实变函数相关毕业论文

《实变函数》和《复变函数》都是数学系本科的专业课程。简单的说《实变函数》主要研究的是定义域为实数的函数的性质，而《复变函数》主要研究的是定义域为复数的函数的性质。 《实变函数》主要引进了一种新的积分-Lebesgue积分，用来研究不连续函数的积分问题。 《复变函数》主要研究定义域为复数的函数的微积分以及幂级数展开等性质。可以理解为复数函数的《数学分析》。但内容上有所增加。 在我国的数学系课程中，二者的联系并不大，研究的方法也不同。可以说《实变函数》要更深一些。如果要深入了解它们之间的联系，可以看一下这本书Walter Rudin的《Real and Complex Analysis》（有中译本），它是美国大学数学系研究生用书，其中包括了《实变函数》和《复以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。[编辑本段]实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。[编辑本段]实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

联系：都是基于微积分的进一步发展产生，都是为了研究集论。

区别如下：

一、指代不同

1、实变函数：以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支。

2、复变函数：是指以复数作为自变量和因变量的函数   ，而与之相关的理论就是复变函数论

二、内容不同

1、实变函数：是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

2、复变函数：主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

三、发展不同

1、实变函数：是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念。

2、复变函数：研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

参考资料来源：百度百科-实变函数

参考资料来源：百度百科-复变函数

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。为了推广积分概念，1893年，约当(Camille Jordan)在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”(Jordan measure)的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔(Borel, Emile)(把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成B类函数的极限，就说A类函数能以B类函数来逼近。如果已经掌握B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。

1、选题尽量与日常工作结合起来一是便于收集数据，二是通过论文写作，对考生今后工作也有帮助，一举两得。反之，选一个与工作毫不相干的题目，从头开始，只能落得个事倍功半的结果。2、选择感兴趣的题目做论文是原创性的工作，因此，考生对某个方面感兴趣，会促使自己积极主动地探讨这方面的问题，强烈的成就动机将是做一篇优秀论文的基础。3、学术类文献综述类题目尽量不要选对所有参加自学考试的考生来讲，做学术论文是一件极具挑战性的工作，绝不是想象中那样轻松。自考过程中，考生可以通过强化复习通过考试，但做研究是完全不同的过程。只有在考生花费精力查阅大量文献后，才能知道可以做什么课题，还需要考生自己去收集数据，分析数据，撰写报告。综述性论文需要查阅大量的参考文献，从选题到提交论文，一般仅有3个月时间，真正码字可能就一两个星期的时间，在这么短的时间内要查阅到写综述的参考文献，难度相当大。时间短难度大，很少考生能将这些类型的论文写得好和有一定深度。不过，如果你实力很强，那也是可以的。当然，每次没能通过论文答辩的考生，绝大部分都是选择了这些雷区类型题目，希望大家吸取教训。

这是重庆师范大学的心理学论文格式，你可以参考一下。其实各个学校有自己的论文格式要求，你可以问问老师。(论文标题)重师毕业论文理科版样式（小2号黑体）——(副标题)作者必读 （3号宋体）（空一行）化学学院 化学（师范）专业 2004级 张飞(小4号仿宋体，居中)指导教师 赵云(小4号仿宋体，居中)（空一行）摘 要：“摘要：”二字请用5号黑体加粗。内容部分请用5号宋体。从第二行开始文字不缩进。关键词：关键；排版；要求（“关键词：”用5号黑体加粗。内容部分用5号宋体）Abstract：英文摘要的“Abstract：”用Times New Roman体加粗。英文摘要的内容部分用Times New Roman体。Key words：keyword；keyword；keyword（抬头用Times New Roman体加粗，内容用Times New Roman体）（空一行）这里开始是正文部分，请用小4号宋体排版（除了标题、图、表之外）.（空一行）1 这是一级标题 （4号黑体）（空一行）一级标题左顶格，上下各空一行. 所有标题序号请用阿拉伯数字，标题序号与标题之间空1个字位（即2个空格位）以下遇到一级标题时，请参照此处的标注执行，不再重复。 这是二级标题 （小4号黑体）二级标题请用，左顶格，标题序号与标题之间空1个汉字位[1]。以下遇到二级标题时，请参照此处的标注执行，不再重复。 这是三级标题 (小4号宋体)三级标题左顶格，标题序号与标题之间空1个汉字位. 以下遇到三级标题时，请参照此处的标注执行，不再重复。 这是二级标题 以下遇到二级标题时，请参照此处的标注执行，不再重复。（空一行）2 图表的要求（空一行） 插图插图中的文字一律用5号宋体，图的标注如“图2-1 混沌电路图”用5号黑体，居中排，其中“图2-1”为图序，“混沌电路图”为图题，图序与图题之间空1个汉字位.。(1) (2) 图2-1 混沌电路图 表格表格使用三线表，表中的文字一律用5号宋体，表的标注如“表 各年设计实验表”用5号黑体，居中，其中“表”为表序，“各年设计实验表”为表题，表序与表题之间空1个字位。表 各年设计实验表实验数 （空一行）3 数学符号的要求数学上的“定理、性质、引理、推论、定义、注、证明、例”等用小4号黑体，缩入2个汉字位，后空1个汉字位。定理的内容用小4号宋体，如：定理1 假设下面的条件成立，则……。 （）（空一行）4 参考文献的要求（空一行）“参考文献”用小4号黑体，左顶格，上空2行. 参考文献的内容请用5号宋体，序号用[1]表示，内容与序号空一个汉字位。具体的排列次序和样式请参照下面的例子。参考文献:[1] 夏道行，吴卓人，严绍宗，等. 实变函数论与泛函分析[M]. 北京:人民教育出版社,1978. 88-90. [2] Zhang S N. Boundedness of finite delay difference system [J]. Ann of Diff Eqs, 1993,9(1):107-115.[3] 时宝,王志成,黄立宏.有限时滞差分系统的的渐近稳定性[C]//全国第五次常微分方程稳定性会议论文集.大连:大连海事大学出版社,1996:30-33.[4] Hale J K. Theory of Functional Differential Equations[M]. New York: Springer-Verlag, 1977:34-45.[5] 万锦堃. 中国大学学报论文文摘(1983-1993) 英文版[DB/CD].北京:中国大百科全书出版社,1996.

PART1:题目

《心理学报投稿指南》对于题目的要求是：

限20字以内。能够准确反映文章的主要内容。尽量不用“研究”二字。

根据不同的研究主题，题目可以分为：

变量式：由研究的主要变量组成

如：输出方式和输出时间对数字广度的影响

主题式：表达研究的主题，其变量往往不容易通过标题表达出来。

如：7岁超常和常态儿童的信息加工速度

结论陈述式：直接表达研究的结论

如：汉语多义字词的识别优势效应

PART2：摘要

内容包括研究目的、方法、结果、结论（不要把结果与结论混为一谈）。中文摘要限200字以内。尽可能不用“本研究”、“我们”等第一人称。英文摘要需详细，1页4段，约500个单词，使用过去式。

摘要的目的是概括内容，需要语言凝练且概括全面，注意事项有：

写完文章最后再写摘要 ；摘要有用，能提供实质性信息 ；拒绝低幼，排除本领域已经成为常识的内容；谦虚低调，避免自夸或自我评论 ；用第三人称，不分段；一般不用数学公式，不出现插图、表格 ；略缩语、略称、代号首次出现时必须加以说明。

PART3：引言

前言，主要来介绍研究的背景、文献综述、研究问题和假设等。

引言部分的写作需要完成以下任务：

1、证明研究的价值：我的研究很强

2、具体说明：介绍它有多强

3、引起读者兴趣：让大家感兴趣它有多强

PART4：讨论

讨论主要用于解释研究结果 、回答研究假设 、提出研究的作用和意义。

讨论是所有论文写作中最见研究功底的部分之一，不但需要有大量的文献阅读基础和本领域相关知识，还需要自己独立的分析与思考。

可分为：

1.重新陈述结果。

2.对结果进行解释，将结果与先前研究进行比较，跟研究假设进行呼应。

3.内部效度和外部效度如何。

4.对结果进行综合和推论，建立或验证理论，指出研究结果有何理论价值或应用价值。

5.研究存在的局限和将来进一步研究的方向

扩展资料

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