分析,同样也能精确的描述微积分,解决无穷小悖论。第三次数学危机建立了实数理论,且在此基础上建立了极限的基本定理,使数学分析建立在实数理论的严格基础之上,康托尔创立了集合论。而且还产生了公理化方法论和数理逻辑等一批新颖学科。我国以至世界各国的数学发展也都依赖于三次数学危机中产生的数学的新内容。整个数学的发展是一个层层深入、层层递进的过程。
参考文献:
[1]人民教育出版社中学数学室着.现代数学概论[M].北京:人民教育出版社,2003.
[2]张光远.现代化知识文库:二十世纪数学史话[M].知识出版社,
[3]袁小明.数学史话[M].山东教育出版社,1985.
[4]于寅.近代数学基础[M].华中理工大学出版社,.
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