数学圆柱的体积的研究论文

可以讲一些奇妙的数字规律

数学日记[圆柱 数学日记 圆柱] 圆柱古槐街小学 六（2）班 邢思淼 不知不觉中，两周都已过去了，做为一名快要毕业的毕业生，我不禁 感慨万千。大家都在坚持不懈、锲而不舍地做一件事——坚持写周记！这 对大家来说，都是非常有益的，它不但可以帮助大家巩固所学的学习内容， 而且可以锻炼写作能力。 回顾前几天的学习生活，我不禁受益匪浅。 经过一个星期的学习，我们学习了求圆柱的侧面积、表面积、体积和 容积等知识。让我们再来回忆回忆我们所学的内容吧!首先想想圆柱有什么 名称：圆柱上下两个面叫圆柱的底面，围成圆柱的面还有一个曲面，叫做 圆柱的侧面，圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 把圆柱的侧面 展开，可得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形 的宽等于圆柱的高。这样我们很容易看出圆柱的侧面积等于底面周长乘高。 怎样求圆柱的表面积呢？把圆柱的表面全部展开，那么我们就看出它 像一个除号，圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加上两个底面积。接下来又 要做题了，而且还是要求很麻烦的圆柱体表面积。唉，求表面积还真不容 易。需要求出底面积和侧面积，还得相加，稍不留神就会算错，有没有什 么好办法可以一块求完呢？我思考着。看看底面积和侧面积的公式吧！ S 底=πr2，有两个底面，也就是 2πr2，再看看侧面积公式：S 侧=2πrh， 将它们两个相加在一起，提取同类项：2πr，利用乘法结合律，组成一个新 的公式：S 表=2πr（r+h）。一个新的公式从此诞生。有了这个公式只用相 乘一次就万事 ok 啦！ 以前我曾经求过环形面积，运用了一个公式：S 环=π(R2-r2),仔细想想， 其实这也是公式的组合啊！ 由两个圆相减， 提取共同的 π， 得到了新的公式。 这些新的公式的诞生都得归功于灵活的偷懒！如果不是觉得太麻烦， 其实也不会有这样的公式。其实，灵活的运用公式也是很重要的，有时候， 出题的人偷了一个懒，少说了一个条件，那么我们就可以多求一下。但是， 有的地方需要我们偷懒，不偷懒都不可以。 有这么一道题：在一个大正方形里有一个内切圆，大正方形的面积是 20 平 方厘米，求圆的面积。 如果按照常理，我们应该先求出大正方形的边长，也就是 d。然后再求 出 r，最后求出面积。可是，在这道题里，怎么才可以求出 r 和 d 呢？除非 开方，可是这样是很麻烦的，而且肯定求不尽，怎么办呢？这时候就需要 灵活的运用公式了。既然圆的面积公式是 πr2 那么求不出 r 求 r2 也可以呀！ 这时候我们可以把它看作整体 a，也就是说，我们只用求出 aπ 就可以了。a 怎么求呢？正方形的面积应该是（2r）2，化简之后就是 4r2，也就是 4a 这 样呢我们就可以用 20÷4=5（cm2）求出 a，再用 5×π≈15.7（cm2）。圆的面 积就约为 15.7cm2。这样，不用开方，也可以求出圆的面积 aπ。 有很多公式相互结合就可以组成一个简单方便的实用新公式。 只要创新，其实在把巨人们吃过的馒头揉在一起，做成一个新的花卷，那 不也是很好吗？

6万了吧又放太难和翔应该还在外放门，

教学内容： 苏教版《九年义务教育六年制小学教科书数学》（第十二册）第8-9页圆柱体积公式的推导、例4，“练一练”及补充习题。教学目标： 1、知识技能 结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。 2、过程方法 让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，渗透数学思想，体验数学研究的方法。 3、情感态度价值观 通过圆柱体积计算公式的推导、运用的过程，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，获得成功的喜悦。教学重点： 掌握和运用圆柱体积计算公式教学难点： 圆柱体积公式的推导过程教学过程：一、 情境引入（材料：长方体、正方体积木）1、昨晚，老师去拜访了一位同学，他现在是某玩具厂厂长，他们厂新近开发了一种积木玩具，正准备上网宣传。他委托我在同学们中搞一个调研，问问你们想从网上了解这种产品的哪些信息呢？（制作材料，使用方法，注意事项，大小规格等）2、小组长从1号材料袋中取出长方体和正方体积木，让小组学生采集有关数据，并分别口算出它们的体积。学生代表汇报，并说说是怎样的？根据的是什么？师：长方体、正方体的体积都可以怎样来计算？ （板书：长方体的体积=底面积×高）二、 自主探究（材料：圆柱体积木、圆柱体插拼教学具、课件）1、 教师出示一个圆柱体积木，这个玩具的体积你们会算吗？2、 提示：（1）以前学过的长方体和正方体的体积，对我们研究圆柱体体积有帮助吗？（2）你觉得圆柱的体积和什么有关系？你能猜一猜圆柱的体积怎样计算吗？3、 小组合作交流：怎样将圆柱体转化成一个长方体呢？4、 小组代表汇报（学生按照自己的方式来转化，会有多种转化方法，教师适时加以鼓励）5、 演示操作（1）请一名学生演示用切插拼的方法把圆柱体转化成长方体。其他学生模仿操作。（2）这是一个标准的长方体吗？为什么？如果分割得份数越多，你会有什么发现？（3）电脑演示圆柱体转化成长方体的过程（从16等份到32等份再到64等份） 6、组织讨论（1）圆柱体转化成一个长方体后，什么变了，什么没有变？你有什么发现？（2）根据学生的观察、分析、推想，老师完成板书：长方体的体积=底面积×高圆柱的体积=底面积×高 （3）你的猜想正确吗？学生齐读圆柱的体积计算公式。 追问：圆柱体的体积计算公式我们是怎样推导出来的？7、小结：要想求出一个圆柱的体积，需要知道什么条件？8、学生自学第8页例4上面的一段话：用字母表示公式。学生反馈自学情况：v=sh 三、巩固发展（材料：圆柱体、球体积木、直尺、半径4厘米的带水的量杯、实物展示台、计算器等）1、出示第8页例4，学生理解题意，独立完成。 集体订正，说一说这样列式的根据是什么？2、完成第9页的“试一试”。集体订正，说一说圆柱体的体积还可以怎样算？3、完成第9页“练一练”中的两道题（只列式，不计算）。4、把2号材料袋中的直尺绕着它的一条边旋转一圈得到了一个什么图形？它的体积你会计算吗？（此题结论不唯一）5、各小组打开3号材料袋，先采集数据然后计算圆柱体积木的体积。（可采集底面半径、直径和周长来分别计算）6、这是一个球体积木，利用今天学的知识，你有办法算出它的体积吗？（把球体积木放进盛着水的量杯中，把测量球的体积转化为测量圆柱的体积）（以上题目借助计算器计算）四、全课小结这节课你学会了什么？你是怎样学会的？师：我也代表那位厂长谢谢同学们，他们厂一定会设计出更多更好玩的玩具奉献给同学们。设计思考：（一） 让学生在现实情境中体验和理解数学《课程标准》指出：要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。在本节课中，我从生活情境入手，先复习了长方体、正方体体积的计算，然后顺势提出“如何计算圆柱体的体积”这一全课的核心问题，从而引发学生的猜测、操作、交流等数学活动，使学生经历了“做数学”的过程。伴随着问题的圆满解决，学生体验到了成功的喜悦与满足。在体验“生活数学”的过程中，学生理解与感受到了数学的魅力，获得了个人生存与发展的必需的数学。（二）鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合作交流 数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动，因此，动手实践、自主探究、合作交流是《课程标准》所倡导的数学学习的主要方式。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。在本节课中，我让全班学生以小组为单位围坐在一起，为他们提供自主探究的空间，同时尽量延长小组交流的时间，试图把学习的时间、空间还给学生，让其进行自主探究、合作交流。数学的价值不在技能而在思想，在探究的过程中，我不是安排了一整套指令让学生进行程序操作，获得一点基本技能，而是提供了相关知识背景、实验素材，使用了“对我们有帮助吗？”“你有什么发现？”“你是怎样想的？”等这样一些指向探索的话语鼓励学生独立思考、动手操作、合作探究，让学生根据已有的知识经验创造性地建构自己的数学，而不是去模仿复制别人的数学。因为我想：自己的，才是有价值的。（三）鼓励解决问题策略的多样化 《课程标准》指出：鼓励解决问题策略的多样化，是因为施教，促进每一个学生充分发展的有效途径。本节课在自主探究阶段，我鼓励学生用多种方法把圆柱体转化成长方体。在巩固发展阶段，我设计了两道开放性的习题，其中计算圆柱体积木体积，可以从测量圆柱的底面半径、直径、周长等不同角度求解；计算旋转直尺所形成的圆柱体积一题，旋转轴不同得到的圆柱体是完全不一样的，这体现了解题方法的多样性。这样安排从表面上看，似乎只是学生的空间观念、基本技能得到了培养；但深层次地分析，可以发现学生的思维得到了发展，创新精神、实践能力得到了提高。这些具有多样化解决策略的开放性的问题能尽可能地保证每个学生在掌握数学基本技能的前提下，不同的人在数学上得到不同的发展。

因为这是首次学习含有曲面的几何体的体积，不论是思考方法，还是对立体图形的认识上，都更加深入了一步，难度也加大了。所以本节的重点是：对圆柱体体积公式的理解。难点是：圆柱体体积公式的推导过程。教学目标是：使学生知道圆柱体的体积公式推导过程；理解并掌握圆柱体的体积公式及相关的推论。并能正确运用公式解决一些简单的实际问题。通过对圆柱体体积公式的教学，加深学生对立体图形的认识，培养学生的观察能力，抽象和概括能力及综合运用能力，发展学生的空间观念，同时渗透一些关于极限的辨证唯物主义思想。学习本节课应具备的旧知识是：1、长方体的体积公式及推导过程。2、圆面积公式的推导过程。在教学中就是要运用圆面积公式的推导方法，将圆柱体转化为长方体，从而由长方体体积公式推导出圆柱体体积公式。因此根据本节课的特点我采用的教学方法是：1、有目的的运用启发引导的方法组织教学。2、采用演示实验的方法，让学生观察比较，从而发现规律，找出体积公式。3、适当采用“尝试——失败——总结——再尝试——再总结”的方法，引导学生找到推导公式的合理方法。4、利用多变的练习，加深学生对公式的理解，找到公式的根本内涵。但是要注意循序渐进，由易到难，由简到繁。在学法指导上，主要是让学生学会观察、比较，归纳概括出体积公式。通过直观实验，吸引学生主动、认真观察图形的拼接过程，积极回答观察结果，主动参与到教学中去，并且在教师的启发下，进行归纳概括。培养学生的自学能力及概括能力。本节课所需教具为：圆柱体割拼组合教具及事先写好习题的小黑板。教学一开始，首先复习。目的是：一是通过复习旧知识，为新课作好准备；二是引出新课。一开始先复习体积的概念及长方体的体积公式。这个练习可采用提问的方式，但是这些知识已学过较长时间，所以适当的时侯教师要加以启发提示。接下来，教师引导学生回忆长方体体积公式的推导过程，及圆面积公式的推导方法，为新课做准备。然后，提问：圆柱体的特点是什么？圆柱体的侧面积、表面积公式是什么？由于这些内容刚刚学过，学生很容易回答，可以提问基础较差的学生，并加以鼓励，使他们树立信心，提高兴趣，以便学习新课。通过以上复习，巩固了旧知识，为学习新知识做好了铺垫，同时调动了全体学生的学习兴趣。利用这一有利时机，教师及时引导、设疑：圆柱体也是立体图形，也会占有一定的空间，大家一定很想知到道怎样求出这个空间的大小，好，今天我们就来学习求它的方法。 ——板书课题：圆柱体的体积这样就顺利转入了新课的学习。这时教师出示圆柱体模型。首先引导学生用长方体公式的推导方法尝试。提问：“我们学过的长方体体积是用单位体积的小正方体块来量出的，现在我们也用同样的方法来量一下，现在这个圆柱体的体积是多少？”学生反复尝试后回答：“无法量出。”这时教师再问：“什么地方量不出来？为什么？”学生回答：“圆柱体的侧面是曲面，无法量出。”在学生尝试失败的基础上，促使他们改变思路，去寻找新的方法。这样充分利用学生的好奇心理，调动学生情绪，转入圆柱体体积公式的教学。教师启发提问：“圆柱体上下两面是什么形？圆面积公式是怎么得到的？”通过学生的回答，引出新思路：用割拼的方法将它转化为其他的图形。得到了新的方法以后，教师进行演示实验1：先将圆柱沿底面平分割成8等份，对拼成一个近似长方体。学生观察割拼过程。教师提出问题：“这个圆柱体拼成了一个近似的什么立体图形？为什么说它是近似的？它的哪一部分不是长方体的组成部分？”学生回答后，接着再进行演示实验2：将圆柱体沿底面平分16等份，再拼成近似的长方体。再问：“这次是不是更象长方体了？”这时教师启发学生想象；“把它平分成很多很多等份，这样拼成的图形将会怎样？”教师总结：“将会无限趋近于长方体，并且最终会得到一个长方体。”然后及时引导学生观察这个长方体，并把它与圆柱体进行比较，提问：“这个长方体的哪部分与圆柱体相同？”因为模型各面的颜色不同，所以学生会很快回答出来：“底面积与高。”“那么这个长方体体积与圆柱体体积有什么关系？”学生回答：“相同。”“长方体的体积是怎样计算的？”学生回答：“底面积乘以高。”“那么圆柱体是否也可以这样算呢？”学生回答：“是的。”这时教师根据学生的回答，及时板书这两个公式。通过以上的教学，引导学生归纳概括出了圆柱体的体积公式。这样先通过复习做知识的铺垫，然后由学生进行尝试，充分运用思维的迁移规律，用圆面积公式的推导方法搭起了桥梁，顺利地实现了本节课的第一个目标。并且在推导过程中渗透了关于极限的辨证唯物主义思想。学生通过尝试得到了成功的喜悦，思想高度兴奋。教师及时利用这一时机，将公式向深处拓展。设问：“如果不知道圆柱体的底面积和高，怎么求体积？”学生考虑，教师出示尝试题：1、已知圆柱体的底面半径和高，怎样求体积？2、已知圆柱体的底面直径和高，怎样求体积？3、已知圆柱体的底面周长和高，怎样求体积？4、已知圆柱体的侧面积和高，怎样求体积？学生分组讨论。讨论完毕后，每组选一名代表回答，其他同学做适当补充。学生回答完毕后，教师及时进行总结，并且板书有关公式的推论。通过以上练习，避免了学生只注意了公式的表面特征，而忽略了公式的本质特征。使学生明确，不论条件怎样变化，最终都要归到底面积乘以高上来。从而使学生理解了本公式的内涵，为灵活运用公式做好了知识的准备。最后要求学生用字母表示公式。由于此方法学生早已熟悉，所以可全班集体回答。学生理解和掌握了公式后，教师及时出示习题，指导学生将公式应用于实际：（出示准备好的小黑板）例4、一根圆柱形钢材，底面面积是50平方厘米，高是2·1米。它的体积是多少立方厘米？例5、一个圆柱形水桶，从里面量底面直径是20厘米，高是25厘米。这个水桶的容积是多少立方分米？提问：“这两道题是否要进行单位换算？各应选用什么公式？”学生回答完毕后，一起独立完成。教师巡视检查，发现问题，及时补救。最后，对本节课进行小结。提出应用公式时应注意的问题：1、仔细审题，弄清条件的变化。2、单位名称要统一。布置课后作业。

知道了什么？