泰勒公式毕业论文特点与创新

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来，即(用现在的记号) 这一定理及其中的无穷级数都以泰勒命名．这条定理的重要性现在是众所周知的，在几乎任何一本微积分教科书上都能找到，并在许多数学分支里有着广泛的应用． 泰勒定理的首次正式出现是在1715年版的《正和反的增量法》的第23页上，作为命题7的第2个推论．但在1712年7月26日给梅钦的信中他已叙述了这一结果，不过当时未给出证明．后来，H．贝特曼(Bateman)重印了这封信．泰勒在信上说道，这一工作，是因为在查尔特咖啡馆(Child’s Coffeehouse)里听到梅钦关于用“牛顿级数”解开普勒(Kepler)问题的一席谈话以及看到发表于1694年《哲学会报》上的“哈雷博士求根法”(Dr．Halley’s method of extracting roots)，受到启发才做出来的．他在书中也称赞了牛顿． 这里有两点需要指出．一方面，在17世纪后期和18世纪，随着航海、天文学和地理学的进展，迫切要求三角函数表、对数表和航海表等的插值有较高的精确度，因此许多插值方法应运而生．其中牛顿插值公式(或称格里戈里(Gregory)-牛顿内插公式)用了有限差方法，这一公式由泰勒发展成把函数展开成无穷级数的最有力的方法．但另一方面，除了牛顿以外，莱布尼茨在有限差分方面也做过许多工作，伯努利(Bernoulli)兄弟等在把函数展开成级数方面有许多重要的贡献，而且实际上，J．伯努利(JohannBernoulli)曾于1694年在《教师学报》(Acta Eruditorum)上发表过与泰勒定理相同的结果，泰勒是知道这一切的，但在书中没有提，这里包含有某些其他的原因，我们在后面还会提到． 提一下泰勒在书中给出的定理的证明是很有意思的，从中一方面可以看到当时微积分基础的混乱，另一方面又可以看到许多有识之士为此作出的努力．泰勒认为，可以用有限差分和极限既解释牛顿的流数法又解释莱布尼茨的微分法，流数法的原理“全部能从增量法的原理直接推导出来”(虽然莱布尼茨在那时曾说过，这是“把车子放在马的前面”)．但如何从有限差分过渡到流数，他(和莱布尼茨一样)并不清楚，认为只要把“初始的增量”写成零就行了．因此，他先从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿内插公式，然后令其中的初始增量为零，项数为无穷，既没有考虑级数的收敛性也没有给出余项的表达式．F．克莱因(Klein)曾评注道，这是一种“无先例的大胆地通过极限”，“泰勒实际上是用无穷小(微分)进行运算，同莱布尼茨一样认为其中没有什么问题．有意思的是，一个20多岁的年轻人，在牛顿的眼皮底下，却离开了他的极限方法”． 在书中及在以后的一些文章中，泰勒用他的定理把函数展开成级数，得到如正弦函数及对数函数等的标准展式，并用这一方法求微分方程的通解．他还用级数去解数字方程，得到根的近似值，尤其注意到去解根式方程和超越方程． 然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值．这一重大价值是后来由J．L．拉格朗日(Lagrange)发现的．他把这一定理刻画为微积分的基本定理，并将其作为自己工作的出发点．18世纪末，拉格朗日给出了泰勒公式的余项表达式(通常称为拉格朗日余项)，并指出，不考虑余项就不能用泰勒级数．泰勒定理的严格证明是在定理诞生的一个世纪之后由A．L．柯西(Cauchy)给出的． “泰勒级数”这一名词大概是由S．A．吕利埃(L’Huillier)在1786年首先使用的．在此之前，M．J．A．N．C．M．de孔多塞(Condorcet)在1784年对此级数既用了泰勒的名字又用了J．L．R．达朗贝尔(d’Alembert)的名字． C．麦克劳林(Maclaurin)注意到了泰勒定理的特殊情形，即函数在零点的展开．泰勒在1717年版的《增量法》第27页上讨论了这一情形，麦克劳林本人也指出，这只是泰勒工作的一个特例．但历史在这里开了个玩笑，人们将它作为一条独立的定理而归于麦克劳林． 关于泰勒定理，还有一点要提及，J．伯努利曾和泰勒争论这一定理的优先权．主要依据是前面提到的J．伯努利1694年发表在《教师学报》上的文章．G．皮亚诺(Peano)也认为定理应归于伯努利．A．普林斯海姆(Pringsheim)曾证明从伯努利的积分公式通过变量替换可以得到泰勒定理．但历史的研究表明，并没有充分的证据表明伯努利(还有莱布尼茨等人)已意识到了泰勒定理的最终形式．泰勒独立地发现了这一定理，并将它叙述成最一般的形式． 发生在泰勒和J．伯努利之间的争论实际上是当时发生的另一场著名大争论的延伸，即争论究竟是牛顿还是莱布尼茨首先发明了微积分．英国数学家支持牛顿，欧洲大陆的数学家支持莱尼布茨．为了证明自己一方拥有微积分的真经，双方分别在《哲学会报》和《教师学报》上提出一系列挑战问题，让对方解答．这种挑战曾达到赌50个畿尼(旧英国金币的名称)的激烈程度．泰勒是少数几个能在这场挑战中挺得住的英国数学家之一，但他也并不是总能获胜．有一次，他提出一个形式很复杂的流数积分问题，向所有“非英国”数学家挑战．这一问题在英国只有极少几个几何学家通晓，从而认为是自己一派的优势．但结果却不然，J．伯努利熟知这一积分并指出这一问题早已由莱布尼茨在《教师学报》上解决了．从而这次挑战泰勒大败而归．这场争论后来演变成尖锐的对立，因而往往缺乏理性和公允，双方都受到了损害．泰勒虽然很熟悉莱布尼茨和伯努利的许多工作，但在自己的书中只字不提．反过来，他本人的许多工作(甚至包括1714年的工作)的首创权都遭到了非议． 《增量法》一书不仅是微积分发展史上的一部重要著作，而且还为数学增添了一门新的分支，现在称为“有限差分”．虽然有限差分法在17世纪时已广泛用于插值问题，但正是泰勒的工作才使之成为一个数学分支，泰勒是奠基人．在书中，他还成功地将这一方法应用于振动弦频率及其振动形式的研究以及级数求和． 《增量法》还包括了泰勒的一些创造性工作，它们的重要性到后来才被人们认识到．其中包括微分方程奇解的认识和确定，涉及变量替换及反函数的导数的公式，确定振动中心，曲率及振动弦问题等．与后3个问题有关的工作早些时候曾在《哲学会报》上发表过，其中包含有计算对数的连分式．泰勒将曲率半径看作是通过曲线上三点的极限圆的半径，并将曲率与相切角问题联系起来，后一问题可追溯到欧几里得(Euclid)．他用曲率及曲率半径第一个求得拨动弦的最简单情形——正规振动的解．在命题22和23中，他证明在某些条件下，每一点的振动取单摆的形式．他用弦的长度、重量及摆重来确定单摆的周期．泰勒关于这一问题的见解影响了后人，例如J．伯努利在和儿子D．伯努利(DanielBernoulli)通信讨论这一课题时引用了泰勒的工作． 泰勒在其他学科里也有一些工作值得一提．例如，他正确地推导出大气压的变化率是高度的对数函数．关于光的折射本质的第一个正确解释也属于他(见[1])． 泰勒的另一本著作《直线透视》是18世纪有关透视理论的著作中影响最大的一本．据P．S．琼斯(Jones)统计，这本书在英国出了4版(还不算一个修订本)，并被译成法文和意大利文共出了3版．从1715到1888年有9人写了12本书共22版，追随泰勒的工作． 相传古希腊人在建造露天剧场时应用了透视原理，文艺复兴时期的艺术家、建筑师和工程师们广泛应用透视原理于自己的创作．18世纪的贡献主要是理论完善及科学抽象．泰勒在书中建立了一系列定理并给出严格的证明．其中，最杰出和最富创造性的思想是对所有的直线和平面分别定义了“没影点”和“没影直线”，并对透视问题的反问题的理论和实践进行了研究，这一问题后来构成了J．朗伯(Lambert，他开创了理论制图学的新纪元)工 作的基础，也是现代摄影地理学的基础．泰勒自如地运用平行直线在无穷远处相交的思想，并寻求在透视中直接做几何构造的方法． 如同泰勒的其他著作一样，这本书写得过于简洁和抽象，遭到了一些批评．J．伯努利说，这本书“对所有的人说来是深奥的，而对艺术家们说来难以理解，但是它本来是比较专门地为他们写的”考虑到他和泰勒之间的关系，这番话应打点折扣，但泰勒本人也多少意识到这一点，在书的第二版《直线透视的新原理》(New principles of linear pefspective，1719)中，他作了一些修改和补充，将原来的42页扩展成70页，并增加了一些图形说明如何用他的方法直接画图． 泰勒的工作受到了后人的赞扬．例如，画法几何学的奠基人G．蒙日(Monge)及其学生S．F，拉克鲁瓦(Lacroix)在1801年说它“由于创造性和富有成果的原理，从而高出于其他研究透视的工作”．J．库利奇(Coolidge)在1940年称泰勒的工作是透视学“整个大建筑的拱顶石” 泰勒对于透视理论有浓厚兴趣，不仅因为它与数学及时代文明相一致，而且由于他的家庭影响，前面我们已指出了这一点．在泰勒家族的档案里，据说存有他的绘画．他的外孙W．杨说，泰勒喜爱风景画和水彩画，作品中表现的技巧及知识的运用，受到看过这些作品的专家的好评．在圣约翰学院保存的泰勒的材料中有一份题为“论音乐”(On musick)的未发表的手稿，是由他、牛顿及佩普斯(Pepusch)合作完成的，后者显然是写了音乐的非科学的部分．据说在1713年前，他还交给皇家学会一篇关于音乐的论文． 研究泰勒的生平及工作表明，他对数学发展的贡献，本质上要比一条以他命名的定理大得多．他涉及的、创造的但未能进一步发展的主要数学概念之多令人吃惊．他的工作过分简洁抽象难以追随．家庭影响、生活的不幸、健康不佳以及其他一些无法估量的因素，影响了他不太长的生命中的数学创造．

泰勒 (2004-02-06) 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。 泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。 1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。参考资料：

数学领域中的一些著名悖论及其产生背景