离散数学数理逻辑小论文

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。目录简介名称来源数学的意义数学史数学研究的各领域数学的分类数学的五大分支数学分支数学分类数学的发展史国外数学名家阿基米德高斯牛顿莱布尼茨中国古代数学发展史中国古代数学的萌芽中国古代数学体系的形成中国古代数学的发展中国古代数学的繁荣中西方数学的融合中国古代著名数学家及其主要贡献刘徽（生于公元250年左右）祖冲之（公元429年—公元500年）中国古代其他著名数学家及其主要贡献以华人数学家命名的研究成果数学名言数学中有关的名词现代数学衍生品简介 名称来源数学的意义 数学史数学研究的各领域数学的分类 数学的五大分支 数学分支 数学分类数学的发展史国外数学名家 阿基米德 高斯 牛顿 莱布尼茨中国古代数学发展史 中国古代数学的萌芽 中国古代数学体系的形成 中国古代数学的发展 中国古代数学的繁荣 中西方数学的融合中国古代著名数学家及其主要贡献 刘徽（生于公元250年左右） 祖冲之（公元429年—公元500年） 中国古代其他著名数学家及其主要贡献以华人数学家命名的研究成果数学名言数学中有关的名词现代数学衍生品展开 编辑本段简介名称来源 数学【shù xué】（■；希腊语：μαθηματικ?）西方源自于古这一词在希腊语的μ?θημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭隘且技术性的意义－“数学研究”，即使在其语源内。其形容词意义为和学习有关的或用功的，亦会被用来指数学的。其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。（拉丁文：Mathemetica)原意是数和数的技术。 我国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。编辑本段数学的意义 数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。数学史 基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展，直至16世纪的文艺复兴时期，因着和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速，直至今日。 今日，数学被使用在世界不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，但之后会发现许多应用。 创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。 编辑本段数学研究的各领域 数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的子领域相关连著。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。 数量 数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质被研究于数论中，此一理论包括了如费马最后定理之著名的结果。 当数系更进一步发展时，整数被承认为有理数的子集，而有理数则包含于实数中，连续的数量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。自然数的考虑亦可导致超限数，它公式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为其大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：阿列夫数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。 结构 许多如数及函数的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、体及其他本身即为此物件的抽象系统中。此为抽象代数的领域。在此有一个很重要的概念，即向量，且广义化至向量空间，并研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。 空间 空间的研究源自于几何－尤其是欧式几何。三角学则结合了空间及 数，且包含有著名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何(其在广义相对论中扮演著核心的角色)及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。 基础与哲学 为了搞清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。德国数学家康托（Georg Cantor，1845-1918）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了实无穷的存在，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。Cantor的工作给数学发展带来了一场革命。由于他的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反对，Pioncare也把集合论比作有趣的“病理情形”，Kronecker还击Cantor是“神经质”，“走进了超越数的地狱”.对于这些非难和指责，Cantor仍充满信心，他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.” 集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论，测度论，拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初世界上最伟大的数学家Hilbert在德国传播了Cantor的思想，把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家Russell把Cantor的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。 数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明的真实定理。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关连性。编辑本段数学的分类 离散数学 模糊数学数学的五大分支 1.经典数学 2.近代数学 3.计算机数学 4.随机数学 5.经济数学数学分支 1.算术 2.初等代数 3.高等代数 4. 数论 5.欧几里得几何 6.非欧几里得几何 7.解析几何 8.微分几何 9.代数几何 10.射影几何学 11.几何拓扑学 12.拓扑学 13.分形几何 14.微积分学 15. 实变函数论 16.概率和统计学 17.复变函数论 18.泛函分析 19.偏微分方程 20.常微分方程 21.数理逻辑 22.模糊数学 23.运筹学 24.计算数学 25.突变理论 26.数学物理学数学分类 符号、语言与严谨 在现代的符号中，简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此一图像即是由一简单方程所产生的。 我们现今所使用的大部分数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学被文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于专家而言更容易去控作，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。 数学语言亦对初学者而言感到困难。如何使这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼着初学者，如开放和域等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。 严谨是数学证明中很重要且基本的一部分。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免错误的“定理”，依着不可靠的直观，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日，数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计量难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨。编辑本段数学的发展史 世界数学发展史 数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语Μαθηματικ? mathematikós）意思是“学问的基础”，源于ματθημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。 除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。 更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统。 从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关多计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。 到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。 数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部分为新的数学定理及其证明。”编辑本段国外数学名家阿基米德 阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊哲学家、数学家、物理学家。出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德到过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。高斯 数学天才——高斯 高斯是德国数学家、物理学家和天文学家。 高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出。7岁那年，高斯第一次上学了。 在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899。说完高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去，当时只有他写的答案是正确的。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。 高斯的学术地位，历来被人们推崇得很高。他有“数学王子”、“数学家之王”的美称。牛顿 牛顿是英国物理学家和数学家。 在学校里，牛顿是个古怪的孩子，就喜欢自己设计、自己动手，做风筝、日晷、滴漏之类器物。他对周围的一切充满好奇，但并不显得特别聪明。 1665～1666年严重的鼠疫席卷了伦敦，剑桥离伦敦不远，为恐波及，学校因此而停课，牛顿于1665年6月离校返乡。一天在树下闲坐，看到一个苹果落在地上，便开始捉摸，这种将苹果往下拉的力会不会也在控制着月球。由此牛顿推导出物体的下落速度改变率与重力的大小成正比，而重力大小与距地心距离的平方成反比。后来牛顿的棱镜实验也使他一举成名。 牛顿最卓越的数学成就是创立了微积分，此外对解析几何与综合几何都有贡献。 牛顿有两句名言是大家所熟知的。他在一封信中写道：“如果我比别人看得远些，那是因为我站在巨人们的肩上。”据说他还讲过：“我不知道世人对我怎么看；但在我自己看来就好像只是一个在海滨嬉戏的孩子，不时地为比别人找到一块光滑的卵石或一只更美丽的贝壳而感到高兴，而我面前的 浩瀚的真理海洋，却还完全是个谜。”莱布尼茨 戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日～1716年11月14日）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。编辑本段中国古代数学发展史 数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。 商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。 公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。 春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。 而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。 墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。 名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。 《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。 这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。 《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。

讲义安排

第一讲：数理逻辑

第二讲：集合论

第三讲：图论

第四讲：代数结构

第五讲：排列组合与容斥原理

第六讲：母函数与递推关系

第七讲：典型例题和真题讲解

第一讲：数理逻辑

一、命题

称能判断真假但不能既真又假的陈述句为命题

例1 、判断下列句子是否为命题

（1）8小于10

（2） 是有理数

（3）2是素数

（4）x + y > 10

（5）请把门开一开

（6）明年的劳动节和国庆节的晚上都是晴天

（7）21世纪末，人类将居住在太空

此种题型的关键

第一步判断是否是陈述句（陈述句才能为命题）

第二部能不能判断真假

第三部是不是既真又假

答案（1）真命题（2）假命题（3）真命题（4）不是命题（5）不是命题（6） 是命题（7）是命题（8）不是命题

解答（1）（2）（3）（6）（7）是命题，（4）（5）（8）不是命题

注意：命题必须为==陈述句==，不能为疑问句，祈使句，感叹句，命题必须具有真假值，但能判断真假，并不意味着现在就能确定其实真还是假，只要它==具有能够唯一确定的真假值==即可，如果命题的真值为真，则称为真命题，否则称为假命题，不能分成更简单的陈述句的命题为==简单命题或原子命题==，否则称为==复核命题==

2、复合命题的联结词

设p是任意命题，复合命题“非p”称为p的==否定（非）==，记为 p

设p和q是任意命题，复合命题“p且q”称为p和q的==合取（与）==，记为p q

设p和q是任意命题，复合命题“p或q”称为p和q的==析取（或）==，记为p q

设p和q是任意命题，复合命题“如果p则q”称为==p蕴含q==，记为p q

设p和q是任意命题，复合命题“p当且晋档q”称为==p与q等价==，记为p q

注意：联结词的优先顺序为： ， ， ， ， 从左到右，如有括号，括号在先

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数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下面我给你分享三次数学危机论文，欢迎阅读。

摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。

关键词：危机;万物皆数;无穷小;分析方法;集合

一、前言

数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生;第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产生与发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。

二、数学史上的第一次“危机”

第一次数学危机是发生在公元前580-568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物旨数”。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期。上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数!另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。

三、第二次数学危机

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地――微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

四、数学史上的第三次危机

1.悖论的产生及意义

(1)什么是悖论

悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。这个次的意义比较丰富，它包括一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立;反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的;如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

(2)悖论产生的意义

疏忽学悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义，同时也为科学研究提供新的课题和研究方向。

2.第三次数学危机的产生与解决

(1)第三次数学危机的产生

第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。

罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

(2)第三次数学危机的解决

罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓zF公理系统)，这场数学危机到此缓和下来。

现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。

三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基，他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫，我我想以后也许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使我们的数学研究达到更高的境界。

数学的产生和发展，始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中，任何一个新概念的引入，都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景，只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关知识，充分发挥和利用数学史的教育价值，使学生通过了解数学史，而更加全面更加深刻地理解数学、感悟数学。

一、集合论的诞生

一般认为，集合论诞生于1873年底。1873年11月29日，康托尔(，1845-1918)在给戴德金(JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916)的信中提问“正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?”这是一个导致集合论产生的大问题。几天后，康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果，“实数是不可数集”，并将这一结果以标题为《关于全体实代数数集合的一个性质》的论文发表在德国《克莱尔数学杂志》上，这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”，在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合运算等，康托尔的这篇文章标志着集合论的诞生。

二、集合论成为现代数学大厦的基础

康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。它的概念和方法渗透到了代数、拓扑和分析等许多数学分支，甚至渗透到物理学等其他自然学科，为这些学科提供了奠基的方法。几乎可以说，没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。

集合论诞生的前后20年里，经历千辛万苦，但最终获得了世界的承认，到了20世纪初，集合论已经得到数学家们的普遍赞同，大家一致认为，一切数学成果都可以建立在集合论的基础之上了，简言之，借助集合论的概念，便可以建立起整个数学大厦，就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱(JulesHenriPoincaré，1854-1912)也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。”然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是有漏洞的!如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可怕啊!

三、罗素(BertrandRussell，1872-1970)悖论导致第三次数学危机

1903年，英国数学家罗素在《数学原理》一书上给出一个悖论，很清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础，导致了数学危机的产生，史称“第三次数学危机”。

罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R，现在问R是否属于R?如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不属于自身，即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样，不论任何情况都存在矛盾，这就是有名的罗素悖论(也称理发师悖论)。

罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑领域，德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。

四、消除悖论，化解危机

罗素悖论的存在，明确地表示集合论的某些地方是有毛病的，由于20世纪的数学是建立在集合论上的，因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。

在20世纪初，大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛(Zermelo，ErnstFriedrichFerdinand，1871～1953)提出的公理化集合论，把原来直观的集合概念建立在严格的公理基础上，对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，从而避免悖论的出现，这就是集合论发展的第二阶段：公理化集合。

解铃还须系铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这个矛盾，又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂，而策梅洛则把这个方法加以简化，提出了“决定性公理(外延公理)、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选择公理和无穷公理”，通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合，从而消除了罗素悖论产生的条件。后来，策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔()和斯科伦()的修正和补充，成为现代标准的“策梅洛——弗兰克尔公理系统(简称ZF系统)”，这样，数学又回到严谨和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——《基础数学》迅速发展。

五、危机的启示

从康托尔集合论的提出至今，时间已经过去了一百多年，数学又发生了巨大的变化，而这一切都与康托尔的开拓性工作密不可分，也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决，我们可以看到，数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的，期间要经历无数的挫折和失败，但是只要坚持，终会走向成功。

矛盾的消除，危机的化解，往往给数学带来新的内容，新的变化，甚至革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因(FelixChristianKlein1849-1925)在《数学——确定性丧失》中说：“与未来的数学相关的不确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满，虽然这次悖论已经找到解释，危机也已化解，但是更多的还是未知，因为只要仔细分析，矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现，这种发现不应该被认为是‘危机’，而应该感到，下一个突破的机会来到了。”

参考文献：

1.《普通高中课程标准实验教科书——数学必修1》教师教学用，人民教育出版社

2.胡作玄，《第三次数学危机》

中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，以下是我搜集的一篇关于三次数学危机探讨的论文范文，供大家阅读参考，

从我国数学的发展看三次数学危机。

1 引言

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

2 三次数学危机

第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。但这一信条后来遇到了困难。因为有些数是不可公度的。这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。

17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了无穷小悖论[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次数学危机.

19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了![5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论。他把关于集合论的一个着名悖论用故事通俗地表述出来。

它和其它一些集合论悖论一样，对数学发展的影响是十分深刻、巨大的，甚至可以说是动摇了整个数学的基础，并导致了第三次数学危机。

3 从我国数学的发展看三次数学危机

中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，这是我们国家社会主义建设的需要，也是我们党和国家非常重视科学技术的结果，

数学论文《从我国数学的发展看三次数学危机。中国科学院于1950年开始筹建数学研究所，1952年正式成立。全国各高等院校普遍设置了数学系，《数学学报》和《数学通报》复刊。1958年~1960年的大跃进时期，在极左思潮影响下，数学基础理论研究受到很大冲击，积极的一面是明确了向世界先进水平看齐的奋斗目标，也重视理论联系实际，线性规划得到大力推广并创造了切实可行的图上作业法,运筹学由此在我国发展起来。在发展我国高科技过程中，例如1965年9月17日，我国科学工作者在世界上首次用人工方法合成结晶牛胰岛素。

我们不能不承认，数学对于现实生活的影晌正在与日俱增。许多学科都在悄悄地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学方法的渗透。因此，对于数学，特别是现代数学加以普及，使得数学和数学家的工作能对现实生活产生应有的积极影响，这已成为人们日益重视的课题。

4 总结

综上所述三次数学危机对数学的发展影响是巨大的。第一次数学危机中产生的欧几里德几何对树立天文学的发展起了很大的推动作用，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化，使古希腊的数学基础转向几何。第二次数学危机中波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西指出无穷小量和无穷大量都是变量，并且定义了导数和积分;狄利克雷给出了函数的现代定义;美国数理逻辑学家罗宾逊又利用无穷小量引进超实数的概念，建立了非标准分析，同样也能精确的描述微积分，解决无穷小悖论。第三次数学危机建立了实数理论，且在此基础上建立了极限的基本定理，使数学分析建立在实数理论的严格基础之上，康托尔创立了集合论。而且还产生了公理化方法论和数理逻辑等一批新颖学科。我国以至世界各国的数学发展也都依赖于三次数学危机中产生的数学的新内容。整个数学的发展是一个层层深入、层层递进的过程。

参考文献：

[1]人民教育出版社中学数学室着.现代数学概论[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]张光远.现代化知识文库：二十世纪数学史话[M].知识出版社，

[3]袁小明.数学史话[M].山东教育出版社，1985.

[4]于寅.近代数学基础[M].华中理工大学出版社，.