导数的间断点研究论文

连续函数的导函数具有介值性(书上应该有证明吧),不会有一类间断点,因为一类间断点左右极限都存在,但是不相等,左右极限中间的那些值没有原象,所以与介值性是矛盾的

题目是不是没有写完整？导数如果有间断点那么会有几种类型的即导数在某点不连续那一点的导数不存在

函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存在且相等，这个没错，但是这个是说函数要连续，但是并不意味着导函数也要连续。函数可导只能推出连续，不可能推出导函数也连续。关于间断点首先我们讨论一下原函数的存在性：1.当f(x)连续时，一定存在原函数F(X)2.当f(x)存在第一类间断点时，一定不存在原函数。言外之意就是，f(x)存在第二类间断点时，可以存在原函数。然后我们来讨论你的问题，首先导函数不一定是连续函数，前面已经讲了。那么我们来讨论，导函数的间断点是否必须为第二类。既然是“导函数”，说明是某函数求导得到的函数。也就是说，该“导函数”一定是有原函数的。既然有原函数，根据前面的原函数存在性定理，那么必须不能有第一类间断点，可以是连续的，-------------------------------------------------------------------------------------------------下面给出详细的证明。首先我们要搞清楚，导数的左（右）极限=左（右）导数的条件是什么。设f(x) 在x=c点邻域内连续，可导。且导函数在c点左右两侧极限存在（假设极限为A）。f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c)，由罗比达法则，f`(c-0)=limf`(x)=A x-c-也就是此时左导数=导数的左极限=A同理此时右导数=导数的右极限=A下面我们证明，导数的间断点只能是第二类间断点。反证法：假设x=c是导函数f`(x)的间断点，且是第一类间断点（即limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在）因为limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在，则f`(c-0)=f`(c+0)，也就是说，x=c是导函数f`(x)的连续点。矛盾。所以只能是第二类间断点。

一问：可微一定可导，可导一定是连续的。所以间断点的导数不存在。二问：没有紧邻的没有距离的两点。实数是具有稠密性的，意思就是说数轴上任何两点之间必存在实数。