柯西不等式毕业论文设计

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用巧拆常数证不等式例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)∵a、b、c均为正数∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)^2∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9又a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足∴原不等式成立求某些函数最值例：求函数y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值。注：“√”表示平方根。函数的定义域为[5,9]，y＞0y=3√(x－5)＋4√(9－x)≤√(3^2＋4^2)×√{[√(x－5)]^2＋[√(9－x)]^2}＝5×2＝10函数在且仅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44时取到。以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例请参考有关文献。

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。巧拆常数证不等式例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)∵a、b、c均为正数∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)^2∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9又a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足∴原不等式成立求某些函数最值例：求函数y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值。注：“√”表示平方根。函数的定义域为[5,9]，y＞0y=3√(x－5)＋4√(9－x)≤√(3^2＋4^2)×√{[√(x－5)]^2＋[√(9－x)]^2}＝5×2＝10函数在且仅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44时取到。以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例请参考有关文献。